数学（文）卷·2017届吉林省吉林大学附属中学高三第七次模拟考试（2017

数学（文）卷·2017届吉林省吉林大学附属中学高三第七次模拟考试（2017

吉林省吉林大学附属中学2017届高三第七次模拟考试 数学文试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人：‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。‎ ‎2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎ 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎ 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．‎ ‎（1）已知是实数集，集合，则 ‎（A）　　　　　 （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（2）已知是虚数单位，复数的共轭复数为，则[]‎ ‎（A）　　　　　 （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（3）已知命题；命题函数有一个零点，则下列命题为真命题的是 ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（4）已知直线分别在两个不同的平面内.则“直线和直线相交”是“平面 和平面相交”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（5）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），月与月营收之和贯，全年（按个月计）共入贯”，则该人月营收贯数为 ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（6）下面程序框图中，若输入互不相等的三个正实数 开始 结束 锐角三角形 否 否 输入 是 是 否 是 不是锐角三角形 要求判断的形状，则空白的判断框中应填入 ‎（A）? ‎ ‎（B）?‎ ‎ （C）? ‎ ‎（D）?‎ ‎（7）如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为，则该几何体外接球的直径为 ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（8）某公司对其生产的件产品随机编成至号，现采用系统抽样的方法（等距抽样）从中抽取件产品进行检验，若是抽到的一个产品的编号，则下列号码中不是抽到的样本编号为 ‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（9）已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点，则 ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（10）若实数满足，且目标函数只在点处取得最大值，则的取值范围为 ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（11）若圆与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为 ‎（A）或 （B）或 ‎ （C） （D）‎ ‎（12）已知函数若方程有四个不同的实数根且，则的取值范围为 ‎ ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．‎ ‎（13）从中任取两个不同的数字，分别记为则为整数的概率是 .‎ ‎（14）已知函数则 .‎ ‎（15）已知向量满足，向量在向量方向上的投影为，则 ‎ .‎ ‎（16）若，且，则直线的倾斜角为 .‎ 三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 数列的前项和满足且成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎ 年月，第十一届中国（珠海）国际航空航天博览会开幕式当天，歼-20的首次亮相给观众留下了极深的印象.某参赛国展示了最新研制的两种型号的无人机，先从参观人员中随机抽取人对这两种型号的无人机进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格.由统计信息可知，甲型号无人机被评为优秀的频率为、良好的频率为；乙型号无人机被评为优秀的频率为 ，且被评为良好的频率是合格的频率的倍.‎ ‎（Ⅰ）求这人中对乙型号无人机评为优秀和良好的总人数；‎ ‎（Ⅱ）如果从这人中按对甲型号无人机的评价等级用分层抽样的方法抽取人，然后从其他对乙型号无人机评优秀、良好的人员中各选取人进行座谈会，会后从这人中随机抽取人进行现场操作体验活动，求进行现场操作体验活动的人都为“评优秀”的概率.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知是四边形所在平面外一点，在四边形中 是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）若是的中点，求平面将四棱锥分成两部分的体积之比.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）设，求的单调增区间；‎ ‎（Ⅱ）证明：时，存在当时，恒有.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆经过点，且椭圆C的离心率．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点是椭圆上的两个动点，分别为直线的斜率且试探究的面积是否为定值，并说明理由．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（Ⅰ）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为 的直线与曲线相交于两点，若，求实数的值.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，都存在，使得成立，求实数 的取值范围．‎ 吉大附中高中部2016-2017学年下学期 高三年级第七次模拟考试数学(文科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B A C C C D B D B C 提示：‎ ‎（12）如图，做出的图像：‎ ‎ ‎ 则由可得即，整理得.‎ 由均值不等式可得，因为，所以等号不成立，所以，即.由可得，‎ 即，整理得，所以，故选C.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎（13） （14） ‎ ‎（15） （16）‎ 提示：‎ ‎（16）解析：由已知得，因为，所以是图象的一条对称轴，则，则，所以直线的斜率为，故倾斜角.‎ ‎ ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）解析：（Ⅰ）由题意，，则当时，，两式相减得 ……2分 所以，又成等差数列，所以，解得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. ……6分 ‎（Ⅱ） ……12分 ‎（18）解析：（Ⅰ）因为对乙型号无人机被评为优秀的频率为，故乙型号无人机被评为良好和合格的频率为.设乙型号无人机被评为合格的频率为，则被评为良好的频率为，解得，‎ ‎ ……2分 ‎ 所以乙型号无人机被评为优秀和良好的频率为，所以这人中乙型号无人机被评为优秀和良好的总人数为.‎ ‎ ……6分 ‎（Ⅱ）甲型号无人机评优秀的频率为，良好的频率为，及分层抽样的性质可知，其中有人评优秀，分别记为人评良好，分别记为.‎ 记选取的对乙型号无人机评优秀、良好的人分别为，则从这人中随机抽取人，不同的结果为共种.‎ ‎……8分 记“进行现场操作体验活动的人都评优秀”为事件，则事件包含的结果为 共种.‎ 则.‎ ‎……12分 ‎（19）解析：（Ⅰ）因为是的中点，所以，因为 所以，又因为所以，‎ 所以，即因为，所以平面，‎ 所以. ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面 所以平面平面 ‎ 过作于则平面因为为的中点，‎ 所以所以 ‎……8分 所以所以.‎ ‎……12分 ‎（20）解析：（Ⅰ）从而，‎ 令得，所以函数的单调增区间为. ……6分 ‎（Ⅱ）证明：当时，令，‎ 则有，由得，解得 ‎ ……8分 从而存在，当时，，故在上单调递增，‎ 从而当时，，即.‎ ‎……12分 ‎（21）解析：（Ⅰ） ……4分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，，易得的面积为.‎ 当的斜率存在时，设直线的方程为.‎ 由，得.‎ 设，则是方程的两个根.‎ 所以 且， ……6分 则， 所以由，‎ 可得，故.此时.‎ 因为，又点到直线的距离. ……8分 所以 ‎.综上可知，的面积为定值.‎ ‎……12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解析：（Ⅰ）由题意，得曲线的参数方程为（为参数），‎ 消去参数，得圆心坐标为.‎ 因为曲线上存在两点关于点成中心对称，所以，‎ 则由，得，所以直线的倾斜角为，‎ 所以直线的直角坐标方程为 ‎……5分 ‎（Ⅱ）消去曲线 参数方程的参数得，圆心半径为 又直线的极坐标方程可化为，得直线的普通方程为，‎ 所以.‎ ‎……10分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解析：（Ⅰ）‎ ‎……5分 ‎（Ⅱ）由题得，‎ 又，‎ 则，解得或，故实数的取值范围为.‎ ‎……10分