2019-2020学年甘肃省兰州第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题
兰州一中 2019-2020-1 学期期末考试试题
高二数学（理）
命题人: 审题人：
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时
间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列命题中,正确命题的个数为( )
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若 ab＝0，则 a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为 60°”的逆否命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．命题“ 且 的否定形式是( )
A． 且 B． 或
C． 且 D． 或
3．抛物线 y＝4x2 的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．1 C．1
4 D．1
8
4．已知命题 ， .若命题 是假命题，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．若 ，则方程 表示焦点在 轴上的双曲线的充要条件是( )
A． B．
C． 或 D．
6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线 y＝3x＋7 与椭圆相交所得弦的中点的纵
坐标为 1，则这个椭圆的方程为( )
:p Rx ∈∃ 022 ≤++ aaxx p a
Rk ∈ 123
22
=+++ k
y
k
x x
23 −<<− k 3−
k 2−>k
* *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n≤
* *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n> * *
0 0, ( )n N f n N∃ ∈ ∉ 0 0( )f n n>
* *
0 0, ( )n N f n N∃ ∈ ∉ 0 0( )f n n> * *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n>
(0,1) [0,1] ( ,0) (1, )−∞ +∞ ( ,0] [1, )−∞ +∞
A．x2
12
＋y2
20
＝1 B．x2
8
＋y2
12
＝1
C．x2
12
＋y2
8
＝1 D．x2
4
＋y2
12
＝1
7．2x2－5x－3＜0 的一个必要不充分条件是（ ）
A．－ ＜x＜3 B．－ ＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
8．双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±2 3
3
x，一个焦点为 F(0，－ 7)，点 A( 2，0)，点 P 为双
曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( )
A．8 B．10 C．4＋3 7 D．3＋3 17
9．在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E, F 分别是 BC, AD 的中点，则 =( )
A．0 B． C． D．
10．不等式 的解集记为 ，关于 的不等式 的解集记为 ，
若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( )
A． B.
C． D．
11．已知直线 的斜率为 ，它与抛物线 相交于 A，B 两点， 为抛物线的焦点，
若 ,则 ＝( )
A． B． C． D．
12．已知点 F 为双曲线 E：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线 y＝kx(k>0)与 E 交于不同象
限内的 M，N 两点，若 MF⊥NF，设∠MNF＝β，且 β∈[ π
12，π
6]，则该双曲线的离心率的取
值范围是( )
A．[ 2， 2＋ 6] B．[2， 3＋1]
C．[2， 2＋ 6] D．[ 2， 3＋1]
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
2
1
2
1
2
1
AE CF⋅
2
1
4
3−
2
1−
1 11x
<− p x 2 ( 1) 0x a x a+ − − > q
p q a
( 2, 1]− − [ 2, 1]− −
( ] [ ), 2 1,−∞ − − +∞ ( , 2) ( 1, )−∞ − − +∞
l k xy 42 = F
|| k
22 3
3 3 4
2
FBAF 3=
13．已知 a＝(1,2，-y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a-b)，则 x+y= ．
14． 若点 O 和点 F 分别为椭圆x2
9
＋y2
8
＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，则
OP
→
·FP
→
的最小值为________．
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次
关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持
金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1 关收税金1
2
，第 2 关收税金为剩余的1
3
，第 3
关收税金为剩余的1
4
，第 4 关收税金为剩余的1
5
，第 5 关收税金为剩余的1
6
，5 关所收税金之
和，恰好重 1 斤，问原来持金多少？”若将“5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原来持金
多少？”改成“假设这个人原本持金为 x，按此规律通过第 8 关”，则第 8 关所收税金为
________x．
16．过双曲线 （ ， ）的右焦点 作渐近线的垂线，设垂足为 （
为第一象限的点），延长 交抛物线 （ ）于点 ，其中该双曲线与抛物线
有一个共同的焦点，若 ，则双曲线的离心率的平方为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．（本小题满分 10 分）
已知命题 p： 函数 y=x2+mx+1 在(-1，+∞）上单调递增，命题 q： 对函数 y=-4x2+4(2-
m)x-1， y≤0 恒成立．若 p∨q 为真，p∧q 为假，求 m 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点，
AA1＝AC＝CB＝ 2
2
AB =2．
(1)求证：BC1∥平面 A1CD；
(2)求二面角 D－A1C－E 的正弦值．
19．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1，－2)．
(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
(2)若平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l 与抛物线 C 相交于 M、N 两点，且|MN|=3 ，
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > F P P
FP 2 2y px= 0p > Q
1 ( )2OP OF OQ= +
5
求∆AMN 的面积．
20．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点.
(1)证明：PO⊥平面 ABC；
(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M－PA－C 为 30°，求 PC 与平
面 PAM 所成角的余弦值．
21．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C1 的方程为x2
4
＋y2＝1，双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点，而
C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点．
(1)求双曲线 C2 的方程；
(2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且OA
→
·OB
→
＞2(其中 O
为原点)，求 k 的取值范围．
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为 F1(－ 2，0)，F2( 2，0)，点 M(1，
0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 M(1，0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，设点 N(3，2)，记直线 AN，BN
的斜率分别为 k1，k2，求证：k1＋k2 为定值．
兰州一中 2019-2020-1 学期期末考试试题
高二数学（理）
命题人: 审题人：
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时
间 120 分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．下列命题中,正确命题的个数为( )
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“若 ab＝0，则 a＝0”的否命题；
③“正三角形的三个角均为 60°”的逆否命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
2．命题“ 且 的否定形式是( )
A． 且 B． 或
C． 且 D． 或
答案 B
3．抛物线 y＝4x2 的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．1 C．1
4 D．1
8
解析 由 y＝4x2 得 x2＝1
4y，所以 2p＝1
4
，p＝1
8
，则抛物线的焦点到准线的距离为1
8.
答案 D
4．已知命题 ， .若命题 是假命题，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案 A
:p Rx ∈∃ 022 ≤++ aaxx p a
* *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n≤
* *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n> * *
0 0, ( )n N f n N∃ ∈ ∉ 0 0( )f n n>
* *
0 0, ( )n N f n N∃ ∈ ∉ 0 0( )f n n> * *, ( )n N f n N∀ ∈ ∈ ( )f n n>
(0,1) [0,1] ( ,0) (1, )−∞ +∞ ( ,0] [1, )−∞ +∞
5．若 ，则方程 表示焦点在 轴上的双曲线的充要条件是( )
A． B．
C． 或 D．
答案 A
6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线 y＝3x＋7 与椭圆相交所得弦的中点的纵
坐标为 1，则这个椭圆的方程为( )
A．x2
12
＋y2
20
＝1 B．x2
8
＋y2
12
＝1
C．x2
12
＋y2
8
＝1 D．x2
4
＋y2
12
＝1
答案 B
7．2x2－5x－3＜0 的一个必要不充分条件是（ ）
A．－ ＜x＜3 B．－ ＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜6
答案 D
8．双曲线 C 的渐近线方程为 y＝±2 3
3
x，一个焦点为 F(0，－ 7)，点 A( 2，0)，点 P 为双
曲线第一象限内的点，则当点 P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( )
A．8 B．10 C．4＋3 7 D．3＋3 17
答案 B
9．在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E, F 分别是 BC, AD 的中点，则 =( )
A．0 B． C． D．
答案 D
10．不等式 的解集记为 ，关于 的不等式 的解集记为 ，
若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( )
A． B.
C． D．
答案 A
11．已知直线 的斜率为 ，它与抛物线 相交于 A，B 两点， 为抛物线的焦点，
Rk ∈ 123
22
=+++ k
y
k
x x
23 −<<− k 3−k 2−>k
2
1
2
1
2
1
AE CF⋅
2
1
4
3−
2
1−
1 11x
<− p x 2 ( 1) 0x a x a+ − − > q
p q a
( 2, 1]− − [ 2, 1]− −
( ] [ ), 2 1,−∞ − − +∞ ( , 2) ( 1, )−∞ − − +∞
l k xy 42 = F
若 ,则 ＝( )
A． B． C． D．
答案 C
12．已知点 F 为双曲线 E：x2
a2
－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线 y＝kx(k>0)与 E 交于不同象
限内的 M，N 两点，若 MF⊥NF，设∠MNF＝β，且 β∈[ π
12，π
6]，则该双曲线的离心率的取
值范围是( )
A．[ 2， 2＋ 6] B．[2， 3＋1]
C．[2， 2＋ 6] D．[ 2， 3＋1]
答案 D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,将答案写在答题卡上.）
13．已知 a＝(1,2，-y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a-b)，则 x+y= ．
答案 -
14． 若点 O 和点 F 分别为椭圆x2
9
＋y2
8
＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，则
OP
→
·FP
→
的最小值为________．
答案 6
15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次
关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤.问本持
金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1 关收税金1
2
，第 2 关收税金为剩余的1
3
，第 3
关收税金为剩余的1
4
，第 4 关收税金为剩余的1
5
，第 5 关收税金为剩余的1
6
，5 关所收税金之
和，恰好重 1 斤，问原来持金多少？”若将“5 关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原来持金
多少？”改成“假设这个人原本持金为 x，按此规律通过第 8 关”，则第 8 关所收税金为
________x．
答案 1
72
|| k
22 3
3 3 4
2
7
2
FBAF 3=
16．过双曲线 （ ， ）的右焦点 作渐近线的垂线，设垂足为 （
为第一象限的点），延长 交抛物线 （ ）于点 ，其中该双曲线与抛物线
有一个共同的焦点，若 ，则双曲线的离心率的平方为 ．
答案
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．（本小题满分 10 分）
已知命题 p： 函数 y=x2+mx+1 在(-1，+∞）上单调递增，命题 q： 对函数 y=-4x2+4(2-
m)x-1， y≤0 恒成立．若 p∨q 为真，p∧q 为假，求 m 的取值范围．
解：若函数 y=x2+mx+1 在（-1，+∞）上单调递增，则- ≤-2，
∴m≥2，即 p：m≥2 ……………………………2 分
若函数 y=-4x2+4（2- m）x-1≤0 恒成立，则△=16（m-2）2-16≤0，
解得 1≤m≤3，即 q：1≤m≤3 ……………………………5 分
∵p∨q 为真，p∧q 为假，∴p、q 一真一假
当 p 真 q 假时，由 解得：m>3 ……………………………7 分
当 p 假 q 真时，由 解得：1≤m<2 ……………………………9 分
综上，m 的取值范围是{m|m>3 或 1≤m<2} ………………………… 10 分
18．（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点，
AA1＝AC＝CB＝ 2
2
AB =2．
(1)求证：BC1∥平面 A1CD；
(2)求二面角 D－A1C－E 的余弦值．
解析：(1)证明：连接 AC1，交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 的中点．
又 D 是 AB 的中点，连接 DF，则 BC1∥DF.
因为 DF⊂平面 A1CD，BC1⊄平面 A1CD，所以 BC1∥平面 A1CD. .............................4 分
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > F P P
FP 2 2y px= 0p > Q
1 ( )2OP OF OQ= +
2 5 1
2e
+=
2
m
2
1 3
m
m m
≥
< > 或
2
1 3
m
m
<
≤ ≤
(2)由 AC＝CB＝ 2
2
AB，得 AC⊥BC
以 C 为坐标原点，CA→
的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz.
设 CA＝2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)， ，CD→
＝(1,1,0)，CE→
＝(0,2,1)，
．
设 是平面 A1CD 的法向量，
则
可取 ．
同理，设 是平面 A1CE 的法向量，则 可取 ．
从而 .
即二面角 D－A1C－E 的余弦值为 .................................12 分
19．（本小题满分 12 分）
已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1，－2)．
(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
(2)若平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l 与抛物线 C 相交于 M、N 两点，且|MN|=3 ，
求∆AMN 的面积．
解：(1)将(1，－2)代入 y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以 p＝2.
故抛物线方程为 y2＝4x，准线为 x＝-1. ……………………………4 分
(2)设直线 l 的方程为 y＝－2x＋t，
由Error!得 y2＋2y－2t＝0.
∴y1+y2=-2, y1y2=-2t, ……………………………6 分
1(2,0,2)A
1 (2,0,2)CA =
( , , )n x y z=
{ 0
0221
=+=⋅
=+=⋅
yxCDn
zxCAn
)1,1,1( −−=n
m { 0
01
=⋅
=⋅
CEm
CAm )2,1,2( −=m
3
3,cos =⋅>=<
mn
mnmn
3
3
5
∵直线 l 与抛物线 C 有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得 t≥－1
2.
由|MN|= =3 得 t=4， ……………………………10 分
又 A 到直线 l 的距离为 d= ……………………………11 分
∴∆AMN 的面积为 S= |MN|﹒d=6. ……………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝2 2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点.
(1)证明：PO⊥平面 ABC；
(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M－PA－C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成
角的正弦值．
(1)证明 因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP＝2 3.
连接 OB，因为 AB＝BC＝ 2
2
AC，
所以 AB2＋BC2＝AC2，
所以△ABC 为等腰直角三角形，
且 OB⊥AC，OB＝1
2AC＝2.
由 OP2＋OB2＝PB2 知 PO⊥OB.
由 OP⊥OB，OP⊥AC 且 OB∩AC＝O，知 PO⊥平面 ABC. .............................6 分
(2)解 如图，以 O 为坐标原点，OB
→
的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O－xyz.
由已知得 O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2 3)，AP
→
＝(0，
2，2 3).取平面 PAC 的一个法向量OB
→
＝(2，0，0).
设 M(a，2－a，0)(0
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