江苏省南通市2021届高三上学期期初调研数学试题 Word版含解析

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江苏省南通市2021届高三上学期开学考试 数学试题 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．记全集U＝R，集合A＝，集合B＝，则＝‎ A．[4，) B．(1，4] C．[1，4) D．(1，4)‎ ‎2．已知，，，则a，b，c的大小关系为 ‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎3．若，，，(0，)，则＝‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A．30 B．60 C．90 D．120‎ ‎5．函数(＞0，＜)的部分图像如图所示，且的图像过A(，1)，B(，﹣1)两点，为了得到的图像，只需将的图像 A．向右平移 B．向左平移 C．向左平移 D．向右平移 ‎ ‎ 23‎ ‎ 第5题 第6题 ‎6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A． B． C． D．‎ ‎7．设F1，F2分别为双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与圆O：相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率等于 A． B．2 C． D．4‎ ‎8．对于函数，若存在区间[a，b]，当x[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称为k倍值函数．若是k倍值函数，则实数k的取值范围是 A．(e＋1，) B．(e＋2，) C．(，) D．(，)‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．下列说法正确的是 A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，)(＞0)，则P(＞1)＝0.5‎ ‎10．已知抛物线C：过点P(1，1)，则下列结论正确的是 23‎ A．点P到抛物线焦点的距离为 B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为 C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0 ‎ D．过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值 ‎11．在△ABC中，已知bcosC＋ccosB＝2b，且，则 A．a，b，c成等比数列 B．sinA：sinB：sinC＝2：1：‎ C．若a＝4，则S△ABC＝ D．A，B，C成等差数列 ‎12．已知函数，若，则下列选项正确的是 A．‎ B．‎ C．‎ D．当时，‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．‎ ‎14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．‎ ‎15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 ．‎ 23‎ ‎16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为，，则＝ ；且的最小值为 ．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，C＝，c＝2，求△ABC的面积．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．‎ 23‎ 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 ‎120‎ ‎（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；‎ ‎（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．‎ 附公式及表：‎ ‎，其中．‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线的焦点重合，点P(0，)在椭圆C上，动直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同两点A，B，且(O为坐标原点)．‎ 23‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）讨论7m2﹣12k2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且的解集为[﹣1，2]．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解关于x的不等式(m≥0)；‎ ‎（3）设，若对于任意的，[﹣2，1]都有，求M的最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a＝1时，证明对于任意的[1，2]成立．‎ 23‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知点P是抛物线C1：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．‎ ‎（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；‎ ‎（2）若直线AB交椭圆C2：于C、D两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求的最小值．‎ 江苏省南通市2021届高三上学期开学考试 数学试题 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．记全集U＝R，集合A＝，集合B＝，则＝‎ A．[4，) B．(1，4] C．[1，4) D．(1，4)‎ 答案：C 23‎ 解析：∵集合A＝， ‎ ‎∴，又∵B＝，‎ ‎∴＝[1，4)，故选C．‎ ‎2．已知，，，则a，b，c的大小关系为 ‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 答案：A 解析：∵，∴，∴，∴，‎ 又，，∴b＜a＜c，故选A．‎ ‎3．若，，，(0，)，则＝‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：∵，(0，)，∴(0，π)，(，)，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎，故选C．‎ ‎4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A．30 B．60 C．90 D．120‎ 答案：B 23‎ 解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，，故选B．‎ ‎5．函数(＞0，＜)的部分图像如图所示，且的图像过A(，1)，B(，﹣1)两点，为了得到的图像，只需将的图像 ‎ ‎ A．向右平移 B．向左平移 C．向左平移 D．向右平移 答案：C 解析：由题意知，，∴＝2，，，‎ ‎ ∵＜，∴，∴，故选C．‎ ‎6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 23‎ 解析：P＝，故选C．‎ ‎7．设F1，F2分别为双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与圆O：相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率等于 A． B．2 C． D．4‎ 答案：A 解析：，，，，故选A．‎ ‎8．对于函数，若存在区间[a，b]，当x[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称为k倍值函数．若是k倍值函数，则实数k的取值范围是 A．(e＋1，) B．(e＋2，) C．(，) D．(，)‎ 答案：B 解析：是单调增函数，故，故a，b是方程的两个根，令，，当k＞2，x＝时，有最小值为，解得k＞e＋2，故选B．‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．下列说法正确的是 A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍 B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位 C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 23‎ D．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，)(＞0)，则P(＞1)＝0.5‎ 答案：BD 解析：选项A，方差变为原来的a2倍，故A错误；线性相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C错误，故选BD．‎ ‎10．已知抛物线C：过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A．点P到抛物线焦点的距离为 B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为 C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0 ‎ D．过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值 答案：BCD 解析：∵抛物线C：过点P(1，1)，∴，∴，故该抛物线焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝，故点P到抛物线焦点的距离为，故A错误；△OPQ的面积，故B正确；设过点P的直线方程为，与抛物线联立并化简得，，解得k＝，故过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0，C正确；设PM的斜率为k，则PN的斜率为﹣k，求得M(，)，N(，)，求得MN的斜率为，D正确，故选BCD．‎ ‎11．在△ABC中，已知bcosC＋ccosB＝2b，且，则 A．a，b，c成等比数列 B．sinA：sinB：sinC＝2：1：‎ 23‎ C．若a＝4，则S△ABC＝ D．A，B，C成等差数列 答案：BC 解析：由得，，，故ab＝c2，故a，c，b成等比数列，故A错误；∵bcosC＋ccosB＝2b，∴a＝2b，又ab＝c2，∴c＝b，∴a：b：c＝2：1：，∴sinA：sinB：sinC＝2：1：，故B正确；cosC＝，sinC＝，∴S＝，故C正确；cosB＝，故B≠60°，故D错误，故选BC．‎ ‎12．已知函数，若，则下列选项正确的是 A．‎ B．‎ C．‎ D．当时，‎ 答案：CD 解析：首先注意到函数，在(0，)单调递减，在(，)单调递增，故A错误，，故D正确；令，不是单调函数，故B错误；令，是单调增函数，故C正确，故选CD．‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ 23‎ ‎13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．‎ 答案：‎ 解析：P＝．‎ ‎14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．‎ 答案：‎ 解析：，，设切点横坐标为，，所以切点(1，2)，故切线方程为，即．‎ ‎15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 ．‎ 答案：(﹣2，6)‎ 解析：点P与点F重合时，有最小值为﹣2，当点P与点C重合时，有最大值为6，故的取值范围是(﹣2，6)．‎ ‎16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为，，则＝ ；且的最小值为 ．‎ 答案：1；‎ 解析：设椭圆方程为，双曲线方程为，则由直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，得，∴＝1；‎ 23‎ ‎ 所以，当且仅当取等号．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，C＝，c＝2，求△ABC的面积．‎ 解：（1）∵sin2x﹣cos2x ‎＝2sin（2x），‎ 令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，‎ ‎∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z． ‎ ‎（2）∵f（A）＝2sin（2A）＝2，‎ ‎∴sin（2A）＝1，‎ ‎∵A∈（0，π），2A∈（，），‎ ‎∴2A，解得A， ‎ ‎∵C，c＝2，‎ 23‎ ‎∴由正弦定理，可得，‎ ‎∴S△ABCabsinC（1）．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．‎ 满意 不满意 总计 男生 女生 合计 ‎120‎ ‎（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；‎ ‎（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．‎ 附公式及表：‎ ‎，其中．‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 解：（1）因为男生人数为：，所以女生人数为，‎ 于是可完成列联表，如下：‎ 23‎ 满意 不满意 总计 男生 ‎30‎ ‎25‎ ‎55‎ 女生 ‎50‎ ‎15‎ ‎65‎ 合计 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 根据列联表中的数据，得到的观测值 ‎，‎ 所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关” ‎ ‎（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为，并且服从超几何分布，，即 ‎,‎ ‎.‎ 可得分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 可得. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 23‎ 已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线的焦点重合，点P(0，)在椭圆C上，动直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同两点A，B，且(O为坐标原点)．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）讨论7m2﹣12k2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ 解：（1）因为双曲线的焦点为，所以在椭圆C中，‎ 设椭圆C的方程为，‎ 由点在椭圆C上得，解得，则，‎ 所以椭圆C的方程为 ‎（2）为定值，理由如下：‎ 设，由可知，‎ 联立方程组，‎ 由得， ‎ ‎，① ‎ 由及得，‎ 整理得，‎ 将①式代入上式可得，‎ 23‎ 同时乘以可化简得，‎ 所以，即为定值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且的解集为[﹣1，2]．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解关于x的不等式(m≥0)；‎ ‎（3）设，若对于任意的，[﹣2，1]都有，求M的最小值．‎ 解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，‎ 所以，，即，；所以； ‎ ‎（2），化简有，整理，‎ 所以当时，不等式的解集为，‎ 当时，不等式的解集为，‎ 当时，不等式的解集为，‎ 当时，不等式的解集为， ‎ ‎（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，‎ 23‎ 则有，所以，， ‎ 因为对于任意的都有，‎ 即求，转化为， ‎ 而，，所以，‎ 此时可得，‎ 所以M的最小值为.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a＝1时，证明对于任意的[1，2]成立．‎ 解：（1）的定义域为； ‎ ‎.‎ 当，时，，单调递增；‎ ‎，单调递减.‎ 当时，.‎ ① ‎，，‎ 23‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ ① 时，，在内，，单调递增；‎ ② 时，，‎ 当或时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减. ‎ 综上所述，‎ 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；‎ 当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；‎ 当时，在内单调递增；‎ 当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. ‎ ‎（2）由（Ⅰ）知，时，‎ ‎，，‎ 23‎ 令，.‎ 则，‎ 由可得，当且仅当时取得等号. ‎ 又，‎ 设，则在单调递减，‎ 因为，‎ 所以在上存在使得时，时，，‎ 所以函数在上单调递增；在上单调递减，‎ 由于，因此，当且仅当取得等号， ‎ 所以，‎ 即对于任意的恒成立 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知点P是抛物线C1：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．‎ ‎（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；‎ ‎（2）若直线AB交椭圆C2：于C、D两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求的最小值．‎ 23‎ 解：（1）证明：设点、，‎ 则以为切点的切线方程为，即，‎ 同理以为切点的切线方程为， ‎ 两条切线均过点，，即，‎ 所以，点、的坐标满足直线的方程， ‎ 所以，直线的方程为，‎ 在直线的方程中，令，可得，所以，直线过定点； ‎ ‎（2）设点到直线的距离为，则.‎ 由题意可知，直线不与轴重合，可设直线的方程为，‎ 设、，由，得，恒成立，‎ 由韦达定理得，，‎ 23‎ 由弦长公式可得 由，得，恒成立.‎ 由韦达定理得，，‎ 由弦长公式得.‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立. ‎ 因此，的最小值为.‎ 23‎