2014高考浙江（理科数学）试卷
2014·浙江卷(理科数学)
1．[2014·浙江卷] 设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝( )
A．∅B．{2}C．{5}D．{2，5}
1．B [解析]∁UA＝{x∈N|2≤x<}＝{2}，故选B.
2．、[2014·浙江卷] 已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．A [解析]由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得所以或故选A.
3．[2014·浙江卷] 几何体的三视图(单位：cm)如图11所示，则此几何体的表面积是( )
图11
A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．138cm2
3．D [解析]此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图，
所以该几何体的表面积为2(4×3＋6×3＋6×4)＋2××3×4＋4×3＋3×5－3×3＝138(cm2)，故选D.
4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像( )
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
4．C [解析]y＝sin3x＋cos3x＝cos＝cos，所以将函数y＝cos3x的图像向右平移个单位可以得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，故选C.
5．[2014·浙江卷] 在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )
A．45B．60C．120D．210
5．C [解析]含xmyn项的系数为f(m，n)＝CC，故原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120，故选C.
6．[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0
9
6．C [解析]由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⇒
⇒则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而00)，g(x)＝logax的图像可能是( )
A B
C D
图12
图12
7．D [解析]只有选项D符合，此时0p2，E(ξ1)E(ξ2)
C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)
D．p1p2；E(ξ1)＝1×＋2×＝，E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝2，则E(ξ1)0；
E(ξ1)＝1×＋2×＝，
E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝
，
E(ξ1)－E(ξ2)＝<0，故选A.
10．[2014·浙江卷] 设函数f1(x)＝x2，f2(x)＝2(x－x2)，f3(x)＝|sin2πx|，ai＝，i＝0，1，2，…，99.记Ik＝|fk(a1)－fk(a0)|＋|fk(a2)－fk(a1)|＋…＋|fk(a99)－fk(a98)|，k＝1，2，3，则( )
A．I11.故I2n，输出i＝6.
12．[2014·浙江卷] 随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．
12. [解析]设P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y，
则⇒所以D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
13． [2014·浙江卷] 当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
13. [解析]实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C.当a≤0时，0≤y≤，1≤x≤2，所以1≤ax＋y≤4不可能恒成立；当a>0时，借助图像得，当直线z＝ax＋y过点A时z取得最小值，当直线z＝ax＋y过点B或C时z取得最大值，故解得1≤a≤.故a∈.
14．[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)
14．60 [解析]分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有CA＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A＝24种．故共有60种获奖情况．
15．[2014·浙江卷] 设函数f(x)＝
若f[f(a)]≤2，则实数a的取值范围是________．
15．(－∞，] [解析]函数f(x)的图像如图所示，令t＝f(a)，则f(t)≤2，由图像知t≥－2，所以f(a)≥－2，则a≤.
16．[2014·浙江卷] 设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
16. [解析]双曲线的渐近线为y＝±x，渐近线与直线x－3y＋m＝0
的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是.
17．[2014·浙江卷] 如图14，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)
图14
17. [解析]由勾股定理得BC＝20m．如图，过P点作PD⊥BC于D，连接AD, 则由点A观察点P的仰角θ＝∠PAD，tanθ＝.设PD＝x，则DC＝x，BD＝20－x，在Rt△ABD中，AD＝＝，
所以tanθ＝＝＝≤，故tanθ的最大值为.
18． [2014·浙江卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．
18．解：(1)由题意得－＝sin2A－sin2B，即sin2A－cos2A＝sin2B－
eq f(1,2)cos2B，sin＝sin.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，
即A＋B＝，所以C＝.
(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.
由a0，c3>0，c4>0，
当n≥5时，cn＝，
而－＝>0，
得≤<1，
所以，当n≥5时，cn<0.
综上，若对任意n∈N*恒有Sk≥Sn，则k＝4.
20．、[2014·浙江卷] 如图15，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角BADE的大小．
图15
20．解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，
由AC＝，AB＝2，
得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.
(2)方法一：
过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角BADE的平面角．
在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，
得BD⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.
在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝，得AD＝.
在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝，得AE＝.
在Rt△ABD中，由BD＝，AB＝2，AD＝，得BF＝，AF＝AD.从而GF＝ED＝.
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝，BG＝.
在△BFG中，cos∠BFG＝＝.
所以，∠BFG＝，即二面角BADE的大小是.
方法二：
以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．
由题意知各点坐标如下：
D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，
A(0，2，)，B(1，1，0)．
设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
可算得AD＝(0，－2，－)，AE＝(1，－2，－)，＝(1，1，0)．
由即
可取m＝(0，1，－)．
由即
可取n＝(1，－1，)．
于是|cos〈m，n〉|＝＝＝.
由题意可知，所求二面角是锐角，
故二面角BADE的大小是.
21．、[2014·浙江卷] 如图16，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
图16
21．解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.
由于l与C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为.
又点P在第一象限，故点P的坐标为P.
(2)由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝，
整理得d＝.
因为a2k2＋≥2ab，所以≤＝a－b，
当且仅当k2＝时等号成立．
所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
22．、[2014·浙江卷] 已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)．
(1)若f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)－m(a)；
(2)设b∈R，若[f(x)＋b]2≤4对x∈[－1，1]恒成立，求3a＋b的取值范围．
22．解：(1)因为f(x)＝
所以f′(x)＝
由于－1≤x≤1，
(i)当a≤－1时，有x≥a，
故f(x)＝x3＋3x－3a，
此时f(x)在(－1，1)上是增函数，
因此，M(a)＝f(1)＝4－3a，m(a)＝f(－1)＝－4－3a，故M(a)－m(a)＝(4－3a)－(－4－3a)＝8.
(ii)当－10，t(a)在上是增函数，故t(a)>t(0)＝－2，
因此－2≤3a＋b≤0.
(iii)当2时，2(x－2)－(x＋1)＞3，得x>8，此时x>8.
综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．
(2)证明：由abc＝a＋b＋c，得＋＋＝1.
由柯西不等式，得
(ab＋4bc＋9ac)≥(1＋2＋3)2，
所以ab＋4bc＋9ac≥36，当且仅当a＝2，b＝3，c＝1时，等号成立．
2．[2014·浙江卷] (1)在极坐标系Ox中，设集合A＝{(ρ，θ)|0≤θ≤，0≤ρ≤cosθ}，求集合A所表示区域的面积；
(2)在直角坐标系xOy中，
直线l：(t为参数)，
曲线C：(θ为参数)，其中a＞0.
若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．
解：(1)在ρ＝cosθ两边同乘ρ，得
ρ2＝ρcosθ.
化成直角坐标方程，得x2＋y2＝x，
即＋y2＝.
所以集合A所表示的区域为：由射线y＝x(x≥0)，y＝0(x≥0)，圆＋y2＝所围成的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为＋.
(2)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋4＝0.
因为曲线C上所有点均在直线l的右下方，故对θ∈R，有acosθ－2sinθ＋4＞0恒成立，
即cos(θ＋φ)＞－4恒成立，
所以＜4.又a＞0，得0＜a＜2.
