考点23+直线与圆-2018届高考数学（理）30个黄金考点精析精训

考点23+直线与圆-2018届高考数学（理）30个黄金考点精析精训

‎2018届高考数学30个黄金考点精析精训 考点23 直线与圆 ‎【考点剖析】‎ ‎1.最新考试说明：‎ ‎1.直线与方程 ‎(1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.‎ ‎(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.‎ ‎(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.‎ ‎(4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),‎ 了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.‎ ‎(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.‎ ‎2.圆与方程 ‎(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.‎ ‎(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判 断两圆的位置关系.‎ ‎(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.‎ ‎(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ ‎2.命题方向预测：‎ ‎（1）两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.‎ ‎（2）求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.‎ ‎（3）直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现，近几年多有与圆锥曲线结合出现在综合性较强的解答题.‎ ‎3.课本结论总结：‎ ‎(1).直线的概念与方程 ‎①概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过两点的直线的斜率公式k＝tanα＝(x1≠x2)；‎ ‎②直线方程：点斜式y－y0＝k(x－x0)，两点式＝(x1≠x2，y1≠y2)，一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)；‎ ‎③位置关系：当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时，两直线平行l1∥l2⇔k1＝k2，两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点；‎ ‎④距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式．‎ ‎(2)．圆的概念与方程 ‎①标准方程：圆心坐标(a，b)，半径r，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－‎4F>0)；‎ ‎②直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法；‎ ‎③圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法.‎ ‎(3)确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：‎ ‎①根据题意，选择标准方程或一般方程；‎ ‎②根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；‎ ‎③解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．‎ ‎4.名师二级结论：‎ ‎（1）与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：‎ 一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.‎ ‎（2）对称 ‎①点关于点的对称 点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．‎ ‎②点关于直线的对称 设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)，‎ 则有可求出x′，y′.‎ ‎③直线关于直线的对称：‎ ‎10若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；20若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．‎ ‎（3）计算直线被圆截得的弦长的常用方法 ‎①几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．‎ ‎②代数方法 运用根与系数关系及弦长公式 ‎|AB|＝|xA－xB|‎ ‎＝.‎ 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． (4)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 ‎①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；‎ ‎②圆心在任一弦的中垂线上；‎ ‎③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．‎ ‎(5)过圆上一点只能作圆的一条切线，这条切线垂直过切点的半径；过圆C外一个P可作圆的两条切线，在使用直线的斜率为参数这类圆的切线方程时要注意斜率不存在的情况，如果切点是A，B，则点A，B在以线段CP为直径的圆D上，从而圆C，D的方程中消掉二次项得到的方程就是切点弦AB的方程．‎ ‎5.课本经典习题：‎ ‎(1) 新课标A版必修二第127页，例2 已知过点M(-3,-3)的直线被圆所截得的弦长为,求直线的方程.‎ ‎【答案】,或 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线的距离 ‎，即 解得:，所以,所求直线有两条,它们的方程分别为: ,或.‎ ‎【经典理由】此例很好地融合了直线与圆的有关知识,而直线与圆的位置关系是高考命题的热点．‎ ‎(2) 新课标人教A版必修二第133页，B组第2题:已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P在圆上运动,求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】: 最大值为88,最小值为72.‎ ‎【经典理由】在几何中求最值,通常可直接应用几何性质来求,也可转化为函数的最值来求解;此题很好地将圆和最值问题联系在一起,这也是高考命题的热点．‎ ‎6.考点交汇展示：‎ ‎(1)直线、圆与不等式的交汇 ‎1.【2018届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期初】若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则 的最小值为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即 ‎， ，所以 ，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B．‎ ‎ (2) 直线、圆与向量的交汇 ‎【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上,结合限制条件 ，可得点P横坐标的取值范围为.‎ ‎ (3) 直线、圆与圆锥曲线的交汇 ‎【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【考点分类】‎ 热点1 直线的方程与位置关系 ‎1.【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知直线，其中，则“”是“”的（ ） ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】直线的充要条件是 或 。故选A。‎ ‎2.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用两平行线间距离公式得.‎ ‎3.【2017届陕西省西安市铁一中学高三上第五次模拟】设点，若直线与线段有一个公共点，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为直线与线段有一个公共点，‎ 所以点在直线的两侧，‎ 所以，‎ 即或，‎ 画出它们表示的平面区域，如图所示，‎ 表示原点到区域的点距离的平方，‎ 由图可知，当原点到直线的距离到区域内 的点的距离的最小值，‎ ‎，所以的最小值为.‎ ‎【方法规律】‎ ‎(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决直线问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．‎ ‎(2)若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：‎ 一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.‎ ‎２．设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则：l1//l2⇔A1B2-B1A2＝0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．‎ ‎【易错点睛】‎ ‎（1）直线方程中点斜式方程最为根本，但要注意这个形式的方程，当直线的倾斜角等于90°时，不能应用；使用直线的截距式方程时，要始终考虑两个问题，一是直线的截距是不是存在，二是直线的截距是不是零，不然很容易出现错误．‎ 例如：求过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程.‎ ‎【答案】 x－2y－9＝0或2x－5y＝0.易忽视直线过坐标原点的情况；‎ ‎(2) 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． ‎ ‎（3）在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等．‎ 热点2圆的方程和性质 ‎1.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆：，圆心为（-1,1）半径为1，圆与圆关于直线对称，则先找（-1,1）关于直线的对称点为（2，-2），所以圆的圆心为 ‎（2，-2），半径为1，所以圆为 故选B ‎2.【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知圆C： （）及直线： ，当直线被C截得的弦长为时，则= （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得，解得，又因为，所以；故选C.‎ ‎【方法规律】‎ ‎1．利用圆的几何性质求方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．‎ ‎2．利用待定系数法求圆的方程：‎ ‎(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；‎ ‎(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程 组，从而求出D，E，F的值.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‎ 点与圆的位置关系 ‎2. 可知平面上的一点M(x0，y0)与圆C之间存在着下列关系：‎ ‎(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；‎ ‎(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b) 2＝r2⇔M在圆上；‎ ‎(3)dr⇔相离.‎ ‎2．圆的弦长的常用求法 ‎(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2‎ ‎(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝|x1－x2|＝.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．‎ ‎3．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1. (1)若两圆相交,则从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．‎ ‎(2)若两圆相切,则从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的经过公共切点的公切线的方程.‎ ‎2.圆的切线 ‎(1)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2；‎ ‎(2)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.‎ ‎【易错点睛】‎ 过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．‎ 例.已知圆C：x2＋y2＝4，则过点P(2,4)的圆的切线方程是________.‎ ‎【答案】: 3x-4y+7=0或x=2.‎ ‎【解析】:设圆的切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，由于圆心到直线的距离d＝，解得，故所求的切线方程是y－4＝ (x－3),即3x-4y+7=0.‎ 显然掉了斜率不存在的情况：直线x=2也是已知圆的过点P的切线．‎ ‎【热点预测】‎ ‎1.【2017届江西师范大学附属中学三模】已知直线与，则“”是“”的（ ）条件.‎ A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分又不必要 ‎【答案】B ‎2.【2016高考新课标2】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎3.若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】 D ‎【解析】 由配方得，所以圆心坐标为，‎ 若直线始终平分圆的周长，则直线必过点，‎ 所以，所以，即，当且仅当，即是取等号.故的取值范围是是.‎ ‎4.已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=　　　　（　　）‎ A、2 B、 C、6 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，.选C.‎ ‎5.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是 （ ）‎ ‎ A. 2 B. ‎4 C. 3 D.6‎ ‎【答案】B ‎6. 【2018届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】已知圆C：（a<0）的圆心在直线 上，且圆C上的点到直线的距离的最大值为，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的方程为 ，圆心为① ， ‎ 圆C上的点到直线的距离的最大值为② ‎ 由①②得　 ，a<0，故得 ， =3．‎ ‎7.已知直线，若，则的值为（ ）‎ A、 B、 C、 D、或 ‎【答案】‎ ‎【解析】，则，所以或.‎ ‎8.【广东省惠州市2017届高三第一次调研】已知圆截直线所得弦长为6，则实数的值为（ ）‎ A．8 B．11 C．14 D．17‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆，圆心，半径．故弦心距 ‎．再由弦长公式可得；故选B．‎ ‎9.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知圆：（）及圆上的点，过点的直线交圆于另一点，交轴于点，若，则直线的斜率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线的斜率为,则直线，与联立解得，而，由得 ‎10.已知圆与抛物线的准线相切，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为抛物线的准线为圆的方程为，所以，解得.‎ ‎11.【四川省成都市2017届高中毕业班摸底】已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为圆的圆心为，且圆上存在两点关于直线对称，所以过点，所以，得,切割线,故答案为.‎ ‎12.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为 ‎13.已知圆的方程为,直线的方程为,点在直线上,过点作圆的切线,切点为. ‎ ‎(1)若,试求点的坐标;‎ ‎(2)若点的坐标为,过作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程; ‎ ‎【答案】(1) 或 (2) 或 ‎【解析】(1)设,由题可知,所以,‎ 解之得:, ‎ 故所求点的坐标为或. …………………………………6分 ‎(2)设直线的方程为:,易知存在,‎ 由题知圆心到直线的距离为,所以, ‎ 解得,或, ‎ 故所求直线的方程为:或. ……………13分 ‎14.已知椭圆，直线与相交于、两点，与轴、轴分别相交于、两点，为坐标原点. ‎ ‎（1）若直线的方程为，求外接圆的方程；‎ ‎（2）判断是否存在直线，使得、是线段的两个三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. ‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且直线的方程为或 ‎.‎ ‎（2）结论：存在直线，使得、是线段的两个三等分点.‎ 理由如下：‎ 由题意，设直线的方程为，，，‎ 则 ，， ‎ 由方程组 得， ‎ 所以 ， （*） ‎ 由韦达定理，得，. ‎ 由、是线段的两个三等分点，得线段的中点与线段的中点重合. ‎ 所以 ， ‎ 解得 . ‎ 由、是线段的两个三等分点，得. ‎ 所以， ‎ 即 ，‎ 解得 . ‎ 验证知（*）成立.‎ 所以存在直线，使得、是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，‎ 或. ‎ ‎ ‎