2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练57

2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练57

课时分层训练(五十七) 绝对值不等式 (对应学生用书第 238 页) 1．(2018·榆林模拟)已知函数 f(x)＝|x－2|. (1)求不等式 f(x)＋x2－4＞0 的解集； (2)设 g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于 x 的不等式 f(x)＜g(x)的解集非空，求实数 m 的取值范围． [解] (1)由题意，知 x－2＞4－x2(x≥2)或 x－2＜x2－4(x＜2)， 1 分 由 x－2＞4－x2(x≥2)得 x＞2；由 x－2＜x2－4(x＜2)， 得 x＜－1， 3 分 ∴原不等式的解集为{x|x＞2 或 x＜－1}. 4 分 (2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|＜3m 的解集非空， 5 分 ∵|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9， 8 分 ∴3m＞9，∴m＞3. 10 分 2．若函数 f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为 5，求实数 a 的值． [解] 当 a＝－1 时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意； 当 a＜－1 时，f(x)＝ －3x－1＋2a，x≤a， x－1－2a，a＜x≤－1， 3x＋1－2a，x＞－1， 3 分 f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5， 解得 a＝－6； 5 分 当 a＞－1 时，f(x)＝ －3x－1＋2a，x≤－1， －x＋1＋2a，－1＜x≤a， 3x＋1－2a，x＞a， 7 分 f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5， 解得 a＝4. 9 分 综上所述，实数 a 的值为－6 或 4. 10 分 3．(2018·秦皇岛模拟)已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围． [解] (1)当 a＝－3 时， 不等式 f(x)≥3 化为|x－3|＋|x－2|≥3.(*) 若 x≤2 时，由(*)式，得 5－2x≥3，∴x≤1. 若 2＜x＜3 时，由(*)式知，解集为∅. 若 x≥3 时，由(*)式，得 2x－5≥3，∴x≥4. 综上可知，f(x)≥3 的解集是{x|x≥4 或 x≤1}. 4 分 (2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，(**) 当 1≤x≤2 时，(**)式化为 4－x－(2－x)≥|x＋a|， 解得－2－a≤x≤2－A． 8 分 由条件，[1,2]是 f(x)≤|x－4|的解集的子集， ∴－2－a≤1 且 2≤2－a，则－3≤a≤0， 故满足条件的实数 a 的取值范围是[－3,0]. 10 分 4．(2018·福建六校联考)已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|. (1)求不等式 f(x)≤6 的解集； (2)若关于 x 的不等式 f(x)－log2(a2－3a)＞2 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【导学号：79170379】 [ 解 ] (1) 原 不 等 式 等 价 于 x＞3 2 ， 2x＋1＋2x－3≤6 或 －1 2 ≤x≤3 2 ， 2x＋1－2x－3≤6 或 x＜－1 2 ， －2x＋1－2x－3≤6， 1 分 解得3 2 ＜x≤2 或－1 2 ≤x≤3 2 或－1≤x＜－1 2 ， 3 分 ∴不等式 f(x)≤6 的解集为{x|－1≤x≤2}. 4 分 (2)不等式 f(x)－log2(a2－3a)＞2 恒成立⇔log2(a2 －3a)＋2＜f(x)恒成立⇔ log2(a2－3a)＋2＜f(x)min 成立， ∵|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4， 6 分 ∴f(x)的最小值为 4，∴log2(a2－3a)＋2＜4， 7 分 即 a2－3a＞0， a2－3a－4＜0， 解得－1＜a＜0 或 3＜a＜4， 9 分 ∴实数 a 的取值范围为(－1,0)∪(3,4). 10 分 5．(2018·肇庆模拟)已知函数 f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋A． (1)当 a＝0 时，解不等式 f(x)≥g(x)； (2)若存在 x∈R，使得 f(x)≥g(x)成立，求实数 a 的取值范围． [解] (1)由 f(x)≥g(x)， 得|x＋1|≥2|x|， 两边平方，并整理得(3x＋1)(x－1)≤0， 2 分 解得－1 3 ≤x≤1， 所以原不等式的解集为 x|－1 3 ≤x≤1 . 4 分 (2)由 f(x)≥g(x)，得|x＋1|≥2|x|＋a， 即|x＋1|－2|x|≥A． 令 F(x)＝|x＋1|－2|x|， 依题意可得 F(x)max≥A． 5 分 F(x)＝|x＋1|－2|x|＝ 1－x，x≥0， 3x＋1，－1＜x＜0， x－1，x≤－1， 7 分 易得 F(x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 9 分 所以当 x＝0 时，F(x)取得最大值 1. 故 a 的取值范围是(－∞，1]. 10 分 6．(2017·郑州质检)已知函数 f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式|x－1|＜f(x)； (2)已知 m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤1 m ＋1 n(a＞0)恒成立，求实数 a 的 取值范围． [解] (1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|， 所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则 x＞－1 4 或 x＜－3 2 ， 故原不等式的解集为 x|x＞－1 4 或 x＜－3 2 .4 分 (2)因为 m＋n＝1(m＞0，n＞0)， 所以1 m ＋1 n ＝(m＋n) 1 m ＋1 n ＝2＋m n ＋n m ≥4， 当且仅当 m＝n＝1 2 时，等号成立． 令 g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2| ＝ 2x＋2＋a，x＜－2 3 ， －4x－2＋a，－2 3 ≤x≤a， －2x－2－a，x＞a， 8 分 则 x＝－2 3 时，g(x)取得最大值2 3 ＋a， 要使不等式恒成立，只需 g(x)max＝2 3 ＋a≤4. 解得 a≤10 3 . 又 a＞0，因此 0＜a≤10 3 . 10 分