数学理卷·2018届福建省南安一中高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届福建省南安一中高二上学期期末考试（2017-01）

南安一中2016～2017学年度上学期末考 高二数学（理科）试卷 命题者：洪丽敏 本试卷考试内容为：选修2-1和选修2-2．分第I卷（选择题）和第II卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．‎ ‎2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．‎ ‎3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）．‎ ‎4．保持答题纸纸面清洁，不破损．考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回．‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎（1）已知复数，则 ‎ ‎（A）2 （B）－2 （C）2i （D）－2i ‎ ‎（2）若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则的值为 ‎ ‎(A) 8 (B) (C) (D) ‎ ‎(3) 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”，结论显然是错误的，导致推理错误的原因是 ‎ ‎(A)推理形式错导致结论错 (B) 小前提错导致结论错 ‎(C)大前提错导致结论错 (D)大前提和小前提都错导致结论错 ‎（4）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）下列命题中正确的是 ‎ ‎（A）若为真命题，则为真命题 ‎( B ) “，”是“”的充分必要条件 ‎ (C) 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”‎ ‎(D) 命题，使得，则，使得 ‎（6）已知函数的图象为如图所示的折线，‎ 则 ‎ ‎ (A) (B) (C) 0 (D)‎ ‎（7）已知三点不共线，对平面外的任意一点 ‎，下列条件中能确定点与点共面的是 ‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎（8）若函数在区间内是减函数，则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（9）已知，则 ‎ ‎(A) 　　(B) (C) 2 (D) ‎ ‎(10) 四面体中，两两垂直，且，二面角的大小为，则四面体的体积是 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(11)已知以为焦点的抛物线上的两点满足，则直线的斜率为 ‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎ (12) 已知函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 ‎ ‎　　(A) 　　　　（B）　　　（C）　　　　（D）‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎ (13) 设，当时， ．‎ ‎（温馨提示：只填式子，不用计算最终结果）‎ ‎（14）刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：‎ ‎ 甲说：“我们四人都没考好．”‎ ‎ 乙说：“我们四人中有人考得好．”‎ ‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”‎ ‎ 丁说：“我没考好．”‎ 结果，四名学生中有且只有两人说对了，则这四名学生中的 说对了． ‎ ‎（15）已知分别在曲线、上运动，则的取值范围 ．‎ ‎（16）已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请 在指定区域内作答，否则该题计为零分．）‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 函数 ‎（Ⅰ）若，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 在圆上任取一点，过作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段中点的轨迹为．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，试判断（并说明理由）轨迹上是否存在点，使得成立．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 棱长为1的正方体中，点在线段上运动．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，设异面直线与所成的角为，求的值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 三棱柱中，底面侧面，底面是边长为2的等边三角形，侧面为菱形且，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）记平面平面，在图中作出，并说明画法（不用说明理由）；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点．‎ ‎（Ⅰ）设抛物线在和点的切线交于点，试求点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）若直线过焦点，且与圆相交于(其中在轴同侧)，‎ 求证：是定值．‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在区间上的极值；‎ ‎（Ⅱ）已知且，求证：．‎ 南安一中2016～2017学年度上学期末考 高二数学（理科）试卷参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C C A D C D B A C D B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎ (13) ； （14）乙 ，丙； （15）； （16）．‎ 三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．）‎ ‎（17）解析：（Ⅰ）若，，，……2分 在的图象上，又，……3分 故函数在点处的切线为，即．……5分 ‎（Ⅱ）的定义域，．……6分 由题知在上有解．……7分 方法一：即为在上有解，即在上有解．……8分 设，则（当且仅当时等号成立），．‎ ‎………10分 方法二：，对称轴……7分 当即时，在上递增，则恒有，不成立；…8分 当即时，，解得；……9分 综上：的取值范围为．………10分 ‎（18）解析：（Ⅰ）设点，则，由于点为线段的中点 则即点………3分 所以点在圆上，即，即．………6分 ‎（Ⅱ）轨迹上存在点，使得成立．………7分 方法一：假设轨迹上存在点，使得．‎ 因为，，所以……①‎ ‎………9分 又在上，所以……② ………10分 联立①②解得，‎ 即存在或使得成立．………12分 方法二：由（Ⅰ）知轨迹的方程为，焦点恰为，．‎ ‎………8分 假设轨迹上存在点，使得，‎ 即以为直径的圆与椭圆要有交点，………10分 则必须满足，这显然成立，‎ 即轨迹上存在点，使得．………12分 ‎（19）解析：（Ⅰ）正方体中，平面，‎ 平面，则………2分 正方形中，，又，则,………4分 且，所以平面．………5分 ‎（Ⅱ）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，． …………6分 若，所以， …………7分 所以 ，．‎ 则，‎ 即的值为．……12分 ‎（20）解析：（Ⅰ）方法一：延长与交于，连接交于点，则直线（或）即为．……5分 方法二：取中点，连接，则直线即为．……5分 ‎（Ⅱ）取的中点，因为为等边三角形，则，平面，底面侧面且交线为，所以侧面．……6分 又侧面为菱形且，所以为等边三角形，所以．‎ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，， ，则中点．……8分 设平面的一个法向量为 ‎，‎ ‎，‎ 则取……10分 设直线与平面所成角为，‎ 则，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为．……12分 ‎（21）解析：抛物线的焦点，…………1分 设，联立与有，‎ 则，且，．…………2分 ‎（Ⅰ）由有，则，…………3分 则抛物线在处的切线为，‎ 即……①…………4分 同理抛物线在处的切线为……②…………5分 联立①②解得，代入①式解得，‎ 即．…………6分 ‎（Ⅱ）若直线过焦点，则，则，．‎ 由条件可知圆圆心为，半径为1，…………7分 由抛物线的定义有，…………8分 则，，…………10分 ‎，‎ ‎(或)‎ 即为定值，定值为1．…………12分 ‎（22）解析：（Ⅰ） ……1分 若，则在区间上有恒成立，则在区间上无极值；……2分 若，令，则，‎ ①当，即时，当时，时, ‎ 故此时在取得极小值． ……4分 ②当或，即或时，在区间上无极值……5分 综上所述，当时在区间上无极值；‎ 当时在区间上有极小值． ……6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在处取得最小值0，‎ 即恒有，即．……8分 当时，两边取对数可得，（当时等号成立）……9分 令，则，即……10分 ‎， ‎ 故．……12分