河南省郑州市2019届高三第三次质量预测数学（文）试卷

河南省郑州市2019届高三第三次质量预测数学（文）试卷

郑州市2019年高中毕业年级第三次质量预测 文科数学试题卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150‎ 分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合A＝{∈｜－1＜＜3}，集合B＝{｜0＜＜}，则A∩B＝‎ A．{｜0＜＜3} B．{0，1，2} ‎ C．{1，2} D．{｜0＜＜}‎ ‎2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1－i）＝2＋i，则在复平面内的对应的点在 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、‎ ‎《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5 ‎ 部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作 为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（，），则该双曲线的 离心率为 ‎ A． B． C． D．3‎ ‎5．同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于（，0）对称；③在[0，]上是增函 数”的一个函数可以是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6．在△ABC中，若点D满足＝2，点M为AC中点，则＝‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．已知定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），且函数f（x）在（－∞，0）上是减函数，若a＝f（－1），＝，c＝f（20．3），则a，b，c的大小关系为 A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c ‎8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为 A． B．2 C． D．4‎ ‎9．已知数列{}，{}满足＝＝1，－＝＝3，∈．则数列{}的前10项和为 A． B． C． D．‎ ‎10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎11．函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足在D内是单调函数且存在[m，n]D使f（x）在[m，n]上的值域为[，]，那么就称y＝f（x）为“半保值函数”，若函数f（x）＝loga（ax＋t）（a＞0且a≠1）是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是 A．（0，] B．（0，） C．（0，＋∞） D．（，＋∞）‎ ‎12．已知椭圆C1：（a＞b＞0）与双曲线C2：有公共焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）‎ ‎13．若实数x，y满足条件则z＝3x－2y的最大值为__________．‎ ‎14．在三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝，BC＝BD＝CD＝2，则三棱锥D－ABC外接球的表面积为__________．‎ ‎15．在数列{}中，满足＝1，＝4．2＝（－1）＋（＋1）（≥2且∈），则＝__________．‎ ‎16．已知函数，若在区间（1，＋∞）上函数f（x）的图象恒在直线y＝2ax的图象的下方，则实数a的取值范围是__________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC＝4，cos∠CAB＝．点D在线段BC上，且BD＝CD，AD＝．‎ ‎（Ⅰ）求AB的长；‎ ‎（Ⅱ）求△ABD的面积．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，FO⊥平面ABCD，四边形OAEF为平行四边形．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面DEF⊥平面BDF；‎ ‎（Ⅱ）若AB＝FO＝BD＝2，点H在线段BF上，且＝λ，三棱锥B－AHC的体积等于三棱锥O－DEF的体积，求λ的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用xi与年销售量yi（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示：‎ ‎（Ⅰ）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·xd （其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．‎ ‎（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ui＝lnxi，vi＝lnyi，得到相关统计量的值如下表：‎ 根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为（其中e＝2．71828‎ ‎…），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少 研发费用?‎ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（－2，m）在抛物线上，且｜MF｜＝，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当k1＋k2＝－2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数f（x）＝aex－x，g（x）＝blnx．‎ ‎（Ⅰ）设h（x）＝f（x）＋g（x），函数h（x）在（1，h（1））处切线方程为y＝2x－1，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若a＝1，k为整数，当x＞0时，成立，求k的最大值．‎ ‎（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1：．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝．‎ ‎（Ⅰ）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求·的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM｜－‎ ‎｜QN｜｜的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲]‎ ‎ 已知函数f（x）＝｜x＋1｜＋a｜x＋2｜．‎ ‎（Ⅰ）求a＝1时，f（x）≤3的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有最小值，求a的取值范围，并写出相应的最小值．‎ ‎2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学 参考答案 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）‎ ‎1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．‎ ‎13． ． 14．. 15.． 16．．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分 又在中，---------------4分 在中，----------------------6分 又 ‎ 即-----------------------②‎ 联立①②得， 即---------------------------------------------------------------8分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎---------------------------------------------------------10分 ‎---------------------------------------------------------------------------12分 ‎18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴．----------------------------------------------------------------2分 又四边形为平行四边形，‎ ‎∴∥，‎ ‎∴，，------------------------------------------------------4分 ‎∵，∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．----------------------------------------------------6分 ‎（Ⅱ）∵，四边形为菱形，‎ ‎∴为等边三角形，且，．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴四棱锥的体积为．‎ ‎-----------------------------------------8分 ‎∵平面，点在线段上，且，‎ 所以点到平面的距离．‎ 所以，‎ 解得------------------------------------------------------------12分 ‎19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 ‎（Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分 由表中数据得：，‎ ‎∴，-------------------------------4分 ‎∴，∴，‎ ‎∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分 ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，‎ ‎∴，--------------------------------------------------------8分 令，得，‎ 且当时，单调递增；‎ 当时，单调递减．----------------------------------10分 所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.‎ 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分 ‎20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，‎ ‎ 抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分 ‎（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为 当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分 当直线斜率存在时，设直线的方程为 设，，将直线与抛物线联立得：‎ ‎ ‎ ‎，——————————————————①-------------7分 又，‎ 即 将①带入得，‎ 即 得或--------------------------------------------------------------------------------------10分 当时，直线为，此时直线恒过 当时，直线为，此时直线恒过（舍去）‎ 所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分 ‎21.解析 ：解：（Ⅰ）‎ ‎ 由题意可知 ，-----4分 ‎（Ⅱ）当时，等价于 设 -------------------------------------------------6分 令 当时，恒成立 在上单调递增 ， 又，‎ 在上有唯一零点，且，---------------------------9分 单减区间为，单增区间为 在的最小值为----------------------------11分 ‎ --------------------------------------------------------------------12分 ‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分) ‎ 解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，‎ 的方程可化为，设点的坐标为，，‎ ‎--------------------------------5分 ‎（2）曲线的直角坐标方程为：‎ 直线的标准参数方程为，代入得：‎ 设，两点对应的参数分别为，‎ ‎， 故，异号 ‎ ------------------------------------------------------------------10分 ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 解析：（1）当时，‎ 当时解得 当时恒成立 当时解得 综上可得解集………………5分 ‎（2）‎ 当，即时，无最小值；‎ 当，即时，有最小值；‎ 当且，即时， ‎ 当且，即时， ‎ 综上：当时，无最小值；‎ 当时，有最小值；‎ 当时， ‎ 当时， ……………… 10分