专题17 三角函数的最值的求解策略-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题17 三角函数的最值的求解策略-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 化一法 使用情景：函数表达式形如类型 解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式；‎ 第二步 利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式；‎ 第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.‎ 例1 已知函数，则在上的最大值与最小值之差为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎，即为换元思想，把看作一个整体，利用的单调性即可得出最值，这是解决的常用做法．‎ ‎【变式演练1】设当时，函数取得最大值，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式演练2】已知函数的最小正周期是．‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)求在[，]上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) ； (2) 最大值、最小值 ‎ (2)当时，,所以在上的最大值和最小值分别为、.‎ 考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数的性质；‎ ‎【变式演练3】已知函数图象的一条对称轴是，且当时，函数取得最大值，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．‎ ‎【变式演练4】已知的定义域为[].‎ ‎(1)求的最小值.‎ ‎(2)中,,,边的长为函数的最大值,求角大小及的面积.‎ ‎【答案】(1)函数的最小值；(2) 的面积.‎ ‎【解析】‎ 考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.‎ ‎【变式演练5】已知函数.‎ ‎（I）求的最小正周期和最大值；‎ ‎（II）求在上的单调递增区间．‎ ‎【答案】（I）的最小正周期为，最大值为；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）利用三角恒等变换的公式，化简，即可求解的最小正周期和最大值；（II）由递增时，求得，即可得到 在上递增．‎ 试题解析：‎ ‎（I）的最小正周期为，最大值为1； ‎ ‎（II） 当递增时，，‎ 即 , ‎ 所以，在上递增 即在上的单调递增区间是 ‎ 考点：三角函数的图象与性质．‎ 方法二 配方法 使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式 函数；‎ 第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.‎ 第三步 得出结论.‎ 例2 函数的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【变式演练6】已知函数有最大值，求实数的值．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：，令，‎ 则，对称轴为，‎ 考点：三角函数的最值．‎ ‎【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于的二次函数，根据的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．‎ ‎【变式演练7】函数的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈，‎ 化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1‎ 设sinx+cosx=t，则t=sin（x）x+，‎ 那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈‎ ‎∴x+∈[0， ]，所以： ．∵函数g（t）=t2+t﹣1．‎ 开口向上，对称轴t=－，∴是单调递增．‎ 当t=0时，g（t）取得最小值为-1．‎ 求函数的最大值与最小值.‎ 方法三 直线斜率法 使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式 函数；‎ 第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 求函数的最值.‎ ‎【答案】的最大值为，最小值为.‎ ‎【变式演练8】求函数在区间上的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】若函数表达式可化为形如（其中，为含有三角函数的式子），则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国III文，6】函数的最大值为（ ）‎ A． B．1C．D． ‎ ‎【答案】A 所以选A.‎ ‎【考点】三角函数性质 ‎【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征 ‎2.【2016高考新课标1卷】已知函数 为的 零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )‎ ‎（A）11        （B）9     （C）7        （D）5‎ ‎【答案】B 考点：三角函数的性质 ‎【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期;②若的图像关于直线 对称,则 或.‎ ‎3. 【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，故此时所对应的点为，此时向左平移个单位，故选A.‎ 考点：三角函数图象平移 ‎【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特 别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换 ‎4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎ 5.【2015高考安徽，理10】已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.‎ ‎【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.‎ ‎6.【2015高考湖南，理9】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【考点定位】三角函数的图象和性质.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.‎ ‎7.【2017全国II文，13】函数的最大值为 . ‎ ‎【答案】‎ ‎8.【2017全国II理，14】函数（）的最大值是 。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：化简三角函数的解析式：‎ ‎，‎ 由自变量的范围：可得：，‎ 当时，函数取得最大值1。‎ ‎【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。‎ ‎【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。9. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .‎ ‎【答案】8.‎ 考点：三角恒等变换，切的性质应用 ‎【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识 ‎10.【2015高考浙江，文11】函数的最小正周期是 ，最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，所以；.‎ ‎【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.‎ ‎11.【2015高考上海，理13】已知函数．若存在，，，满足，且 ‎（，），则的最小值 为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以 ‎，因此要使得满足条件的最小，须取 即 ‎【考点定位】三角函数性质 ‎【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.‎ ‎12.【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由与得 所以的最小正周期是 由正弦函数的性质得 解得 所以的单调递增区间是．‎ ‎【考点】三角函数求值、三角函数的性质 ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎13. 【2016年高考北京理数】在ABC中，.‎ ‎（1）求 的大小；‎ ‎（2）求 的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.‎ ‎【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．‎ ‎14.【2015高考北京，理15】已知函数．‎ ‎(Ⅰ) 求的最小正周期；‎ ‎(Ⅱ) 求在区间上的最小值．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ 考点定位： 本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质，要求熟练使用降幂公式与辅助角公式，利用函数解析式研究函数性质，包括周期、最值、单调性等．‎ ‎【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【河北省衡水市武邑中学2018届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】已知，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵sinα+cosβ= ，‎ 可得：cosβ=﹣sinα，‎ ‎∵﹣1≤﹣sinα≤1．‎ 可得： ≤sinα≤1．‎ 那么：cos2α+cos2β=1﹣2sin2α+2cos2β﹣1=2（cos2β﹣sin2α）‎ ‎=2（cosβ+sinα）（cosβ﹣sinα）=2**（﹣2sinα）=﹣6sinα，‎ ‎∵sinα∈[，1]，‎ 则：﹣6sinα∈[﹣6，﹣3]，‎ ‎∴cos2α+cos2β=﹣6sinα∈[﹣， ]．‎ 故选：D．‎ ‎2．【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）试题】设当时，函数取得最大值，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎3．【百校联盟2018届高三开学摸底联考数学（文）试卷】若的 图像关于直线对称，且当取最小值时， ，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 4．【全国名校大联考2018届高三第二次联考数学（理）试题】若动直线与函数和的图象分别交于两点，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线与函数图像的交点为，直线与函数的交点为，则.‎ 的最大值为.‎ ‎5．【广西南宁市第八中学2018届高三毕业班摸底考试数学（文）试题】函数的图象可以有函数的图象至少向左平移__________个单位得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,令，则，依题意可得，故，即，当时，正数，故答案为.‎ ‎7. 【江西省2018届高三年级阶段性检测考试（二）文科数学试题】设函数 ‎，若方程恰好有三个根，分别为 ，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作图像，由图像可得， 的取值范围是 ‎8．【重庆市梁平区2018届高三上学期第一次调研考试数学（文）试题】若函数为区间上的凸函数，则对于上的任意个值，总有. 现已知函数在上是凸函数，则在锐角中， 的最大值为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎9．【安徽省滁州市2018届高三9月联合质量检测数学（文）试题】若函数 的值域是，则的最大值是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令,作出的图象，使其值域为，则定义域最长为 即， 最大为，即的最大值是.‎ ‎10．【湖北省武汉市2017-2018学年度部分学校新高三起点调研考试文科数学试题】函数取得最大值时的值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 11. 【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟数学（理）试题】若 的最小值为 .‎ ‎（1）求 的表达式；‎ ‎（2）求能使 的值，并求当 取此值时，的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为 ‎（2）若，由所求的解析式知或 由或（舍）；由（舍）‎ 此时，得，所以时，，此时的最大值为.‎ ‎12．【江西省2018届高三年级阶段性检测考试（二）文科数学试题】已知函数的一条对称轴为，且最高点的纵坐标是．‎ ‎（1）求的最小值及此时函数的最小正周期、初相；‎ ‎（2）在（1）的情况下，设，求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）取得最小正值，，初相为．（2）最大值为，最小值为．‎ 此时，函数的最小正周期为，初相为．‎ ‎（2），‎ 因为函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在上的最大值为，最小值为．‎ 点睛：已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用 “五点法”中相对应的特殊点求.‎