2017-2018学年陕西省黄陵中学高新部高二下学期开学考试数学文试题（解析版）

2017-2018学年陕西省黄陵中学高新部高二下学期开学考试数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年陕西省黄陵中学高新部高二下学期开学考试数学文试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知为正数，则“”是“ ”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】设，则在上单调递减。‎ 若，则，即；‎ 若，即，则有。‎ 综上可得“”是“ ”的充要条件。‎ 选C。‎ ‎2. 由命题“存在，使”是假命题，得的取值范围是，则实数的值是（ ）‎ A. 2 B. e C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知：，使 即，又，‎ 所以，‎ ‎∴‎ 故选：C ‎3. 如图，空间四边形中，点分别在上， ， ，则 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵BN=CN，∴，‎ ‎∵OM=2MA，∴，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎4. 设点为双曲线（， ）上一点， 分别是左右焦点，是的内心，若， ， 的面积满足，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. ‎ C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图,设圆I与的三边、、分别相切于点，连接，‎ 则，‎ 它们分别是,,的高，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 其中r是的内切圆的半径。‎ ‎∵，‎ ‎∴− =，‎ 两边约去r得：，‎ 根据双曲线定义,得，‎ ‎∴离心率为.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题是利用点到直线的距离等于圆半径，中位线定理，及双曲线的定义列式求解即可.‎ ‎5. 在中，，那么等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据题意，由于中，，因为角B，则可知等于，选C.‎ 考点：余弦定理 点评：解决的关键是根据已知的三边通过余弦定理了来解三角形，属于基础题。‎ ‎6. 关于的不等式 的解集为，则的值是（ ）‎ A. B. C. 12 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】关于的不等式 的解集为，则的两个根为，且,故由韦达定理得 故 故选A ‎7. 已知数列中，，则能使的可以等于（ ）‎ A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴, ，同理可得：‎ 所以，所以, 能使的n可以等于16. 所以C选项是正确的.‎ ‎8. 设，“1，，16为等比数列”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】若1，，16为等比数列，则=16，即 故“1，，16为等比数列”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C ‎9. 在平行六面体中， ， ， ，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图象可知，，在中，，‎ 所以，故选B。‎ ‎10. 已知-2与1是方程的两个根，且，则的最大值为（ ）‎ A. -2 B. -4 C. -6 D. -8‎ ‎【答案】B ‎【解析】，得，所以 ‎，‎ 故选B。‎ ‎，得到答案。‎ ‎11. 关于的不等式只有一个整数解，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 当时，得，不符合题意；‎ 当时，且，解得。‎ 故选C。‎ 点睛：本题考查含参的函数零点问题。由于参数位于二次项系数位置，所以在讨论的过程中要分讨论，本题中由题意，只需讨论即可，然后根据结合题意，利用数轴分析解集区间，满足题意即可。‎ ‎12. 已知直角， ， ， ， 分别是的中点，将沿着直线翻折至，形成四棱锥，则在翻折过程中，①；②；③；④平面平面，不可能成立的结论是（ ）‎ A. ①②③ B. ①② C. ③④ D. ①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题易知，平面时，有成立，故③能成立，又在翻折的过程中，平面与平面的二面角的平面交就是，由翻折轨迹观察，不可能为直角，故④不能成立，‎ 所以由选项可知，①②④不可能成立，故选D。‎ 点睛：本题考查立体几何的翻折问题。翻折问题关键是找准题目中的变量与不变量，寻找翻折过程中的运动轨迹，结合轨迹图象的特点，就可以得到问题的正确答案。本题中再结合排除法可以解得答案。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 双曲线的焦距为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，即双曲线的焦距为.‎ ‎14. 在数列中，，且数列是等比数列，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由于数列是等比数列，，所以，所以公比是，所以数列的通项公式是，进而 ，故答案填.‎ 考点：1.通项公式；2.等比数列.‎ ‎15. 已知点为抛物线：上一点，记到此抛物线准线的距离为，点到圆上点的距离为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】易知圆的圆心为，半径为2，设抛物线的焦点为，连接，由抛物线的定义，得，‎ 要求的最小值，需三点共线，且最小值为。‎ 点睛：本题考查抛物线的定义的应用；涉及抛物线的焦点或准线的距离的最值问题是一种常考题型，往往利用抛物线的定义进行合理转化，而本题中，要将点到准线的距离转化成到焦点的距离，还要将点到圆上的点的距离的最值转化为点到圆心的距离减去半径.‎ ‎16. 抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设到准线的距离分别为，则，又是的中点，所以，由得 ，‎ ‎∴，即，故最大值为．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17. （1） ‎ ‎（2）已知角终边上一点P（－4，3），求的值 ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）化带分数为假分数后进行有理指数幂的化简运算；‎ ‎（2）利用诱导公式即可化简求值得解．‎ 试题解析：‎ ‎（1）原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵角终边上一点P（－4，3）‎ ‎∴ ．‎ ‎18. 已知分别为的内角的对边，．‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知利用正弦定理化简可求，结合sinA≠0，解得：，即可得解A的值；‎ ‎（2）由余弦定理可得7=b2+c2﹣bc，又2b﹣c=4，联立解得b，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，，得，‎ 因为，所以，解得，或．‎ 又因为，所以，‎ 所以的面积．‎ ‎19. 在中，内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求 ； ‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=c．代入可得b2，即可得出△ABC的面积S=sinA．‎ 试题解析：‎ ‎（1）解法1：由及正弦定理可得 ‎.在中，，所以 由以上两式得，即，又，所以． ‎ ‎（2）的面积， ‎ 由，及余弦定理得 ‎， ‎ 因为，所以，‎ 即 ，‎ 故的面积．‎ ‎20. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程 试题解析：（1）由题意知到直线的距离为圆A半径 ‎，所以圆的方程为 ‎（2）由勾股定理得圆心到直线的距离 设动直线方程为：或，显然合题意．‎ 由到距离为1知得 或为所求方程．‎ 考点：1．直线与圆相交的性质；2．圆的方程 ‎21. 已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设点在抛物线上，过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线、分别交直线于、两点，求最小时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）焦点 ，根据点到直线的距离，求抛物线方程；（2）设直线 的方程为与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再求直线的方程，得到点的坐标，利用根与系数的关系表示两点间距离，求最值.‎ 试题解析：（1）抛物线的焦点为，，得，或（舍去）‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）点在抛物线上，∴，得，‎ 设直线为，，，‎ 由得，；‎ ‎∴，，‎ ‎，‎ 由，得，同理；‎ ‎∴；‎ ‎∴当时，，此时直线方程：.‎ ‎【点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，确定抛物线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎22. 已知函数， .‎ ‎（1）求函数在点点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求函数的极值点和极值；‎ ‎（3）当时， 恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）的极大值，函数无极小值;（3）.‎ ‎【解析】试题分析：1）求出导函数，求解切线的斜率f′（1）=1﹣a，然后求解切线方程；‎ ‎（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，求解函数的极值即可；‎ ‎（3）令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出导函数g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，求出，通过若a≤0，若，若，分别判断函数的符号函数的单调性，求解函数的最值，然后求解a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题，所以，‎ 所以切线方程为： ‎ ‎（2）由题时， ，所以 所以； ，‎ 所以在单增，在单减，所以在取得极大值.‎ 所以函数的极大值，函数无极小值 ‎（3），令，‎ ‎，令， ‎ ‎（1）若， ， 在递增， ‎ ‎∴在递增， ，从而，不符合题意 ‎（2）若，当， ，∴在递增，‎ 从而，以下论证同（1）一样，所以不符合题意 ‎（3）若， 在恒成立，‎ ‎∴在递减， ，‎ 从而在递减，∴， ，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;‎ ‎（3）若恒成立，可转化为.‎