北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 含答案

北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 含答案

海淀区高三年级第一学期期末练习 ‎ 数 学 2020. 01‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）已知集合，，，则集合是 ‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（2）抛物线的焦点坐标为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（3）下列直线与圆相切的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）已知，且，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（5）在的展开式中，的系数为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（6）已知平面向量满足，且，则的值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（7）已知, , 是三个不同的平面，且，，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（8）已知等边△边长为3. 点D在BC边上，且，. 下列结论中错误的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（9）声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：）满足 ‎. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 ‎（A）倍 ‎（B）倍 ‎（C）倍 ‎（D）倍 ‎（10）若点为点在平面上的正投影，则记. 如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与，不重合），，. 给出下列三个结论：‎ ‎①线段长度的取值范围是；‎ ‎②存在点使得∥平面；‎ ‎③存在点使得.‎ 其中，所有正确结论的序号是 ‎（A）①②③‎ ‎（B）②③‎ ‎（C）①③‎ ‎（D）①②‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（11）在等差数列中， ，，则_________. ‎ ‎（12）若复数，则=_________. ‎ ‎（13）已知点A，点,分别为双曲线 的左、右顶点. 若△ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________.‎ ‎（14）已知函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________.‎ ‎（15）用“五点法”作函数的图象时，列表如下：‎ 则_________，_________.‎ ‎（16）已知曲线C：（为常数）.‎ ‎（i）给出下列结论：‎ ‎①曲线C为中心对称图形；‎ ‎②曲线C为轴对称图形；‎ ‎③当时，若点在曲线上，则或.‎ 其中，所有正确结论的序号是 .‎ ‎（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是 .（写出一个即可）‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（17）（本小题共13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.‎ ‎（18）（本小题共13分）‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分别为, 的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎（19）（本小题共13分）‎ 某市《城市总体规划（2016—2035年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建 “15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区（指数为0.6~1）、良好小区（指数为0.4~0.6）、中等小区（指数为0.2~0.4）以及待改进小区（指数为0 ~0.2）4个等级. 下面是三个小区4个方面指标的调查数据：‎ ‎ 小区 ‎ 指标值 权重 A小区 B小区 C小区 教育与文化（0.20）‎ ‎0.7‎ ‎0.9‎ ‎0.1‎ 医疗与养老（0.20）‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ 交通与购物（0.32）‎ ‎0.5‎ ‎0.7‎ ‎0.2‎ 休闲与健身（0.28）‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.1‎ 注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数，其中为该小区四个方面的权重，为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为0~1之间的一个数值）.‎ 现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：‎ 分组 ‎[0,0.2）‎ ‎[0.2,0.4）‎ ‎[0.4,0.6）‎ ‎[0.6,0.8）‎ ‎[0.8,1]‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）分别判断A，B，C三个小区是否是优质小区，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.‎ ‎（20）（本小题共14分）‎ 已知椭圆的右顶点，且离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点，，直线和分别与直线交于点,．求△与△面积之和的最小值.‎ ‎（21）（本小题共13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数有极小值，求证：的极小值小于.‎ ‎（22）（本小题共14分）‎ 给定整数，数列每项均为整数，在中去掉一项, 并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为. 将中的最小值称为数列的特征值.‎ ‎（Ⅰ）已知数列，写出的值及的特征值；‎ ‎（Ⅱ）若，当，其中且 时，判断与的大小关系，并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）已知数列的特征值为，求的最小值.‎ 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 ‎ 数 学 2020.01‎ 阅卷须知:‎ ‎1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。‎ ‎2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D B A C A A B C B D 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎0‎ ‎2‎ ‎；‎ ① ‎②③；均可 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（17）解：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 因为的单调递增区间为， ‎ 令， ‎ 得. ‎ 所以的单调递增区间为. ‎ ‎（Ⅱ）方法1：因为， ‎ 所以. ‎ 又因为，的最大值为1，‎ 所以. ‎ 解得. ‎ 所以的最小值为. ‎ 方法2：由（Ⅰ）知：‎ 当且仅当时，取得最大值1. ‎ 因为在区间上的最大值为，‎ 所以. ‎ 所以的最小值为. ‎ ‎（18）解：（Ⅰ）在△中，M，N分别为VA，VB的中点，‎ 所以为中位线.‎ 所以. ‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）在等腰直角三角形△中，,‎ 所以. ‎ 因为平面平面，平面平面， 平面，‎ 所以平面. ‎ 又因为平面，‎ 所以. ‎ ‎（Ⅲ）在平面ABC内过点C做垂直于AC，‎ 由（Ⅱ）知，平面，‎ 因为平面，‎ 所以. ‎ 如图,以为原点建立空间直角坐标系. ‎ 则，，，，.‎ ‎，，. ‎ 设平面的法向量为，‎ 则 ‎ 即 令则，,‎ 所以. ‎ 直线与平面所成角大小为，‎ ‎. ‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（19）解：（Ⅰ）方法1:‎ A小区的指数，‎ ‎ ,所以A小区不是优质小区; ‎ B小区的指数，‎ ‎ ,所以B小区是优质小区; ‎ C小区的指数，‎ ‎ ,所以C小区不是优质小区. ‎ 方法2:‎ A小区的指数 ‎ ,所以A小区不是优质小区; ‎ B小区的指数 ‎.‎ B小区是优质小区; ‎ C小区的指数 ‎ ‎. ‎ C小区不是优质小区. ‎ ‎（在对A、B、C小区做说明时必须出现与0.6比较的说明.每一项中结论1分，计算和说明理由1分）‎ ‎（Ⅱ）依题意，抽取10个小区中，共有优质小区个，其它小区个. ‎ 依题意ξ的所有可能取值为0，1，2. ‎ ‎； ‎ ‎； ‎ ‎. ‎ 则的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎（20）解：（Ⅰ）解：依题意，得 ‎ 解得， ‎ 所以椭圆C的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设点，依题意，点坐标为，‎ 满足（且）,‎ 直线的方程为 ‎ 令，得，即. ‎ 直线的方程为 ，同理可得. ‎ 设为与轴的交点.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 又因为，,‎ 所以. ‎ 当且仅当取等号，所以的最小值为. ‎ ‎ （21）解：（Ⅰ）由已知得， ‎ 因为 ，， ‎ 所以直线的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）（i）当时，，‎ 所以（当且仅当且时，等号成立）. ‎ 所以在上是单调递增函数. ‎ 所以在上无极小值. ‎ ‎（ii）当时,一元二次方程的判别式，‎ 记是方程的两个根，不妨设.‎ 则 ‎ 所以.‎ 此时，随的变化如下：‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以的极小值为. ‎ 又因为在单调递增， ‎ 所以. ‎ 所以的极小值为小于.‎ ‎22. 解：（Ⅰ）由题知：‎ ‎; ‎ ‎; ‎ ‎. ‎ 的特征值为1. ‎ ‎（Ⅱ）. ‎ 理由如下：‎ 由于，可分下列两种情况讨论：‎ 当时，‎ 根据定义可知：‎ 同理可得：‎ 所以.‎ 所以. ‎ 当时，同理可得： ‎ 所以.‎ 所以. ‎ 综上有：.‎ ‎（Ⅲ）不妨设，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ 显然，，‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎ 当且仅当时取等号；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时取等号；‎ 由（Ⅱ）可知的较小值为，‎ 所以.‎ 当且仅当时取等号，‎ 此时数列为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有 ‎ . ‎ ‎ 下证：若，，总有.‎ ‎ 证明：‎ ‎ =‎ ‎ .‎ ‎ 所以. ‎ 因此 ‎. ‎ 当时，‎ 可取到最小值，符合题意.‎ ‎ 所以的最小值为. ‎