2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§10-1 概率（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§10-1 概率（试题部分）

专题十　概率、统计及统计案例 ‎【真题探秘】‎ ‎§10.1　概率 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 随机事件 的概率 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率 ‎2019课标全国Ⅱ,14,5分 频率与概率的关系 数据分析 ‎★★☆‎ ‎2017课标全国Ⅲ,18,12分 频率与概率的关系 数据分析 ‎2016课标全国Ⅱ,18,12分 频率与概率的关系 平均值 古典 概型 理解古典概型及其概率计算公式 ‎2019课标全国Ⅲ,3,5分 ‎2018课标全国Ⅱ,5,5分 ‎2019课标全国Ⅱ,4,5分 古典概型概率的计算 ‎—‎ ‎★★★‎ 几何 概型 了解几何概型的意义,会解与几何概型相交汇的线性规划、圆及其他图形的概率 ‎2017课标全国Ⅰ,4,5分 几何概型概率的计算 用面积之比求概率 ‎★★★‎ ‎2016课标全国Ⅱ,8,5分 几何概型概率的计算 ‎—‎ 分析解读 本节内容是高考重点考查的内容之一,最近几年有以下特点:1.古典概型主要考查等可能事件发生的概率,也常与对立事件、互斥事件的概率及统计知识综合起来考查;2.几何概型试题有所体现,以选择题、填空题为主.本节内容在高考中分值约为5分,属容易题.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　随机事件的概率 ‎1.(2018湖南郴州第二次教学质量监测,3)甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是(　　)‎ A.1 B.‎1‎‎6‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019江西南昌外国语学校高考适应性测试,3)有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片,从这五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎3‎‎10‎ 答案　D　‎ 考点二　古典概型 ‎1.(2018湖南(长郡中学、衡阳八中)、江西(南昌二中)等十四校第二次联考,9)已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20‎ 组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为(　　)‎ A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35‎ 答案　C　‎ ‎2.(2018福建泉州质量检查(3月),4)用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色,每个小球只涂一种颜色,则两个小球颜色不同的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎5‎‎8‎ 答案　C　‎ ‎3.(2019湖南六校(长沙一中、常德一中等)联考,3)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色,则所选颜色中含有白色的概率是(　　)‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎6‎ 答案　B　‎ 考点三　几何概型 ‎1.(2018安徽安庆二模,4)中国人民银行发行了2018中国戊戌(狗)年金银纪念币一套,如图所示是一枚3克圆形金质纪念币,直径为18 mm,小米同学为了测算图中装饰狗的面积,他用1枚质地均匀的针向纪念币上投掷500次,其中针尖恰有150次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面积大约是(　　)‎ A.‎486π‎5‎ mm2 B.‎243π‎10‎ mm2 C.‎243π‎5‎ mm2 D.‎243π‎20‎ mm2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019湖南株洲二模,3)如图,在边长为1的正方形内有不规则图形Ω,向正方形内随机撒10 000粒豆子,若落在图形Ω内和图形Ω外的豆子粒数分别为3 335,6 665,则图形Ω面积的估计值为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎6‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018山东烟台高考诊断性测试,4)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的,如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎8‎ C.‎3‎‎8‎ D.‎‎3‎‎16‎ 答案　B　‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　古典概型概率的求法 ‎1.(2018黑龙江哈三中12月模拟,6)一次数学考试中,4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答,则第22题和第23题都有同学选答的概率为(　　)‎ A.‎5‎‎16‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎7‎‎8‎ D.‎‎15‎‎16‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019湖南怀化3月第一次模拟,5)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀2个小灯,另一种是大灯下缀4个小灯,大灯共360个,小灯共1 200个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取一个灯球,则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019河南南阳第一中学第十四次考试,13)从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎3‎ 方法2　几何概型概率的求法 ‎1.(2019安徽合肥第二次教学质量检测,6)若在x2+y2≤1所围区域内随机取一点,则该点落在|x|+|y|≤1所围区域内的概率是(　　)‎ A.‎1‎π B.‎‎2‎π C.‎1‎‎2π D.1-‎‎1‎π 答案　B　‎ ‎2.(2018湖南郴州第二次教学质量检测,3)如图是一边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为(　　)‎ A.π‎8‎ B.π‎16‎ C.1-π‎8‎ D.1-‎π‎16‎ 答案　C　‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　随机事件的概率 ‎1.(2019课标全国Ⅱ,14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　. ‎ 答案　0.98‎ ‎2.(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.‎ 答案　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,‎ 由表格数据知,最高气温低于25的频率为‎2+16+36‎‎90‎=0.6,‎ 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,‎ 若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;‎ 若最高气温位于区间[20,25),‎ 则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.‎ 所以,Y的所有可能值为900,300,-100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20,‎ 由表格数据知,最高气温不低于20的频率为 ‎36+25+7+4‎‎90‎‎=0.8,‎ 因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ ‎3.(2016课标全国Ⅱ,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎60‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;‎ ‎(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;‎ ‎(3)求续保人本年度平均保费的估计值.‎ 答案　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.‎ 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为‎60+50‎‎200‎=0.55,‎ 故P(A)的估计值为0.55.(3分)‎ ‎(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.‎ 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为‎30+30‎‎200‎=0.3,‎ 故P(B)的估计值为0.3.(6分)‎ ‎(3)由所给数据得 保费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 频率 ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎（10分)‎ 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a.‎ 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.(12分)‎ 考点二　古典概型 ‎1.(2019课标全国Ⅱ,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019课标全国Ⅲ,3,5分)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018课标全国Ⅱ,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(　　)‎ A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3‎ 答案　D　‎ ‎4.(2018课标全国Ⅲ,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(　　)‎ A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7‎ 答案　B　‎ ‎5.(2017课标全国Ⅱ,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎10‎ B.‎1‎‎5‎ C.‎3‎‎10‎ D.‎‎2‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎6.(2016课标全国Ⅰ,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎5‎‎6‎ 答案　C　‎ 考点三　几何概型 ‎1.(2016课标全国Ⅱ,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)‎ A.‎7‎‎10‎ B.‎5‎‎8‎ C.‎3‎‎8‎ D.‎‎3‎‎10‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017课标全国Ⅰ,4,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.π‎8‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎π‎4‎ 答案　B　‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　随机事件的概率 ‎1.(2019北京,17,12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:‎ ‎　　　　　支付金额 支付方式　　　　　‎ 不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A ‎27人 ‎3人 仅使用B ‎24人 ‎1人 ‎(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;‎ ‎(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率;‎ ‎(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.‎ 答案　本题主要考查总体分布的估计,利用概率知识解决实际问题,旨在提高学生分析问题、解决问题的能力.渗透了逻辑推理、数学运算的核心素养,体现了应用与创新意识.‎ ‎(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.‎ 估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为‎40‎‎100‎×1 000=400.‎ ‎(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,则P(C)=‎1‎‎25‎=0.04.‎ ‎(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”.‎ 假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.‎ 答案示例1:可以认为有变化.‎ 理由如下:‎ P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.‎ 答案示例2:无法确定有没有变化.‎ 理由如下:‎ 事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.‎ ‎2.(2018北京,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:‎ 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 ‎140‎ ‎50‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎800‎ ‎510‎ 好评率 ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.25‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.‎ ‎(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;‎ ‎(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;‎ ‎(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)‎ 答案　(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,‎ 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.‎ 故所求概率为‎50‎‎2 000‎=0.025.‎ ‎(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是 ‎140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1‎ ‎=56+10+45+50+160+51‎ ‎=372.‎ 故所求概率估计为1-‎372‎‎2 000‎=0.814.‎ ‎(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.‎ 考点二　古典概型 ‎1.(2017天津,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎3‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎2.(2016北京,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎8‎‎25‎ D.‎‎9‎‎25‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎10‎ ‎4.(2018上海,9,5分)有编号互不相同的五个砝码,其中5克、3克、1克砝码各一个,2克砝码两个,从中随机选取三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率是　　　　(结果用最简分数表示). ‎ 答案　‎‎1‎‎5‎ ‎5.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎10‎ ‎6.(2019天津,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.‎ ‎(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?‎ ‎(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.‎ ‎(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.‎ ‎　　员工 项目　　‎ A B C D E F 子女教育 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ 继续教育 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 大病医疗 ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ 住房贷款利息 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ 住房租金 ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ 赡养老人 ‎○‎ ‎○‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎○‎ 答案　本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算的核心素养.‎ ‎(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.‎ ‎(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.‎ ‎(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.‎ 所以,事件M发生的概率P(M)=‎11‎‎15‎.‎ ‎7.(2018天津,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.‎ ‎(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?‎ ‎(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.‎ ‎①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;‎ ‎②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.‎ 答案　(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.‎ ‎(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.‎ ‎②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.‎ 所以,事件M发生的概率P(M)=‎5‎‎21‎.‎ 考点三　几何概型 ‎1.(2015福建,8,5分)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=x+1,　　x≥0,‎‎-‎1‎‎2‎x+1,x<0‎的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于(　　)‎ A.‎1‎‎6‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎3‎‎8‎ D.‎‎1‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=‎6+x-‎x‎2‎的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎9‎ C组　教师专用题组 考点一　随机事件的概率 ‎1.(2015北京,17,13分)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.‎ ‎　　　　商品 顾客人数　　　‎ 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;‎ ‎(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;‎ ‎(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?‎ 答案　(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为‎200‎‎1 000‎=0.2.‎ ‎(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.‎ 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为‎100+200‎‎1 000‎=0.3.‎ ‎(3)与(1)同理,可得:‎ 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为‎200‎‎1 000‎=0.2,‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为‎100+200+300‎‎1 000‎=0.6,‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为‎100‎‎1 000‎=0.1.‎ 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.‎ ‎2.(2014陕西,19,12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;‎ ‎(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.‎ 答案　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得 P(A)=‎150‎‎1 000‎=0.15,P(B)=‎120‎‎1 000‎=0.12.‎ 由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,知样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为‎24‎‎100‎=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.‎ ‎3.(2012课标全国,18,12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.‎ ‎(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;‎ ‎(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.‎ 答案　(1)当日需求量n≥17时,利润y=85.‎ 当日需求量n<17时,利润y=10n-85.‎ 所以y关于n的函数解析式为 y=‎10n-85,　　n<17,‎‎85,n≥17‎(n∈N).‎ ‎(2)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为‎1‎‎100‎(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.‎ ‎(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.‎ 考点二　古典概型 ‎1.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)‎ A.‎8‎‎15‎ B.‎1‎‎8‎ C.‎1‎‎15‎ D.‎‎1‎‎30‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015课标Ⅰ,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎10‎ B.‎1‎‎5‎ C.‎1‎‎10‎ D.‎‎1‎‎20‎ 答案　C　‎ ‎3.(2015广东,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)‎ A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1‎ 答案　B　‎ ‎4.(2014江西,3,5分)掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于(　　)‎ A.‎1‎‎18‎ B.‎1‎‎9‎ C.‎1‎‎6‎ D.‎‎1‎‎12‎ 答案　B　‎ ‎5.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎6.(2014湖北,5,5分)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则(　　)‎ A.p1‎5‎‎16‎,‎ 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎16.(2015天津,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.‎ ‎(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;‎ ‎(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.‎ ‎(i)用所给编号列出所有可能的结果;‎ ‎(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.‎ 答案　(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.‎ ‎(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.‎ ‎(ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.‎ 因此,事件A发生的概率P(A)=‎9‎‎15‎=‎3‎‎5‎.‎ ‎17.(2015湖南,16,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.‎ ‎(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果;‎ ‎(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.‎ 答案　(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.‎ ‎(2)不正确.理由如下:‎ 由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},‎ 共4种,所以中奖的概率为‎4‎‎12‎=‎1‎‎3‎,不中奖的概率为1-‎1‎‎3‎=‎2‎‎3‎>‎1‎‎3‎,故这种说法不正确.‎ ‎18.(2015福建,18,12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[4,5)‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎[5,6)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[6,7)‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎[7,8]‎ ‎3‎ ‎(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;‎ ‎(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.‎ 答案　(1)解法一:融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.‎ 其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.‎ 所以所求的概率P=‎9‎‎10‎.‎ 解法二:融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.‎ 其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是:{B1,B2},共1个.‎ 所以所求的概率P=1-‎1‎‎10‎=‎9‎‎10‎.‎ ‎(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×‎2‎‎20‎+5.5×‎8‎‎20‎+6.5×‎7‎‎20‎+7.5×‎3‎‎20‎=6.05.‎ ‎19.(2015四川,17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.‎ ‎(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);‎ ‎(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ 答案　(1)余下两种坐法如下表所示:‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎3‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:‎ 乘客 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 座位号 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 于是,所有可能的坐法共8种.‎ 设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.‎ 所以P(A)=‎4‎‎8‎=‎1‎‎2‎.‎ 答:乘客P5坐到5号座位的概率是‎1‎‎2‎.‎ ‎20.(2015山东,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)‎ 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 ‎8‎ ‎5‎ 未参加演讲社团 ‎2‎ ‎30‎ ‎(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;‎ ‎(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.‎ 答案　(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,‎ 故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,‎ 所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P=‎15‎‎45‎=‎1‎‎3‎.‎ ‎(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:‎ ‎{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},‎ ‎{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},‎ ‎{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},‎ 共15个.‎ 根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.‎ 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有 ‎{A1,B2},{A1,B3},共2个.‎ 因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=‎2‎‎15‎.‎ ‎21.(2014四川,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.‎ 答案　(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,‎ 则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.‎ 所以P(A)=‎3‎‎27‎=‎1‎‎9‎.‎ 因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为‎1‎‎9‎.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,‎ 则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.‎ 所以P(B)=1-P(B)=1-‎3‎‎27‎=‎8‎‎9‎.‎ 因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为‎8‎‎9‎.‎ ‎22.(2014天津,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).‎ ‎(1)用表中字母列举出所有可能的结果;‎ ‎(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.‎ 答案　(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.‎ ‎(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.‎ 因此,事件M发生的概率为‎6‎‎15‎=‎2‎‎5‎.‎ 考点三　几何概型 ‎1.(2014湖南,5,5分)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为(　　)‎ A.‎4‎‎5‎ B.‎3‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014辽宁,6,5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)‎ A.π‎2‎ B.π‎4‎ C.π‎6‎ D.‎π‎8‎ 答案　B　‎ ‎3.(2015山东,7,5分)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤log‎1‎‎2‎x+‎‎1‎‎2‎≤1”发生的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎4‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎4‎ 答案　A　‎ ‎4.(2015湖北,8,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤‎1‎‎2‎”的概率,p2为事件“xy≤‎1‎‎2‎”的概率,则(　　)‎ A.p1‎1‎‎2‎恒成立,‎ 即甲每天值日的概率都大于‎1‎‎2‎,‎ ‎∴甲每天值日的概率都比乙每天值日的概率大,故不公平.‎ ‎11.(2020届河南濮阳模拟,18)近年来,在新高考改革中,打破文理分科的“3+x”模式初露端倪,其中语、数、外三门课为必考科目,剩下三门为选考科目,选考科目成绩采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分,假定A省规定:选考科目按考生成绩从高到低排列,按照占总体15%、35%、35%、15%分别赋分70分、60分、50分、40分,为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法,A省某高中高一(1)班(共40人)举行了一次摸底考试(选考科目全考,单科全班排名),这次摸底考试中的物理成绩(满分100分)频率分布直方图,化学成绩(满分100分)茎叶图如图所示,小明同学在这次考试中物理82分,化学70多分.‎ ‎(1)采用赋分制后,求小明物理成绩的最后得分;‎ ‎(2)若小明的化学成绩最后得分为60分,求小明的原始成绩的可能值;‎ ‎(3)若小明必选物理,其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选,求小明此次考试选考科目包括化学的概率.‎ 答案　(1)∵‎1‎‎2‎×[1-10×(0.005+0.015+0.025+0.035)]=0.1,10×0.005=0.05,‎ ‎∴此次考试物理成绩落在(80,90],(90,100]内的频率依次为0.1,0.05,∴频率之和为0.15,‎ 又∵小明的物理成绩为82分,大于80分,‎ ‎∴小明的物理成绩的最后得分为70分.‎ ‎(2)∵40名学生中,赋分70分的有40×15%=6人,‎ 这6人成绩分别为89,91,92,93,93,96.‎ 赋分60分的有40×35%=14人,其中包含80多分的共有10人,70多分的有4人,分数分别为76,77,78,79.‎ ‎∵小明的化学成绩最后得分为60分,且小明化学70多分,‎ ‎∴小明的原始成绩的可能值为76,77,78,79.‎ ‎(3)记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A,a,b,c,d,e,‎ 小明的所有可能选法有(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,a,e),(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e),共10种,‎ 其中所选学科包含化学的选法有(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,a,e),共4种,∴所求概率P=‎4‎‎10‎=‎2‎‎5‎.‎