吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期第四次月考数学（理）试题
通榆一中高二下学期第四次考试数学试卷(理科)
命题人 高二备课组
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 若为a实数，且2+ai1+i=3+i，则a=( )
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4
2. 在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线的伸缩变换公式是( )
A. x=3x'y=2y' B. x'=3xy'=2y C. x'=3xy'=12y D. x=3x'y=12y'
3. 极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(p>0)表示的图形是( )
A. 两个圆 B. 两条直线
C. 一个圆和一条射线 D. 一条直线和一条射线
4. 在极坐标系中，点(2,π4)到曲线ρcos(θ+π4)=2的距离等于( )
A. 1 B. 2 C. 22 D. 2
5. 将参数方程x=2+sin2θy=sin2θ (θ为参数)化为普通方程是( )
A. y=x-2 B. y=x+2
C. y=x-21≤x≤3 D. y=x+20≤y≤1
6. 已知曲线fx=xcosx+3x在点0,f0处的切线与直线ax+4y+1=0垂直，则实数a的值为( )
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
7. 已知函数f(x)=x2-5x+2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A. 0,12和(1,+∞) B. (0,1)和(2,+∞)
C. 0,12和(2,+∞) D. (1,2)
8. 若f(x)=-ex,x>1x,x≤1(e为自然对数的底数)，则02f(x)dx= ( )
A. 12+e2-e B. 12+e C. 12+e-e2 D. -12+e-e2
9. 若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2在x=1处有极值，则ab的最大值( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
10. 若函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点，则实数a的取值范围是( )
A. (4e2,+∞) B. (0,4e2) C. (0,4e2) D. (0,+∞)
11. 有5名同学进行投篮比赛，决出第1名至第5名的不同名次，教练在公布成绩前透露，五名同学中的甲、乙名次相邻，丙不是第一名，丁不是最后一名，根据教练的说法，这5名同学的名次排列最多有( )种不同的情况．
A. 28 B. 32 C. 54 D. 64
12. 若函数fx的定义域是R，则不等式的exf(x)>ex+1的解集为( )
A. (-∞,0) B. (-∞,-1)∪(1,+∞)
C. (0,+∞) D. (-∞,0)∪(0,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. (x-111)12的展开式中第三项的系数为________________．
14. 由数字2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为______ ．
15. 若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=______．
16. 直线x=2-22ty=-1+22t(t为参数)与圆x2+y2=1有两个交点A，B，若点P的坐标为(2,-1)，则|PA|·|PB|=________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 求下列函数的导数：
(Ⅰ；
(Ⅱ)y=x3ex．
18.
已知函数f(x)=x3-3x．
(Ⅰ)求f'(2)的值；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间和极值．
1. 已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
(1)中间二个位置排教师，有多少种排法？
(2)两名教师不能相邻的排法有多少种？
(3)两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
2. 已知函数f(x)=ax+1x+lnx在点(1,f(1))处的切线方程是y=bx+5．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)．
3. 设常数a≥0，函数．
(1)令g(x)=xf'(x)(x>0)时，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小；
(2)求证：f(x)在(0,+∞) 上是增函数；
(3)求证：当x>1时，恒有x>ln2x-2alnx+1．
4. 已知曲线C的极坐标方程为以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x=12ty=32t+2,(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)求直线l被曲线C所截得的弦长．
参考答案
1.【答案】D
【解答】
解：由2+ai1+i=3+i，得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i，
则a=4，
故选D．
2.【答案】C
【解答】
解：将曲线y=2sin3x①经过伸缩变换变为y=sinx即y'=sinx'②
设伸缩变换公式是x'=λxy'=μyλ>0,μ>0，
把伸缩变换关系式代入②式得：μy=sinλx与①的系数对应相等得到：λ=3μ=12
变换关系式为x'=3xy'=12y .
故选C．
3.【答案】C
【解析】解：极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ>0)，
可得ρ=1或θ=π．
∴方程表示的图形是一个圆和一条射线．
故选：C．
极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ>0)，可得ρ=1或θ=π.即可得出．
本题考查了极坐标方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解答】
解：在极坐标系中，点(2,π4)化为直角坐标为2cosπ4,2sinπ4，即为(1,1)，
曲线ρcos(θ+π4)=2即22ρcosθ-22ρsinθ=2，化为直角坐标方程为x-y-2=0，
则(1,1)到直线x-y-2=0的距离等于1-1-22=2．
故选B．
5.【答案】C
【解答】
解：由第一个方程，可得1≤x≤3，
两个方程，消去θ，可得y=x-2，
∴将参数方程x=2+sin2θy=sin2θ(θ为参数)化为普通方程是y=x-21≤x≤3，
故选C．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，化简运算能力，属于基础题．
求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．
【解答】
解：f(x)=xcosx+3x的导数为f'(x)=cosx-xsinx+3，
可得在点(0,f(0))处的切线斜率为cos0-0+3=4，
由切线与直线ax+4y+1=0垂直，可得-a4=-14，
即a=1．
故选：C．
7.【答案】C
【解答】
解：由题意得，函数f(x)的定义域是(0,+∞)，
令f'x=2x-5+2x=2x2-5x+2x
=x-22x-1x>0，
解得：0
2，
故函数的单调递增区间是0,12和(2,+∞)．
故选C．
8.【答案】C
【解答】
解：由f(x)=-ex,x>1x,x≤1，
所以02f(x)dx=01xdx+_12(-ex)dx=x22|01+(-ex)|12=12+e-e2．
故选C．
9.【答案】D
【解答】
解：函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2的导数f'(x)=12x2-2ax-2b，
由于函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2在x=1处有极值，
则有f'(1)=0，即有a+b=6，(a,b>0)，
由于a+b≥2ab，即有ab≤(a+b2)2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．
故选：D．
10.【答案】B
【解答】
解：函数y=x2ex的导数为y'=2xex+x2ex=xex(x +2)，
令y'=0，则x=0或-2，
y'>0，x<-2或x>0，y'<0，-2ex+1可转化为gx>0，
则g'(x)=exf(x)+ex·f'x-ex
=exfx+f'x-1，
∵f'(x)+f(x)<1，
∴g'(x)=exfx+f'x-1<0，
则函数g(x)=exf(x)-ex-1在R上单调递减，
∵f(0)=2，
∴g(0)=e0f(0)-e0-1=0，
则gx>0的解集为-∞,0，
则不等式exf(x)>ex+1的解集为-∞,0．
故选A．
13.【答案】6
【解析】【分析】
本题主要考查二项式展开式的通项公式，属基础题．利用通项即求解．
【解答】
解：(x-111)12的展开式中第三项，通项公式Tr+1=Cnran-rbr
可得T3=T2+1=C122x12-2(-111)2
∴第三项的系数为C122(-111)2=6
故答案为6．
14.【答案】10
【解答】
解：根据题意，要求的是四位偶数，则个位数字必须是0或2，
分2种情况分析：
①、0在个位，将2、1、7三个数字全排列，安排在前三位数字即可，
有A33=6个四位偶数，
②、2在个位，由于0不能在千位，则千位数字有2种情况，
将剩余的2个数字全排列，安排在百位、十位，有A22=2种情况，
则此时有2×2=4个四位偶数，
则一共有6+4=10个四位偶数，
故答案为10．
15.【答案】121
【解答】
解：令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=35；
再令x=-1，则a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1，
∴a0+a2+a4=35+(-1)2=121，
故答案为121．
16.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查直线的参数方程，直线与圆相交的性质，属于基础题．
将 x=2-22ty=-1+22t化为一般形式，代入圆x2+y2=1，得到一个一元二次方程，求出解，求得|PA|⋅|PB|的值．
【解答】
解：由直线参数方程x=2-22ty=-1+22t,
化为：x+y=1，
代入圆x2+y2=1，
得：x=0y=1或x=1y=0
所以|PA|⋅|PB|=2-12+-1-02×2-02+-1-12=4，
故答案为4．
17.【答案】(Ⅰ)解：，
∴由导数的计算公式，可得．
(Ⅱ)解：∵y=x3ex，
∴由导数的乘法法则，可得．
【解析】本题主要考查了导数的计算，熟练掌握导数的计算公式是解题的关键，属于基础题．
(Ⅰ)由导数的计算公式进行计算，即可得解；
(Ⅱ)由导数的乘法法则进行计算、变形，即可得解．
18.【答案】解：(Ⅰ)f'(x)=3x2-3，
所以f'(2)=9；
(Ⅱ)f'(x)=3x2-3，
令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，
令f'(x)<0，解得：-10，f'(x)<0，即可得单调区间，由极值定义可求得极值．
19.【答案】解：(1)4名学生和2名教师站在一排照相，
中间两个位置排教师，先排老师再排学生，
有A22A42=48种排法．
(2)两名教师不能相邻，先排四名学生，再利用插空法排2名老师，
有A44A52=480种排法．
(3)两名教师不站在两端，且必须相邻，先在中间四个位置选两个相邻位置排老师，再排学生，
有A22C31A44=144种排法．
【解析】本题考查不同的排法种数的求法，考查排列组合知识等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(1)先排教师有A22种方法，再排学生有A44种方法，再根据分步计数原理求得结果;
(2)先排4名学生，有A44种方法；再把2个教师插入4个学生形成的5个空中，方法有A52种．根据分步计数原理，求得结果．
(3)将两个老师看做一个整体，有A22种排法，再给老师选个位置C31，最终将学生排进A44；
20.【答案】解：(1)因为f(x)=ax+1x+lnx，f'(x)=-ax2+1x=x-ax2，
则f'(1)=1-a，f(1)=2a，
函数f(x)在点1,f1处的切线方程为：y-2a=(1-a)(x-1)，
(直线y=bx+5过1,f1点，则f(1)=b+5=2a)，
由题意得1-a=b,3a-1=5 即a=2，b=-1.
(2)由(1)得f(x)=2x+2x+ln x，函数f(x)的定义域为0,+∞，
因为f'(x)=-2x2+1x=x-2x2，所以f'(x)<0⇒00⇒x>2，
所以f(x)=2x+2x+ln x在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增．
故f(x)在1e,2上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
所以f(x)在1e,e上的最小值为f(2)=3+ln2．
又f(1e)=2e+1，f(e)=3+2e，且 f(1e)>f(e)．
所以f(x)在1e,e上的最大值为f(1e)=2e+1．
综上，f(x)在1e,e上的最大值为2e+1，最小值为3+2e．
【解析】本题考查导数的几何意义以及求函数再定义域上的最值．
(1)根据f'(1)=1-a，f(1)=2a以及在点(1,f(1))处的切线方程是y=bx+5可得1-a=b,3a-1=5解出结果；
(2)根据导数求出函数f(x)在1e,e的最值即可．
21.【答案】解：(1)因为，
所以．
所以，
所以g'(x)=1-2x=x-2x，令g'(x)=0，得x=2．
列表如下：
x
(0,2)
2
(2,+∞)
g '(x)
-
0
+
g(x)
减
极小值g(2)
增
所以g(x)在x=2处取得极小值g(2)=2-2ln2+2a ，
即g(x) 的最小值为g(2)=2-2ln2+2a=2(1-ln2)+2a，
因为ln2<1 ，所以1-ln2>0 ，又a≥0，所以g(2)>0·
(2)由(1)知，g(x)的最小值为正数，
所以对一切x∈(0,+∞) ，恒有g(x)=xf'(x)>0．
从而当x>0时，恒有f'(x)>0 ，
故f(x)在(0,+∞) 上是增函数．
(3)由(2)知f(x)在(0,+∞) 上是增函数，
所以当x>1时，f(x)>f(1)．
又f(1)=1-ln21+2aln1-1=0 ，
所以f(x)>0 ，即x-ln2x+2alnx-1>0 ，
所以x>ln2x-2alnx+1，
故当x>1 时，恒有x>ln2x-2alnx+1．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究闭区间上函数的最值和导数中的恒成立性问题，是中档题．
(1)先求导得g(x)=xf'(x)=x-2lnx+2a,(x>0)，利用导数研究最值；
(2)由(1)知，g(x)的最小值为正数，从而当x>0时，恒有f'(x)>0 ，即可得证；
(3)由(2)知f(x)在(0,+∞) 上是增函数，所以当x>1时，f(x)>f(1)．
又f(1)=1-ln21+2aln1-1=0 ，所以f(x)>0 ，即可得证．
22.【答案】解：(1)∵曲线C的极坐标方程可化为，且，
∴曲线C
的直角坐标方程为x2+y2-2y=0，
直线l: x=12ty=32t+2,(t为参数)的普通方程为y=3x+2；
(2)圆心0,1到直线l: y=3x+2的距离为d=|-1+2|1+32=12，
又∵半径为1，
∴弦长为21-(12)2=3．
【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆相交的弦长公式．
(1)消去参数t，即可求出直线的普通方程，利用，即可求出曲线C的直角坐标方程；
(2)求出圆心到直线的距离，利用弦长公式，即可求出结果．