江苏省扬州市2020届高三上学期期中调研测试数学试题 含解析

江苏省扬州市2020届高三上学期期中调研测试数学试题 含解析

江苏省扬州市2019—2020学年第一学期高三期中调研测试 数学试题 ‎2019．11‎ 第I卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝{3，4}，B＝{1，2，3}，则AB＝ ．‎ 答案：{1，2，3，4}‎ 考点：集合的并集 解析：∵集合A＝{3，4}，B＝{1，2，3}，‎ ‎ ∴AB＝{1，2，3，4}．‎ ‎2．若(i为虚数单位)，则复数＝ ．‎ 答案：‎ 考点：复数 解析：∵‎ ‎ ∴．‎ ‎3．函数(mR)是偶函数，则m＝ ．‎ 答案：0‎ 考点：函数的奇偶性 解析：∵函数关于直线x＝m对称，且是偶函数 ‎ ∴直线x＝m与y轴重合，即m＝0．‎ ‎4．双曲线的渐近线方程为 ．‎ 答案：‎ 考点：双曲线的渐近线 解析：根据双曲线(a＞0，b＞0)的渐近线方程为，‎ ‎ 得双曲线的渐近线方程为．‎ ‎5．抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为 ．‎ 答案：5‎ 考点：抛物线的定义 解析：抛物线的焦点坐标为(1，0)，准线为x＝﹣1，‎ ‎ 则抛物线上横坐标为4的点到准线的距离为5，‎ ‎ 根据抛物线的定义，该点到抛物线焦点的距离为5．‎ ‎6．设函数，则＝ ．‎ 答案：16‎ 考点：分段函数 解析：∵‎ ‎ ∴，‎ ‎ 则．‎ ‎7．直线与直线平行，则两直线间的距离为 ．‎ 答案：‎ 考点：平行直线及其距离 解析：∵直线与直线平行，‎ ‎ ∴，，解得a＝﹣1，‎ ‎ 此时两直线方程为：与，‎ ‎ 则两直线间的距离为＝．‎ ‎8．函数的极大值是 ．‎ 答案：1‎ 考点：利用导数研究函数的极值 解析：∵‎ ‎ ∴‎ ‎ 当x＜0时，＞0，在(，0)单调递增，‎ ‎ 当x＞0时，＜0，在(0，)单调递减，‎ ‎ ∴当x＝0时，有极大值．‎ ‎9．将函数的图象向右平移个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数的图像变换 解析：函数的图象向右平移个单位后，的函数，‎ ‎ 再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得，‎ ‎ 故．‎ ‎10．梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AD＝AB＝3DC＝3，若M为线段BC的中点，则的值是 ．‎ 答案：﹣‎ 考点：平面向量数量积 解析：以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，‎ ‎ 得A(0，0)，B(3，0)，C(1，3)，D(0，3)，M(2，)‎ ‎ 则＝(2，)，＝(﹣3，3)，‎ ‎ ∴＝(2，)·(﹣3，3)＝2×(﹣3)＋×3＝﹣．‎ ‎11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，sin2A﹣sin2B＝3sin2C，cosA＝，则△ABC的面积是 ．‎ 答案：‎ 考点：正弦定理，余弦定理 解析：由正弦定理可将sin2A﹣sin2B＝3sin2C转化为，‎ ‎ 由余弦定理得：，‎ ‎ 将b＝3，cosA＝，代入上面两个式子，并化简可得：‎ ‎ ，解得：，‎ ‎ ∵cosA＝，∴sinA＝，‎ ‎ ∴S＝＝＝．‎ ‎12．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，直线l：上存在点P，使得PA2＋2PB2＝9成立，则实数的取值范围是 ．‎ 答案：[，]‎ 考点：直线与圆的位置关系 解析：设P(x，y)，根据PA2＋2PB2＝9得：‎ ‎ ，‎ ‎ 化简得：，‎ ‎ 故点P在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上，又点P在直线l：上，‎ ‎ 故，化简得：，则，‎ ‎ 综上所述，实数的取值范围是[，]．‎ ‎13．已知实数x，y满足且，则的最小值是 ．‎ 答案：‎ 考点：基本不等式 解析：∵，‎ ‎ ∴，‎ ‎ ∴，当且仅当取“＝”，‎ ‎ 故，‎ ‎ 综上所述，的最小值是．‎ ‎14．已知关于x的不等式有且仅有三个整数解，则实数的取值范围是 ．‎ 答案：(e，]‎ 考点：利用导数研究函数存在性问题（不等式整数解）‎ 解析：令，则 ‎ 当x＜k时，，此时在(，k)单调递减；‎ ‎ 当x＞k时，，此时在(k，)单调递增．‎ ‎ ∴当x＝k时，有最小值为，‎ ‎ 显然有解，则＜0，则k＞2，‎ ‎ 此时，故x＝2是原不等式的整数解，‎ ‎ ①当时，即时，2＜k≤e，‎ ‎ 此时，故此时最多有两个整数解；‎ ‎ ②当时，即时，k＞e，‎ ‎ 此时，‎ ‎ 故x＝1，2，3是原不等式的整数解，则 ‎ ，解得，故e＜k≤，‎ ‎ 综上所述，实数的取值范围是(e，]．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 已知关于的不等式的解集为A，函数的定义域为集合B（其中）．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 已知(0，)，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎17．（本题满分15分）‎ 已知圆C：，直线过点A(﹣3，0)．‎ ‎（1）若与圆C相切，求的斜率；‎ ‎（2）当的倾斜角为时，与轴交于点B，与圆C在第一象限交于点D，设，求实数的值.‎ ‎18．（本题满分15分）‎ 为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC，BD是圆的直径，E，F在弦AB上，H，G在弦CD上，圆心O是矩形EFGH的中心，若米，∠AOB＝，．‎ ‎（1）当时，求“杠铃形图案”的面积；‎ ‎（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P(，)．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过轴正半轴上一点A(0，t)作斜率为k(k＞0)的直线．①若与圆和椭圆都相切，求实数的值；②直线在轴左侧交圆于B、D两点，与椭圆交于点C、E（从上到下依次为B、C、D、E），且AB＝DE，求实数的最大值．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 已知函数(aR)．‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）是否存在非负整数，使得函数是单调函数，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）已知，若存在b(1，e)，使得当x(0，b]时，的最小值是，求实数a的取值范围．（注：自然对数的底数）‎ 第II卷（附加题，共40分）‎ ‎21．（10分）已知向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求．‎ ‎22．（10分）一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球，现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中．‎ ‎（1）求两次取得的球颜色相同的概率；‎ ‎（2）若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X，求X的概率分布列与数学期望．‎ ‎23．（10分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2，点E、F分别在棱AA1、BB1上移动，且，．‎ ‎（1）若，求异面直线CE与C1F所成角的余弦值；‎ ‎（2）若二面角A—EF—C的大小为，且，求的值．‎ ‎24．（10分）设，．‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）猜想的值，并加以证明．‎