黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试文科数学试题

黑龙江省哈尔滨市第九中学2020届高三第二次模拟考试文科数学试题

哈尔滨市第九中学 2020 届高三第二次模拟考试数学试题（文科） 一、选择题：本题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在 客观题答题卡上． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．设非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ） A．150° B．120° C．60° D．30° 4．4 张卡片上分别写有数字 1，2，3，4，从这 4 张卡片中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和 为偶数的概率为（ ） A． B． C． D． 5．平面 平面 的一个充分条件是（ ） A．存在一条直线 ， ， B．存在一条直线 ， ， C．存在两条平行直线 ， ， ， ， ， D．存在两条异面直线 ， ， ， ， ， 6．函数 图象中最近的对称中心与对称轴间的距离为（ ） A． B． C． D． 7．双曲线 的两条渐近线与直线 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ） { }1 1,P x x x R= − ≤ ∈ { }Q x x N= ∈ P Q = [ ]0,2 { }0,1 { }1,2 { }0,1,2 z ( )3 3 3i z i+ = z = 3 3 2 2 i− 3 3 4 4 i− 3 3 2 2 i+ 3 3 4 4 i+ a b c 3 3a b c= =  a b c+ =  a b 1 3 1 2 2 3 3 4 //α β a //a α //a β a a α⊂ //a β a b a α⊂ b β⊂ //a β //b α a b a α⊂ b β⊂ //a β //b α cos 4 3y x π = +   16 π 8 π 4 π 2 π 2 2 14 yx − = 3x = A． B． C． D． 8．若 且 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 9．甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是记者，一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记 者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A．甲是教师，乙是医生，丙是记者 B．甲是医生，乙是教师，丙是记者 C．甲是医生，乙是记者，丙是教师 D．甲是记者，乙是医生，丙是教师 10．过椭圆 ： （ ）的左顶点 的斜率为 的直线交椭圆 于另一点 ，且点 在 轴上的射影恰好为右焦点 ，若 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知空间几何体 是由圆柱切割而成的阴影部分构成，其中 ， 为下底面圆直径的两个端点， ， 为上底面圆直径的两个端点，且 ，圆柱底面半径是 1，高是 2，则空间几何体 可 以无缝的穿过下列哪个图形（ ） A．椭圆 B．等腰直角三角形 C．正三角形 D．正方形 12．有限数列 ， 为其前 项和，定义 为 的“凯森和”，如有 504 项的数列 ， ，…， 的“凯森和”为 2020，则有 505 项的数列 2， ， ，…， 的“凯森和” 为（ ） A．2014 B．2016 C．2018 D．2020 2 0 2 0 0 3 x y x y x − ≥  + ≥  ≤ ≤ 2 0 2 0 0 3 x y x y x − ≥  + ≤  ≤ ≤ 2 0 2 0 0 3 x y x y x − ≤  + ≤  ≤ ≤ 2 0 2 0 0 3 x y x y x − ≤  + ≥  ≤ ≤ 1sin 2 4 α = ,4 2 π πα  ∈   cos sinα α− 3 2 3 4 3 2 − 3 4 − C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > A k C B B x F 1 1 3 2k< < 1 9,4 4      2 ,13      1 2,2 3      10, 2      ABCD A B C D AB CD⊥ ABCD { }1 2, , , nA a a a= ⋅⋅⋅ nS n 1 2 nS S S n + +⋅⋅⋅+ A 1a 2a 504a 1a 2a 504a 二、填空题：本题共 4 小题，请将答案写在答题纸指定的位置上． 13．已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，则当 时， ______． 14．已知函数 ，则 ______． 15．抛物线 的焦点恰好为双曲线 的上焦点，则 ______． 16 ． 在 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 且 满 足 ， ，则 ______；若 ，则 的面积 ______． 三．解答题：本题共 6 小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，正三棱柱 的底面边长为 ，点 在边 上， 是以点 为直角顶点的 等腰直角三角形．（1）求证：点 为 边的中点；（2）求点 到平面 的距离． 18．等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列． （1）求 的公比 ；（2）若 ，求 ． ( )f x R 0x < ( )=2 3f x x − 0x > ( )f x = ( ) cos sin3x f x xf π ′= +   3f π  =   2y ax= 2 2 2y x− = a = ABC△ A B C a b c 2 1a b c+ + = + sin sin 2sinA B C+ = c = 3C π= ABC△ S = 1 1 1ABC A B C− a M BC 1AMC△ M M BC C 1AMC△ { }na n nS 1S 3S 2S { }na q 1 3 3a a− = nS 19．某车间 20 名工人年龄数据如下表： 年龄（岁） 工人数（个） 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计 20 （1）求这 20 名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶 图；（3）求这 20 名工人年龄的方差． 20．设 为坐标原点，动点 在椭圆 ： 上，过 做 轴的垂线，垂足为 ，点 满足 ．（1）求点 的轨迹方程；（2）设点 在直线 上，且 ．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． O M C 2 2 12 x y+ = M x N P 2NP NM=  P Q 3x = − 1OP PQ⋅ =  P OQ l C F 21．已知函数 ， ．（1）求函数 的极值；（2）若 为 整数，对任意的 都有 成立，求实数 的最小值． （22，23 为二选一的选修题） 22．已知曲线 ： （ 为参数）， ： （ 为参数）． （1）化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线 ： （ 为参数）距离的最小值． 23．若 ， ， ， ，求证： ． ( ) ln 1x xf x = + + ( ) 2 2g x x x= + ( ) ( )y f x g x= − m 0x > ( ) ( ) 0f x mg x− ≤ m 1C 4 cos 3 sin x t y t = − + = +    t 2C 8cos 3sin x y θ θ = =    θ 1C 2C 1C P 2t π= Q 2C PQ M 3C 3 2 2 x t y t = + = − +    t , ,x y z R∈ 0a > 0b > 0c > ( )2 2 2 2b c c a a bx y z xy yz zxa b c + + ++ + ≥ + + 哈九中二模文数答案 DBCADB ACBCDC 13． （ ）14．1 15． 16．1； 17．（1）因为 为以点 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以 且 ． 又 ，所以 平面 ， 所以 ， 又 为正三角形，所以 为 中点． （2）由（1）知 平面 ，则平面 平面 ． 在平面 内过点 作 于 ，且平面 平面 ， 所以 平面 ， 所以 即为 到平面 的距离． 在正三角形 内，因为 ，所以 ，则 ． 在 中， ，则 ， 所以 ，即 到平面 的距离为 ． 18．（1）依题知， ，则 ， 因为 ，所以 ，又 ，所以 ． ( ) 2 3f x x= − − 0x > 1 8 3 12 1AMC△ M 1AM C M⊥ 1AM C M= 1AM CC⊥ AM ⊥ 1 1BCC B AM BC⊥ ABC△ M BC AM ⊥ 1 1BCC B 1AMC ⊥ 1 1BCC B 1 1BCC B C 1CD C M⊥ D 1AMC  1 1 1BCC B C M= CD ⊥ 1AMC CD C 1AMC ABC AB a= 3 2AM a= 1 3 2C M a= 1Rt C CM△ 2 aCM = 1 2 2CC a= 6 6CD a= C 1AMC 6 6 a 3 1 22S S S= + ( ) ( )2 1 1 1 1 1 12 a a q a q a a a q+ + = + + 1 0a ≠ 22 0q q+ = 0q ≠ 1 2q = − （2）依题知， ，则 ， 所以 ． 19．（1）这 20 名工人年龄的众数为 30；极差为 ； （2） （3）这 20 名工人年龄的平均数为 ； 所以这 20 名工人年龄的方差 ． 20．（1）设 ， ， ， 则 ， ， 又 ，所以 ， 则 ，所以 ， 即点 的轨迹方程为 ． （2）设 ， ， 则 ， 2 1 1 1 32a a  − − =   1 4a = 14 1 2 8 111 3 21 2 n n nS   − −         = = − −       − −   40 19 21− = 1 9 2 888999 3 000001111222 4 0 ( )1 19 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 3020 + × + × + × + × + × + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 21 19 30 3 28 30 3 29 30 5 0 4 31 30 3 32 3020s = − + × − + × − + × + × − + × − ( )240 30 12.6+ − = ( )0 0,M x y ( )0 ,0N x ( )1 1,P x y ( )1 0 1,NP x x y= − ( )00,NM y= 2NP NM=  ( ) ( )1 0 1 0, 0, 2x x y y− = 0 1 1 0 2 x x yy = =   2 2 1 1 2x y+ = P 2 2 2x y+ = ( )3,Q n− ( )1 1,P x y ( ) ( )1 1 1 11 , 3 , 1OP PQ x y x n y⋅ = ⇒ ⋅ − − − =  即 ， 所以 ，故 ． ①若 ，则 ： ，将 代入，显然成立； ②若 ，则点 ， ： ，也经过 ． 综上，过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点 ． 21．（1）令 （ ）， 则 ． ， ， 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 所以 在 处取极大值 ，无极小值． （2）依题知，当 时， ， 又 为整数，当 时，由（1）知 的极大值为 ， 所以 的最小值为 1． 22．（1） ： ， 为以 为圆心，1 为半径的圆． ： ， 为中心是坐标原点，焦点在 轴上，长轴长 16，短轴长 6 的椭圆． （2）当 时， ，设 ，则 ， 依题知， ： ，所以点 到 的距离为 ， 2 2 1 1 1 13 1x x ny y− − + − = ( )1 1 3 1xn y += 1 1 1 OQ xk y += − 1 1x ≠ − l ( )1 1 1 1 1 yy y x xx − = −+ ( )1,0F − 1 1x = − ( )1, 1P − ± l 1x = − ( )1,0F − P OQ l C F ( ) ( ) ( ) 2ln 1xh g x xx f x x= − −− += 0x > ( ) 22 1h x xx x − − += ( ) 100 2xh x ⇒ < <′ > ( ) 20 1xh x ⇒ >′ < ( ) ( )f x g x− 10, 2      1 ,2  +∞   ( ) ( )f x g x− 1 2x = 1 ln 24 − 1x = 22 3 0 3m m− ≤ ⇒ ≥ m 1m = ( ) ( )f x g x− 1 ln 2 04 − < m 1C ( ) ( )2 24 3 1x y+ + − = 1C ( )4,3− 2C 2 2 164 9 x y+ = 2C x 2t π= ( )4,4P − ( )8cos ,3sinQ θ θ 32 4cos ,2 sin2M θ θ− + +     3C 2 7 0x y− − = M 3C ( )( )1 54cos 3sin 13 13 5sin55 d θ θ θ ϕ− − = + −= 其中 ， ， 所以当 时，点 到 的距离最小值为 ． 23．证明：因为 ， ， ， ， 所以 ． 4sin 5 ϕ = 3cos 5 ϕ = ( )sin 1θ ϕ− = − M 3C 8 55 , ,x y z R∈ 0a > 0b > 0c > 2 2 2b c c a a bx y za b c + + ++ + 2 2 2 2 2 2b a c b a cx y y z z xa b b c c a      + + + + +        =    ( )2 2 2 2xy yz zx xy yz zx+ + = + +≥