高考数学专题复习练习第7讲 离散型随机变量的均值与方差

高考数学专题复习练习第7讲 离散型随机变量的均值与方差

第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1．某班有1 4 的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出 5 名同学，那么其中数 学成绩优秀的学生数 X～B 5，1 4 ，则 E(2X＋1)等于( ) A.5 4 B.5 2 C．3 D.7 2 解析 因为 X～B 5，1 4 ，所以 E(X)＝5 4 ，所以 E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×5 4 ＋1 ＝7 2. 答案 D 2．某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种 子，每粒需要再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则 X 的数学期望为( )． A．100 B．200 C．300 D．400 解析 种子发芽率为 0.9，不发芽率为 0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故 设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1 000,0.1)，∴E(ξ)＝1 000×0.1＝100， 故需补种的期望为 E(X)＝2·E(ξ)＝200. 答案 B 3．若 p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 1 2 －p p 1 2 则 E(ξ)的最大值为 ( )． A．1 B.3 2 C.2 3 D．2 解析 由 p≥0，1 2 －p≥0，则 0≤p≤1 2 ，E(ξ)＝p＋1≤3 2. 答案 B 4．已知随机变量 X＋η＝8，若 X～B(10，0.6)，则 E(η)，D(η)分别是( )． A．6 和 2.4 B．2 和 2.4 C．2 和 5.6 D．6 和 5.6 解析 由已知随机变量 X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得 E(η)＝8－E(X) ＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 B 5．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概 率为 c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为 2，则2 a ＋ 1 3b 的最小值 为 ( )． A.32 3 B.28 3 C.14 3 D.16 3 解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2， 即 3a＋2b＝2，其中 0D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1)D(ξ2)． 答案 A 二、填空题 7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望 E(ξ)＝8.9，则 y 的值为________． 解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即 x＋y＝0.6. ① 又 7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得 7x＋10y＝5.4. ② 由①②联立解得 x＝0.2，y＝0.4. 答案 0.4 8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表： ξ 1 2 3 P ？ ！ ？ 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？” 处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确 答案 E(ξ)＝________. 解析 令“？”为 a，“！”为 b，则 2a＋b＝1.又 E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a ＋b)＝2. 答案 2 9．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回， 现连续取球 8 次，记取出红球的次数为 X，则 X 的方差 D(X)＝________. 解析 每次取球时，红球被取出的概率为1 2 ，8 次取球看做 8 次独立重复试验， 红球出现的次数 X～B 1 2 ，8 ，故 D(X)＝8×1 2 ×1 2 ＝2. 答案 2 10．罐中有 6 个红球，4 个白球，从中任取 1 球，记住颜色后再放回，连续摸取 4 次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望 E(ξ)＝________. 解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均 为3 5 ，连续摸 4 次(做 4 次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B 4，3 5 ， 从而有 E(ξ)＝np＝4×3 5 ＝12 5 . 答案 12 5 三、解答题 11．袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值． 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 ∴E(X)＝0×1 2 ＋1× 1 20 ＋2× 1 10 ＋3× 3 20 ＋4×1 5 ＝1.5. D(X)＝(0－1.5)2×1 2 ＋(1－1.5)2× 1 20 ＋(2－1.5)2× 1 10 ＋(3－1.5)2× 3 20 ＋(4－ 1.5)2×1 5 ＝2.75. (2)由 D(η)＝a2D(X)，得 a2×2.75＝11，即 a＝±2. 又 E(η)＝aE(X)＋b， 所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2. 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4. ∴ a＝2， b＝－2 或 a＝－2， b＝4， 即为所求． 12．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1 2 ，a，a(0

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