数学理卷·2018届江苏省张家港高级中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届江苏省张家港高级中学高二下学期期中考试（2017-04）

张家港高级中学 2016~2017学年第二学期期中考试 ‎ 高二理科数学试卷 20170413‎ 命题人：杨宏胜 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将正确结果填在相应横线上.）‎ ‎1.复数的共轭复数是__________.‎ ‎2. 若，则将用排列数符号表示为 . ‎ ‎3.求值＝__________.‎ ‎4. 用反证法证明“在一个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，应假设的内容 是 . ‎ ‎5. 如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是纯虚数，则实数m＝________. ‎ ‎6. 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于 .‎ ‎7.二项式8的展开式中常数项等于 .‎ ‎8.若，则＝ .‎ ‎9. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为 .‎ ‎10.若(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a1＋a2＝21，则展开式的各项中系数的最大值为 .‎ ‎11. 在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．‎ ‎12把正整数按一定的规则排成了如右下图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为 . ‎ ‎13.对于命题：‎ 若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.‎ 将它类比到平面的情形是：‎ 若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0.‎ 将它类比到空间的情形应该是：‎ 若O是四面体ABCD内一点，则有____ ．‎ ‎14. 已知函数f(x)＝＋lnx，则f(x)在上的最大值等于 . ‎ 二.解答题（本大题共6小题，计90分，请写出必要的文字表述、计算过程或推演步骤.）‎ ‎15. （本小题14分）已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.‎ ‎(1)求复数z；‎ ‎(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.‎ ‎16．（本小题14分）在6的展开式中，求：‎ ‎(1)第3项的二项式系数及系数；‎ ‎(2)含x2的项．‎ ‎17．（本小题15分）喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．‎ ‎(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？‎ ‎(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？‎ ‎(3)记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为，求的概率分布.‎ ‎18. （本小题15分）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*).求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论.‎ ‎19. （本小题16分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.‎ ‎(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的概率分布.‎ ‎20. （本小题16分）已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1.‎ ‎(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ‎ ‎(2)对任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立，求a的取值范围．‎ 张家港高级中学 2016~2017学年第二学期期中考试 ‎ 高二年级数学试卷参考答案 ‎ 20170413‎ 一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将正确结果填在相应横线上.）‎ ‎1.复数的共轭复数是__________.‎ 考点:复数的有关概念 ‎2. 若，则将用排列数符号表示为 . ‎ 考点：排列数公式 ‎3.求值＝__________.2‎ 考点：组合数公式的应用 ‎4. 用反证法证明“在1个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，应假设的内容 是 . 至多有1个锐角 考点：反证法 ‎5. 如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是纯虚数，则实数m＝________.0或1 ‎ 考点：复数的代数运算 ‎6. 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于 . 考点：随机变量的概率分布 ‎7.二项式8的展开式中常数项等于 .70‎ 考点：二项式定理的应用 ‎8.若，则＝ . 0.1875（或）‎ 考点：二项分布 ‎9. 已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为 .0.009‎ 考点：独立事件的概率问题 ‎10.若(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a1＋a2＝21，则展开式的各项中系数的最大值为 .20‎ 考点：二项式系数的性质的应用 ‎11. 在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示)．0.3‎ 考点：古典概型问题 ‎12把正整数按一定的规则排成了如右下图所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2009，则i与j的和为 . 107‎ 考点：数阵问题 ‎13.对于命题：‎ 若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.‎ 将它类比到平面的情形是：‎ 若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0.‎ 将它类比到空间的情形应该是：‎ 若O是四面体ABCD内一点，则有____ ．‎ VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0‎ 考点：类比推理 ‎14. 已知函数f(x)＝＋lnx，则f(x)在上的最大值等于 .1－ln2 ‎ 考点：用导数研究函数的最值 二.解答题（本大题共6小题，计90分，请写出必要的文字表述、计算过程或推演步骤.）‎ ‎15. （本小题14分）已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.‎ ‎(1)求复数z；‎ ‎(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.‎ 考点：复数的代数运算 ‎15.解:　(1)(1＋3i)(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i，…………3分 ‎∵(1＋3i)z是纯虚数，‎ ‎∴3－3b＝0且9＋b≠0， ………………………………6分 则b＝1，‎ 从而z＝3＋i. ………………………………8分 ‎(2)ω＝＝＝＝－i. …………11分 ‎∴|ω|＝＝. ……………………14分 ‎16．（本小题14分）在6的展开式中，求：‎ ‎(1)第3项的二项式系数及系数；‎ ‎(2)含x2的项．‎ 考点：二项式定理的应用 ‎16.解(1)第3项的二项式系数为C＝15， ……………………2分 又T3＝C(2)42＝24·Cx， ……………………5分 所以第3项的系数为24C＝240. ………………7分 ‎(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，……………10分 令3－k＝2，得k＝1. ……………12分 所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2. ……………14分 ‎17．（本小题15分）‎ 喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．‎ ‎(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？‎ ‎ (2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？‎ ‎(3)记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为，求的概率分布列.‎ 考点：排列组合应用题，随机变量的概率分布 ‎17.解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法． ………………4分 ‎(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．……………8分 ‎(3) ‎ ‎ ‎ ‎ …………………………13分 的概率分布表如下： ………………15分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎18. （本小题15分）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*).求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；‎ 考点：合情推理，数学归纳法 ‎18.解 由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1， ……………2分 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.‎ 猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. ………………6分 用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，由上可得结论成立. ……………7分 ‎②假设当n＝k时，结论成立，即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， …………………………9分 那么当n＝k＋1时，‎ ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，……………11分 bk＋1＝＝(k＋2)2. ……………13分 所以当n＝k＋1时，结论也成立. ……………14分 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立.……15分 ‎19. （本小题16分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.‎ ‎(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.‎ 考点：随机变量的概率分布 ‎19.解 (1)由已知，有 所以事件发生的概率为. ………………………………8分 ‎(2)随机变量的所有可能取值为 ‎ …………………14分 所以随机变量的分布列为 ‎………………………………16分 ‎20. （本小题16分）已知函数f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1.‎ ‎(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ‎ ‎ (2)对任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立，求a的取值范围．‎ 考点：导数的综合应用，不等式恒成立问题 ‎20． (1)证明：f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna， ……………………2分 由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna>0，ax－1>0，所以f′(x)>0， ………4分 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．……………………5分 ‎(2)由(1)可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，‎ 故函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．‎ 所以，f(x)在区间[－1,0]上单调递减，在区间[0,1]上单调递增． …………7分 所以f(x)min＝f(0)＝1， f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}， ……………………9分 f(－1)＝＋1＋lna，f(1)＝a＋1－lna，‎ f(1)－f(－1)＝a－－2lna，……………………11分 记g(x)＝x－－2lnx，g′(x)＝1＋－＝2≥0，‎ 所以g(x)＝x－－2lnx递增，故f(1)－f(－1)＝a－－2lna>0，‎ 所以f(1)>f(－1)，于是f(x)max＝f(1)＝a＋1－lna， ……………………14分 故对任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|max＝|f(1)－f(0)|＝a－lna，‎ a－lna≤e－1，所以1

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