山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学（文）试卷 Word版含解析

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学（文）试卷 Word版含解析

‎2019届山东省实验中学 高三第二次诊断性考试数学（文）试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．已知集合A=‎1，2，3，4‎，B=‎2，4，6，8‎，则A∪B中的元素个数是 A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎2．已知向量a‎=‎-1,2‎,b=m,1‎，若a⊥b，则m=‎ A．‎-2‎ B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．‎1‎‎2‎ D．2‎ ‎3．设x,y满足约束条件‎3x+2y-6≤0‎x≥0‎y≥0‎‎，‎则z=x-y的最大值是 A．‎-3‎ B．0 C．2 D．3‎ ‎4．已知等比数列an中，‎a‎3‎‎=-2,a‎7‎=-8,则a‎5‎=‎ A．‎-4‎ B．±4 C．4 D．16‎ ‎5．“a>1‎”是“指数函数fx=‎3-2ax在R单调递减”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎7．已知函数fx=sin‎2x+φ‎0<φ<π，若将函数fx的图像向左平移π‎6‎个单位长度后所得图像对应函数是偶函数，则φ=‎ A．‎5π‎6‎ B．‎2π‎3‎ C．π‎6‎ D．‎π‎3‎ ‎8．函数的部分图象为 ‎9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）‎ A．866 B．500 C．300 D．134‎ ‎10．曲线上的点到直线的最短距离是 A． B．2 C． D．‎ ‎11．将函数fx=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移π‎6‎个单位后得到函数gx的的图像，若函数gx在区间‎0,‎aπ‎9‎与‎2aπ,4π上均单调递增，则实数a的取值范围为 A．‎13‎‎12‎‎,2‎ B．‎13‎‎12‎‎,‎‎3‎‎2‎ C．‎7‎‎6‎‎,2‎ D．‎‎7‎‎6‎‎,‎‎3‎‎2‎ ‎12．已知OA‎,OB,‎OC均为单位向量，满足OA‎⋅OB=‎1‎‎2‎,OA⋅OC≥0,OB⋅OC≥0‎，设OC‎=xOA+yOB，则x+y的最小值为：‎ A．‎-‎‎2‎‎3‎‎3‎ B．0 C．‎3‎‎3‎ D．1‎ 二、填空题 ‎13．已知函数fx=log‎3‎x,x>0‎‎9‎x‎,x≤0‎,则ff‎-1‎=‎_________‎ ‎14．已知x>0,y>0‎且x+y=1‎，则‎1‎x‎+‎‎4‎y的最小值为______________。‎ ‎15．函数fx=sinx‎2‎‎1+cosx的最大值为________‎ ‎16．表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字70在表中出现的次数为________‎ 三、解答题 ‎17．已知在递增的等差数列an中,a‎1‎=2,a‎3‎是a‎1‎和a‎9‎的等比中项 ‎(I)求数列an的通项公式；(II)若bn‎=‎‎1‎n+1‎an，Sn为数列bn的前n项和，求Sn．‎ ‎18．已知向量m‎=(‎3‎sinx−cosx，1)，n‎=(cosx，‎1‎‎2‎)，函数f(x)=‎m‎⋅n．‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)‎的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若a，b，c分别是角A，B，C的的对边，a=2‎‎3‎，c=4‎，且f(A)‎=1，求△ABC的面积．‎ ‎19．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从网年龄在15~65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：‎ ‎（I）由频率分布直方图估计年龄的众数和平均数；‎ ‎（II）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ 参考数据：‎ K‎2‎‎=‎nad-bc‎2‎a+bc+da+cb+d ‎（III）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.求抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率.‎ ‎20．已知数列an的前n项和为Sn,a‎1‎=2,an+1‎=2+‎Sn ‎(I)求数列an的通项公式；(Ⅱ)设bn‎=‎‎3n-1‎an，求数列bn的前n项和Tn ‎21．某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：‎ ‎(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数b‎,‎a精确到0.01)；‎ ‎(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．‎ 参考公式：‎b‎=i=1‎nxi‎-‎xyi‎-‎yi=1‎nxi‎-‎x‎2‎=i=1‎nxiyi‎-nxyi=1‎nxi‎2‎‎-nx‎2‎,a=y-‎bx 参考数据：‎i=1‎‎6‎xiyi‎=187.4,‎i=1‎‎6‎xizi‎=47.64,‎i=1‎‎6‎xi‎2‎‎=139,ln1.03≈0.03,ln1.02≈0.02.‎ ‎22．已知fx=‎ex(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，其反函数为y=gx，函数fx-gx的最小值为m．‎ ‎(1)求曲线y=gx+2‎在点‎1，2‎的切线方程；‎ ‎(2)求证：‎21‎”是“指数函数fx=‎3-2ax在R单调递减”的必要非充分条件.‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题p、q和集合A、B的对应关系.p:A={x|p(x)成立}‎，q:B={x|q(x)成立}‎；最后利用下面的结论判断：①若A⊆B,则p是q的充分条件，若A⊂B，则p是q的充分非必要条件；②若B⊆A,则p是q的必要条件，若B⊂A，则p是q的必要非充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A=B时，则p是q的充要条件.‎ ‎6．B ‎【解析】试题分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．‎ 解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，‎ 所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；‎ 故选B．‎ 考点：茎叶图．‎ ‎7．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数平移得解析式y=sin⁡(2x+π‎3‎+φ)‎，由函数为偶函数得sinπ‎3‎‎+φ‎=±1‎，从而得π‎3‎‎+φ=π‎2‎+kπ,k∈Z.进而结合条件的范围可得解.‎ ‎【详解】‎ 将函数fx=sin‎2x+φ的图像向左平移π‎6‎个单位长度后所得图像对应函数是：y=sin‎2x+‎π‎6‎+φ=sin⁡(2x+π‎3‎+φ)‎.‎ 由此函数为偶函数得x=0‎时有：sinπ‎3‎‎+φ‎=±1‎.‎ 所以π‎3‎‎+φ=π‎2‎+kπ,k∈Z.即φ=π‎6‎+kπ,k∈Z.‎ 由‎0<φ<π，得φ=‎π‎6‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 解答三角函数图象变换的注意点：‎ ‎（1）进行图象变换时，变换前后的三角函数名称一样，若名称不一样，则先要根据诱导公式统一名称．‎ ‎（2）在进行三角函数图象变换时，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对x而言的，即图象变换要看“变量”发生了多大的变化，而不是“角”变化多少．‎ ‎8．A ‎【解析】试题分析：因,故当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增.故应选A.‎ 考点：导数与函数单调性的关系．‎ ‎9．D ‎【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D.‎ ‎10．C ‎【解析】 ‎ 因此到直线的最短距离是 ,选C.‎ ‎11．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性 求得a的范围．‎ ‎【详解】‎ 将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cosx‎2‎的图象；‎ 然后向右平移π‎6‎个单位后得到函数g（x）=cosx-‎π‎6‎‎2‎=cos（x‎2‎﹣π‎12‎）的图象，‎ 若函数g（x）在区间‎[0，aπ‎9‎]‎与[2aπ，4π]上均单调递增，‎ 则 0﹣π‎12‎=﹣π‎12‎，‎1‎‎2‎‎⋅‎aπ‎9‎﹣π‎12‎≤0，且‎2aπ‎2‎﹣π‎12‎≥2kπ﹣π，‎4π‎2‎﹣π‎12‎≤2kπ，k∈Z．‎ 解得‎13‎‎12‎≤a≤‎3‎‎2‎，‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．‎ ‎12．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可设C（cos θ，sin θ），设A（‎1‎‎2‎，‎3‎‎2‎），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．‎ ‎【详解】‎ 由|OC‎→‎|=1可设C（cos θ，sin θ），‎ 又OA‎→‎•OB‎→‎=‎1‎‎2‎，所以cos∠BOA=‎1‎‎2‎,所以∠BOA=π‎3‎.‎ 因为|OA‎→‎|=|OB‎→‎|=1，可设A（‎1‎‎2‎，‎3‎‎2‎），B（1，0），‎ OC‎→‎‎=xOA‎→‎+yOB‎→‎，所以‎1‎‎2‎x+y=cosθ‎3‎‎2‎x=sinθ‎,∴x=‎2sinθ‎3‎,y=cosθ-sinθ‎3‎,‎ 所以x+y=cosθ+sinθ‎3‎=‎3‎‎3‎(sinθ+‎3‎cosθ)=‎2‎‎3‎‎3‎sin(θ+π‎3‎)‎,‎ 因为OB‎⋅OC≥0‎,所以cosθ≥0,‎（1）‎ 因为OA‎⋅OC≥0‎，所以‎1‎‎2‎cosθ+‎3‎‎2‎sinθ≥0‎，（2）‎ 由（1）（2）得‎-π‎6‎≤θ≤π‎2‎,∴π‎6‎≤θ+π‎3‎≤‎5π‎6‎,‎ 所以当θ+π‎3‎=π‎6‎时，‎x+y最小值为‎2‎‎3‎‎3‎‎⋅‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎.故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎13．‎‎-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求f(-1),再求ff‎-1‎的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得f(-1)=‎9‎‎-1‎‎=‎1‎‎9‎.‎所以ff‎-1‎=‎f(‎1‎‎9‎)=log‎3‎‎1‎‎9‎=log‎3‎‎3‎‎-2‎=-2.‎ 故答案为：-2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎14．9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为x>0,y>0‎且x+y=1‎，所以 取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.‎ 考点：本试题主要考查了均值不等式求解最值的运用。‎ 点评：解决该试题的关键是构造均值不等式的结构特点，利用一正二定三相等的思路来分析求解得到结论。‎ ‎15．‎‎4‎‎3‎‎9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简f(x)=2sinx‎2‎(1-sin‎2‎x‎2‎)‎，再利用基本不等式求f‎2‎‎(x)‎的最大值，即得f(x)的最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题得f(x)=sinx‎2‎(1+2cos‎2‎x‎2‎-1)=2sinx‎2‎cos‎2‎x‎2‎=2sinx‎2‎(1-sin‎2‎x‎2‎)‎，‎ 所以f‎2‎‎(x)=4sin‎2‎x‎2‎(1-sin‎2‎x‎2‎)(1-sin‎2‎x‎2‎)=2⋅2sin‎2‎x‎2‎(1-sin‎2‎x‎2‎)(1-sin‎2‎x‎2‎)‎ ‎≤2⋅‎(‎2sin‎2‎x‎2‎+(1-sin‎2‎x‎2‎)+(1-sin‎2‎x‎2‎)‎‎3‎)‎‎3‎=‎16‎‎27‎,‎ 所以f(x)≤‎4‎‎3‎‎3‎=‎‎4‎‎9‎‎3‎.故答案为：‎‎4‎‎3‎‎9‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎16．‎‎4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第1行数组成的数列A‎1j‎(j=1,2,…)‎是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列Aij‎(i=1,2,…)‎是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果．‎ ‎【详解】‎ 第i行第j列的数记为Aij‎(i=1,2,…)‎.那么每一组i与j的组合就是表中一个数.‎ 因为第一行数组成的数列A‎1j‎(j=1,2,…)‎是以2为首项，公差为1的等差数列，‎ 所以A‎1j‎=2+(j-1)×1=j+1‎，‎ 所以第j列数组成的数列Aij‎(i=1,2,…)‎是以j+1为首项，公差为j的等差数列，‎ 所以Aij‎=(j+1)+(i-1)×j=ij+1‎.‎ 令Aij‎=ij+1=70‎，‎ ‎∴ij=69=1×69=3×23=23×3=69×1‎，‎ 所以，表中70共出现4次.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题．‎ ‎17． (I)an‎=2n (II)Sn‎=‎ ‎n‎2(n+1)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据已知求出d=2，再写出数列an的通项公式. (II) 由题意可知bn‎=‎1‎‎2n(n+1)‎=‎1‎‎2‎(‎1‎n-‎1‎n+1‎)‎，再利用裂项相消法求和得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(I)设公差为d,因为a‎3‎‎2‎‎=‎a‎1‎a‎9‎，所以‎(2+2d)‎‎2‎‎=2(2+8d)‎，解得d=2或d=0舍，‎ 所以an‎=2n. ‎ ‎(II)由题意可知：bn‎=‎1‎‎2n(n+1)‎=‎1‎‎2‎(‎1‎n-‎1‎n+1‎)‎ ‎ 所以Sn‎=‎ ‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎+...+‎1‎n-‎1‎n+1‎)=‎n‎2(n+1)‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18．（1）[kπ−π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)； （2）‎2‎‎3‎ .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）化简函数fx=sin(2x-π‎6‎)‎,利用正弦函数的单调性求递增区间即可（Ⅱ）根据f(A)‎=1可求出A，利用余弦定理可求出b,代入面积公式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）fx=m·n=‎3‎sinx cosx−cos‎2‎x+‎1‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎sin2x-‎1+cos2x‎2‎+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎sin2x-‎1‎‎2‎cos2x ‎=sin(2x-π‎6‎)‎‎,‎ 由‎2kπ-π‎2‎≤2x-π‎6‎≤2kπ+‎π‎2‎，k∈Z，得kπ-π‎6‎≤x≤kπ+‎π‎3‎，k∈Z，‎ 故函数f(x)‎的单调递增区间为[kπ−π‎6‎，kπ+π‎3‎](k∈Z)． ‎ ‎（Ⅱ）由题意得f(A)‎=sin(2A−π‎6‎)=1， ∵A‎∈‎(0，π)，∴2A−π‎6‎ ‎∈‎ ‎（-‎π‎6‎，‎11π‎6‎‎）‎ ‎ ‎∴2A−π‎6‎ ‎=‎π‎2‎,A=‎π‎3‎,‎ 由余弦定理a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎-2bccosA，得12=b‎2‎+16−2×4b×‎1‎‎2‎，即b‎2‎−4b+4=0，‎ ‎∴b=2． ∴△ABC的面积S=‎1‎‎2‎bcsinA=‎1‎‎2‎×2×4×‎sinπ‎3‎=2‎3‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简，正弦型函数的单调性及利用余弦定理解三角形，属于中档题.‎ ‎19．（Ⅰ）众数为50，平均数为42，（Ⅱ）有95%的把握 (Ⅲ)‎‎3‎‎7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图知，最高矩形的中点代表的是众数，矩形中点乘以矩形面积求和可得平均数；‎ ‎（Ⅱ）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； (Ⅲ) 设45岁以下的6人为a1，a2， a3，a4， a5，a6，45岁以上的2人为b1，b2，将所有的基本事件列举出来，数出满足条件的基本事件，利用古典概型计算公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：(I) 估计众数为50. ‎ 估计平均数为＝20×0.2＋30×0.1＋40×0.2＋50×0.3＋60×0.2＝42. ‎ ‎(II)列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 因为K2＝＝＝6.25＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异． ‎ ‎(III)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．‎ 设45岁以下的6人为a1，a2， a3，a4， a5，a6，45岁以上的2人为b1，b2，则从这8人中随机抽2人包含以下基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)， (a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，( (b1，b2)共28个基本事件．记抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，共12个基本事件．故P(M)=‎12‎‎28‎=‎‎3‎‎7‎. ‎ 即抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率为‎3‎‎7‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图的众数和平均数的计算，同时考查了独立性检验的应用，还考查了古典概型的计算，属于中档题.‎ ‎20．(I)an‎=‎2‎n(II)Tn=(12n-7)‎2‎n-1‎-1‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)利用项和公式求数列an的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn‎.‎ ‎【详解】‎ ‎(I)由题意可知：当n≥2‎时，an‎=2+‎Sn-1‎，又因为an+1‎‎=2+‎Sn，所以an+1‎‎=2‎an， ‎ 又因为当n=1‎，a‎2‎‎=4‎，所以a‎2‎‎=2‎a‎1‎ ‎ 所以an 等比数列，且an‎=‎‎2‎n ‎ ‎（2）‎Tn‎=2⋅2+5⋅‎2‎‎2‎+...+(3n-1)‎‎2‎n ‎ ‎‎2Tn=2⋅‎2‎‎2‎+5⋅‎2‎‎3‎+...+(3n-1)‎‎2‎n+1‎ ‎-Tn=4+3⋅‎2‎‎2‎+3⋅‎2‎‎3‎+...+3⋅‎2‎n-(3n-1)‎2‎n+1‎=4+3‎1-‎‎2‎n-1‎‎1-2‎-(3n-1)‎‎2‎n+1‎‎ ‎ ‎ ‎‎=1+(7-12n)‎‎2‎n-1‎ 所以Tn‎=(12n-7)‎2‎n-1‎-1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎21．(I)z与x的线性回归方程是z‎=-0.36x+3.63‎ (II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是y‎=‎e‎-0.36x+3.63‎, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.‎ ‎【详解】‎ ‎(I)由题意，知x‎=‎1‎‎6‎(2+3+4+5+6+7)=4.5‎，‎ ‎ z‎=‎1‎‎6‎(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2‎，‎ 又i=1‎‎6‎xizi‎=47.64‎,‎i=1‎‎6‎xi‎2‎‎=139‎ 所以b‎=‎47.64-6×4.5×2‎‎139-6×‎‎4.5‎‎2‎=-‎6.36‎‎17.5‎≈-0.363‎， ‎ 所以a‎=z-b⋅x=2+0.363×4.5=3.63‎，‎ 所以z与x的线性回归方程是z‎=-0.36x+3.63‎；‎ ‎(II)因为z=lny,‎ 所以y关于x的回归方程是y‎=‎e‎-0.36x+3.63‎,‎ 令x＝10，‎ 得y‎=‎e‎-0.36×10+3.63‎=e‎0.03‎,因为ln 1.03≈0.03，所以y‎=1.03‎，‎ 即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22．（1）y=x+1‎（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过求函数导数值得切线斜率，再由点斜式即可得解；‎ ‎（2）通过求导，利用导数的正负得函数的单调性，进而得存在唯一的x‎0‎‎∈(‎1‎‎2‎,1)‎，使得h'(x‎0‎)=0‎，m=h(x‎0‎)=ex‎0‎-lnx‎0‎，再通过运算可得m=ex‎0‎-lnx‎0‎=‎1‎x‎0‎+‎x‎0‎，进而可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知y=gx+2=lnx+2‎，‎ y‎/‎‎=‎‎1‎x‎，所以斜率k=1‎，所以切线方程为y=x+1‎. ‎ ‎（2）令h(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx h'(x)=ex-‎‎1‎x‎，因为h'(1)=e-1>0‎，h'(‎1‎‎2‎)=e-2<0‎，‎ 又因为h'(x)‎在R‎+‎上单增 所以存在唯一的x‎0‎‎∈(‎1‎‎2‎,1)‎，使得h'(x‎0‎)=0‎，即 ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎， ‎ 当x∈(0,x‎0‎),h'(x)<0‎，所以h(x)‎单减，同理h(x)‎在‎(x‎0‎,+∞)‎单增， ‎ 所以m=h(x‎0‎)=ex‎0‎-lnx‎0‎， ‎ 因为ex‎0‎‎=‎‎1‎x‎0‎，所以‎-lnx‎0‎=‎x‎0‎， ‎ 所以m=ex‎0‎-lnx‎0‎=‎1‎x‎0‎+‎x‎0‎因为x‎0‎‎∈(‎1‎‎2‎,1)‎，所以‎2

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