高中竞赛讲义二次函数练习

高中竞赛讲义二次函数练习

高中竞赛讲义二次函数练习 一、解答题 ‎1、（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值； ‎ ‎　 （2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。 ‎ ‎2、已知f (x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g (t)，求g (t)的表达式。 ‎ ‎3、已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0　(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是：（ ） ‎ ‎　　　　（A）19；　　　　（B）18；　　　　（C）50/9　　(D)不存在 ‎ ‎4、当X为何值时，函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。‎ ‎5、已知二次函数经过3点A（1/2，3/4）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。 ‎ ‎6、已知二次函数的图象过（－2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为125/4，求它的解析式。‎ ‎7、二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式 ‎ ‎8、  已知二次函数的图象过（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。 ‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2))(x-(2/3))2+(13/6) ‎ 又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1 ‎ ‎　　∴当x=2/3时，y=(√10)/6，（2x+3y2）max=16/3； ‎ ‎　　　当x=-1时，y=0，　（2x+3y2）min=－2 ‎ ‎    (2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 ‎ 又y2=(3/2)x (2-x)≥0，得0≤x≤2 ‎ 当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=0‎ ‎2、　　解：f (x)= (x-1)2+1 ‎ ‎　　(1)当t+1<1即t<0时，g(t)=f(t+1)=t2+1 ‎ ‎　　(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g (t)=f (1)=1 ‎ ‎　　(3)当t>1时，g(t)=f (t)=t2-2t+2 ‎ ‎　　综合（1）、（2）、（3）得：‎ ‎3、解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5 ‎ ‎　　∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5) 　　　　　　　 =-k2-10k-6=-(k+5)2+19 ‎ ‎　　如果由此得K＝-5时，（x12+x22）max=19，选（A），那就错了。为什么？已知该x1,x2是方程的两个“实数”根，即方程必须有实数根才行，而此时方程的判别式Δ≥0，即 ‎ ‎ Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0 ① ‎ 解①得：-4≤k≤-4/3 ‎ ‎　　∵k=-5[-4,-4/3]，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18 ‎ ‎　　∴当k=-4时，(x12+x22)max=18， ‎ ‎　　∴选（B） ‎ ‎　　[评注]：求二次函数最值时，必须首先考虑函数定义域。否则，审题不慎，忽略“实数”二字，就会掉进题目设置的“陷阱”中去了。 ‎ ‎4、解：∵f (x)=(x2‎-2a1x+a12)+(x2‎-2a2x+a22)+…+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2) ‎ ‎　　∴当x=((a1+a2+…+an)/n)时，f(x)有最小值。 ‎ ‎　　[评注]：1994年全国普通高考命制了如下一个填空题，在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1、a2、…，an共n个数据。我们规定的所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,…an推出a=　　　　读者从5的解答中，能否悟到解决此题的灵感？ ‎ ‎5、[分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求a1、a2、a3计算较繁。仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。 ‎ ‎　　[解法一]：顶点式：由二次函数的对称性可知，点B、C所连线段的中垂线x=(-1+2)/2=1/2即为图象的对称轴，从而点A（1/2，3/4）必是二次函数的顶点，故可设顶点式:f(x)=a(x-(1/2))2+(3/4) ‎ 把B或C的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 ‎ 解得：a=1 ，∴f(x)=(x-(1/2))2+3/4=x2-x+1 ‎ ‎　　[解法二]由B、C的纵坐标相等可知B、C两点是函数y=f (x)与直线y=3的交点，亦即B、C两点的横坐标是方程f (x)=3即f (x)-3=0的两个根故可设零点式为： f (x)-3=a(x+1)(x-2)‎ 把A点坐标代入，有　f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即－9/4=－9/4a，a=1 ‎ 从而f (x)=(x+1)(x-2)+3=x2-x+1 ‎ ‎6、　　解：∵（－2,0）和（3,0）是X轴上的两点， ‎ ‎　　∴x1＝－2，x2＝3 可设y=f(x)=a(x+2)(x-3) 　　　　　　　=a(x2-x-6)=a[(x-1/2)2-25/4]=a(x-1/2)2-25/4a ‎ 它的顶点的纵坐标为－25/4a ，∴－25/4a=125/4，a=－5 ‎ 故所求的二次函数为：f (x)=－5(x+2)(x-3)=－5x2+5x+30 ‎ ‎　　[想一想]：本例能否用顶点式来求？ ‎ ‎7、　　解：∵它的顶点坐标已知 ‎ ‎　　∴可设f (x)=a(x－1)2－8 ，又函数图象通过点（2，－5）， ‎ ‎　　∴a(2－1)2－8=－5 ，解之，得a=3 ‎ ‎　　故所求的二次函数为：y=3(x－1)2－8 ‎ ‎　　即：y=f (x)=3x2－6x－5 ‎ ‎　　[评注]，以顶点坐标设顶点式a(x-h)2+k，只剩下二次项系数a为待定常数，以另一条件代入得到关于a的一元一次方程求a，这比设标准式要来得简便得多。 ‎ ‎8、　　[解法一]：用标准式 ‎ ‎　　∵图象过三点（－1,－6）、（1，－2）、（2,3） ‎ ‎　　∴可设y=f(x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=－6　①，a+b+c=－2 ②，‎4a+2b+c=3 ③ ‎ ‎　　解之得：a=1，b=2，c=－5 ‎ ‎　　∴所求二次函数为y=x2+2x-5 ‎ ‎　　[解法二]：用三点式 ‎ ‎　　∵图象过三点（－1，－6），（1，－2），（2,3） ‎ ‎　　∴可设y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2－ ‎ ‎                 [a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)‎ ‎　　计算可得：a1=－6/(－1－1)(－1－2)=－1， 　　　　　　　a2=－2/ (1＋1)(1－2)=1， 　　　　　　　a3=3/ (2＋1)(2－1)=1 ‎ ‎　　∴f(x)=x2＋2x－5 ‎