2019-2020学年天津市部分区高一上学期期末数学试题（解析版）
2019-2020 学年天津市部分区高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则
集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,所以 ，故选 A.
【考点】集合的运算.
2．下列函数中既是奇函数，又在 R 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依次分析函数的奇偶性和单调性即可得解.
【详解】
对于 A， 为奇函数，但是定义域为 ，在 和 上单调递减，
不满足题意；
对于 B， 不满足在 R 上单调递增；
对于 C， 为奇函数且在 R 上单调递增；
对于 D， 定义域为 非奇非偶函数.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了基本初等函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
3．函数 的零点所在的一个区间为 （ ）
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
【答案】B
【解析】利用零点存在性定理结合 可得解.
【详解】
{ }1,2,3,4,5,6,7,8U = { }2,3,5,6A = { }1,3,4,6,7B =
UA B∩ =
{ }2,5 { }3,6 { }2,5,6 { }2,3,5,6,8
{ }2,5,8U B = { }2,5UA B∩ =
1y x
= siny x= 3y x= lny x=
1y x
= { | 0}x x ≠ ( ,0)−∞ (0, )+∞
siny x=
3y x=
lny x= { | 0}x x >
( ) ln 3f x x x= + −
(2) (3) 0
(2) (3) 0 > b a c> > a b c> > c b a> >
2log 0.3 0a = < 0.3 02 2 1b = > = 0.2 00 0.3 0.3 1c< = < =
b c a> >
sin(2 )3y x
π= − sin 2y x=
6
π
3
π
6
π
3
π
【答案】A
【解析】因为函数 ，
所以只需将函数 的图象向右平移 长度单位即可.
故选 A.
点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩
变换的规律：（1）把函数 的图像向左平移 个单位长度，则所得图
像对应的解析式为 ，遵循“左加右减”；（2）把函数 图像上
点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍（ ），那么所得图像对应的解析式
为 .
7．已知函数 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】利用奇偶性可得 ，结合单调性可得 ，从而得解.
【详解】
由函数 是定义在 R 上的偶函数，可得： .
且 在区间 上单调递增，
所以 ，解得： .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题的关键是得到
，属于基础题.
8．若 都是锐角，且 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
sin 2 23 6y x sin x
π π = − = −
sin2y x=
6
π
( )y f xω= ( 0)h h >
( )y f x hω = + ( )y f x=
ω 0>ω
1y f xω
=
( )f x [0, )+∞
1( ) 02f = (2 1) 0f x − <
1 3( , )4 4
3( , )4
+∞ 1(0, )4
1 3( , ) ( , )4 4
−∞ +∞
1(| 2 1|) ( )2f x f− < 1| 2 1| 2x − <
( )f x 1(2 1) (| 2 1|) 0 ( )2f x f x f− = − < <
( )f x [0, )+∞
1| 2 1| 2x − < 1 3
4 4x< <
1(| 2 1|) ( )2f x f− <
βα, 5sin 13
α = ( ) 4cos 5
α β+ = − βsin
56
65
16
65
33
65
63
65
【答案】A
【解析】试题分析：由已知得 ,
,故选 A.
【考点】两角和的正弦公式
9．下列命题正确的是（ ）
A．命题“ ,使得 ”的否定是“ ，使得 ”
B．若 ，则
C．若函数 在[1,4]上具有单调性，则
D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
【答案】D
【解析】根据特称命题的否定可判断A，举反例可知 B 不正确，由轴和区间的位置关系
可求 得范围，从而可判断 C 正误，解二次不等式即可判断 D，
【详解】
对于 A，命题“ ,使得 ”的否定是“ ，使得 ”，故不正确；
对于 B，若 ，则 ， 不成立；
对于 C，若函数 在[1,4]上具有单调性，
则 或 ，解得 或 ，不正确；
对于 D，由 可得 或 .所以“ ”是“ ”的充分不必要
条件，正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了特称命题的否定、不等式的性质、二次函数的单调性及充分不必要条件
的判断，属于综合题，但是难度不大.
10．已知函数 在区间 上单调递增，且存在唯一
使得 ，则 的取值范围为（ ）
( )
5
3sin,13
12cos =+= βαα
( )[ ] ( ) ( )
65
56
13
5
5
4
13
12
5
3sincoscossinsinsin =×
−−×=+−+=−+=∴ αβααβααβαβ
x R∃ ∈ 22 , <0a b c > b
c c
a
2( ) 8( )f x x kx k R= − − ∈ k 2≤
>3x 2 -5 6>0x x +
k
x R∃ ∈ 22 b
c c
a
2( ) 8( )f x x kx k R= − − ∈
12
k ≤ 42
k ≥ k 2≤ 8k ≥
2 -5 6>0x x + 2x < 3x > >3x 2 -5 6>0x x +
( ) sin( )( >0)6f x x
πω ω= + 5 2[ , ]6 3
π π−
0
5[0, ]6x
π∈ 0( ) 1f x = ω
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由单调得 ，解得
，由存在唯一 使得 ，得 ，解得
，从而得解.
【详解】
函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
得： ，即
经检验仅有 时有： .
时， ，
由题意得： ，解得： .
综上： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了正弦型三角函数的单调性及最值，涉及整体代换的思想，属于难题.
二、填空题
11．幂函数 的图像经过 ，则 = ________．
【答案】
【解析】试题分析：设 ，则有 ，所以， =9
【考点】幂函数
点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值。
1 1[ , ]5 2
2 1[ , ]5 2
1 4[ , ]5 5
2 4[ , ]5 5
5 2[ , ] [ 2 , 2 ],6 6 3 6 2 2k k k Z
π π π π π πω ω π π− + + ⊆ − + + ∈
10 2
ω< ≤ 0
5[0, ]6x
π∈ 0( ) 1f x = 5 5
2 6 6 2
π π π πω≤ + <
2 14
5 5
ω≤ <
( ) sin( )( >0)6f x x
πω ω= + 5 2[ , ]6 3
π π−
5 2[ , ] [ 2 , 2 ],6 6 3 6 2 2k k k Z
π π π π π πω ω π π− + + ⊆ − + + ∈
2 23 6 2
5 26 6 2
0,
k
k
k Z
π π πω π
π π πω π
ω
+ ≤ +
− + ≤ − +
> ∈
1 32
4 125
0,
k
k
k Z
ω
ω
ω
≤ +
≤ −
> ∈
0k = 10 2
ω< ≤
5[0, ]6x
π∈ 5[ , ]6 6 6 6x
π π π πω ω+ ∈ +
5 5
2 6 6 2
π π π πω≤ + < 2 14
5 5
ω≤ <
2 1
5 2
ω≤ ≤
( )f x (2,4) (3)f
9
y xα= 24 2 , 2, y xα α= = = (3)f
12．函数 的定义域为_______.
【答案】
【解析】保证函数有意义即 ，从而得解.
【详解】
函数 ,有： ，解得： .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题.
13．已知 ，则 的最小值是_______.
【答案】
【解析】由对数式得 ，再由基本不等式 可得解.
【详解】
由 可得： ，即 .
所以 .
当且仅当 时，取到最小值 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了对数的运算及基本不等式求最值，属于基础题.
14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：
100ml 血液中酒精含量达到 20〜79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉
酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了 0.6mg/ml，如
果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时 20%的速度减少，那么他至少要经
过 t 小时后才可以驾驶机动车.则整数 t 的值为_________(参考数据：
)
【答案】5
【解析】根据题意列式 ，结合题中参考数据求解即可.
3
1( ) log (4 )
1
f x x
x
= − −
+
{ | 1 4}x x− < <
1 0
4 0
x
x
+ >
− >
3
1( ) log (4 )
1
f x x
x
= − −
+
1 0
4 0
x
x
+ >
− > 1 4x− < <
{ | 1 4}x x− < <
lg lg(2 ) 1a b+ = +a b
2 5
5ab = 2 2 5a b b+ ≥ =
lg lg(2 ) 1a b+ = 2 10ab = 5ab =
2 2 5a b b+ ≥ =
5a b= = 2 5
2 5
lg 2 0.30,lg3 0.48≈ ≈
0.6 0.8 0.2t× <
【详解】
经过 t 小时后，体内的酒精含量为： mg/ml，
只需 即可驾驶机动车.
.
取整数为 时，满足题意.
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，属于基础题.
三、解答题
15．设集合 .
(1)求 ；
(2)已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) , ;(2) 或
.
【解析】(1)直接利用集合的交集和并集的定义即可得解;
(2)讨论 和 两种情况,列不等式求解即可.
【详解】
,
(1)
(2)①当 时，即： ，解得： ，满足
②当 时，若满足 ，则
解得：
由①②可知，满足 的实数 的取值范围是 或 .
0.6 0.2t×
0.6 0.8 0.2t× <
4
5
1 lg3 lg3 lg3 0.48log 4.853 lg5 2lg 2 1 3lg 2 1 0.9lg 4
t > = = = ≈ =− − −
5t =
{ } { }2| 6>0 , | 4<3 7<8A x x x B x x= − − = − −
,A B A B∪ ∩
{ }| < <2 1C x a x a= + C B⊆ a
A B = { }| 2 1x x x< − >或 A B = { }| 3 5x x< < { | 1a a ≤ −
1 2}a≤ ≤
C = ∅ C ∅≠
{ }| 2 3A x x x= < − >或 { }|1 5B x x= < <
A B = { }| 2 3x x x< − > 或 { } { }|1 5 | 2 1x x x x x< < = < − >或
A B = { }| 2 3x x x< − > 或 { } { }|1 5 | 3 5x x x x< < = < <
C = ∅ 2 1a a≥ + 1a ≤ − C B⊆
C ∅≠ C B⊆
2 1
1
2 1 5
a a
a
a
< +
≥
+ ≤
1 2a≤ ≤
C B⊆ a { | 1a a ≤ − 1 2}a≤ ≤
【点睛】
本题主要考查集合的交并运算，考查了集合的包含关系，属于基础题.
16．已知函数 .
(1)在给出的直角坐标系中，画出 的大致图象；
(2)根据图象写出 的单调区间;
(3)根据图象写出不等式 的解集.
【答案】(1)见解析;(2) 递增区间为 ,递减区间为 ;(3)
.
【解析】(1)直接由分段函数的解析式作图即可；、
(2)直接由图象可得单调区间;
(3)找到图像中函数值大于 0 的部分即可得解.
【详解】
(1)
(2)根据图象可知， 的单调递增区间为
单调递减区间为
2
1
2
3 6, 22
( ) 1, 2< 1
log , >1
x x
f x x x
x x
+ ≤ −
= − − ≤
( )y f x=
( )f x
( )>0f x
( ) ( ), 2 , 0,1−∞ − ( ) ( )2 0 , 1− + ∞， ，
{ }| 4 1x x− < < −
( )f x ( ) ( ), 2 , 0,1−∞ −
( ) ( )2 0 , 1− + ∞， ，
(3)根据图象可得， 的解集为 .
【点睛】
本题主要考查了分段函数的图象的作图及利用图像求单调区间解不等式，属于基础题.
17．已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)利用 进行求解即可;
(2)先求 ,再求 ,再由 展开即可得解.
【详解】
(1) ， ,∴
又 ,∴
∴ .
(2)由(1)可知 ,
∴
∴ .
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换的求值类问题，考查了运算能力，属于基础题.
18．已知函数 .
(1)判断 的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)判断 的奇偶性，并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
( ) 0f x > { }| 4 1x x− < < −
10 5sin , ( , ),cos , (0, )10 2 5 2
π πα α π β β= ∈ = ∈
cos( )α β−
tan(2 )4
πβ +
2
10
− 1
7
−
cos( ) cos cos sin sinα β α β α β− = +
tan β tan 2β tan(2 )4
πβ +
10
10sinα = ( , )2
πα π∈ 3 10cos 10
α = −
5cos ,5
β = (0, )2
πβ ∈ 2 2 5sin 1 cos 5
β β= − =
cos( ) cos cos sin sinα β α β α β− = + 3 10 5 10 2 5( )10 5 10 5
= − × + × 2
10
= −
sintan 2cos
ββ β= =
2
2tan 4tan 2 1 tan 3
ββ β= = −−
tan(2 )4
πβ +
4 1tan 2 tan 134
4 71 tan 2 tan 1 ( )4 3
πβ
πβ
− ++
= = = −
− ⋅ − −
1 1( ) ),2 1 xf x x Re
= − ∈+
( )f x
( )f x
【解析】(1)直接利用单调性的定义 ，且 ， 与 0 比较
大小及即可;
(2)通过证明 可得函数为偶函数.
【详解】
(1) 在 上单调递增.
，且 ，则
由 ，得 ，
所以 ，
又由 ，得 ，
所以，
于是 ,即
所以 在 上单调递增.
(2)函数 的定义域为 ，
因为 都有 且
所以 为奇函数.
【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的单调性及判断函数的奇偶性，属于基础题.
19．已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
1 2,x x∀ ∈R 1 2x x< 1 2( ) ( )f x f x−
( ) ( )f x f x− =
( )f x R
1 2,x x∀ ∈R 1 2x x<
1 21 2
1 1 1 1( ) ( ) 2 1 2 1x xf x f x e e
− = − − − + + 2 1
1 1
1 1x xe e
= −+ + ( )( )
1 2
2 11 1
x x
x x
e e
e e
−=
+ +
1 2,x x ∈R 1 21 0,1 0x xe e+ > + >
( )( )2 11 1 0x xe e+ + >
1 2x x< 1 2x xe e<
1 2 0x xe e− <
1 2( ) ) 0(f x f x− < 1 2( ) ( )f x f x<
( )f x R
1 1( ) 2 1 xf x e
= − + R
,x∀ ∈R ,x− ∈R
1 1( ) 2 1 xf x e−− = − +
1
2 1
x
x
e
e
= − +
1 1 1
2 1
x
x
e
e
+ −= − +
1 112 1 xe
= − − +
1 1
2 1 xe
= − + + ( )f x= −
( )f x
2( ) 2sin cos 2 3 cos 3,f x x x x x R= − + ∈
( )f x
( )f x 2[ , ]24 3
π π
(3)若关于 x 的不等式 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 最大值为 ，最小值为 ;(3) .
【解析】(1)化简函数为 ,利用周期公式求解即可;
(2)先求得 ,再利用正弦函数的性质可得最值;
(3) 不等式 恒成立等价于， 在 恒成立,从
而利用反比例函数的性质求最值即可.
【详解】
(1) ，所以 的最小正周期为 .
(2)当 时, ,
当 时,即 时函数求得最小值 ;
当 时,即 时函数求得最大值 ;
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为
(3)对 ， ，
所以不等式 恒成立等价于，
对 ， 恒成立，即 ，
设 ，则 ，
令 ，且 在 上为增函数，
所以， ，
所以， .
【点睛】
( ) 3 ( )mf x m f x+ ≥
π 2 2− 2
5m ≥
( )f x 2sin(2 )3x
π= −
2 [ , ]3 4x
π π π− ∈ −
( ) 3 ( )mf x m f x+ ≥
max
( )
( ) 3
f xm f x
≥ +
[ ]2 2− ,
2( ) 2sin cos 2 3 cos 3= − +f x x x x sin 2 3 cos2x x= − 2sin(2 )3x
π= −
2
2T
π π= = ( )f x π
2[ , ]24 3x
π π∈ 2 [ , ]3 4x
π π π− ∈ −
2 3 4x
π π− = −
24x
π= ( ) 224f
π = −
2 3 2x
π π− = 5
12x
π= 5( ) 212f
π =
( )f x 2,24 3
π π
2 2−
x∀ ∈R 2 ( ) 2f x− ≤ ≤
( ) 3 ( )mf x m f x+ ≥
x∀ ∈R
( )
( ) 3
f xm f x
≥ + max
( )
( ) 3
f xm f x
≥ +
( )( ) ( ) 3
f xg x f x
= +
( ) 3( ) 1( ) 3 ( ) 3
f xg x f x f x
= = −+ +
( )t f x= 31 3y t
= − +
[ ]2 2− ,
max
2( ) (2) 5g x g= =
2
5m ≥
本题主要考查了正弦型三角函数的性质，考查了恒等变换化简三角函数，考查了函数与
不等式的求参问题，属于中档题.
