2018-2019学年河北安平中学高二下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年河北安平中学高二下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北安平中学高二下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．在等差数列中，，，则公差（）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】全部用 表示，联立方程组，解出 ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。‎ ‎2．已知等比数列满足，，则（ ）‎ A.7 B.14 C.21 D.26‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比数列的通项公式可求出公比，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，可解的，‎ 所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.‎ ‎3．若，则下列结论不正确的是　　‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】不妨令 ，代入各个选项进行验证，找出符合条件的选项．‎ ‎【详解】‎ 由题，不妨令，可得a2＜b2，故A正确； ‎ ‎，故B正确；，故C正确．‎ ‎ 故D不正确． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题 ‎4．某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力 识图能力 由表中数据，求得线性回归方程为，,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为( )‎ A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： ‎ 当时 ‎【考点】回归方程 ‎5．已知函数，当时，取得最小值，则等于（）‎ A．-3 B．2 C．3 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】配凑成可用基本不等式的形式。计算出最值与取最值时的x值。‎ ‎【详解】‎ 当且仅当即时取等号，‎ 即 ‎【点睛】‎ 在使用均值不等式时需注意“一正二定三相等”缺一不可。‎ ‎6．供电部门对某社区位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为， ， ， ， 五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是 A.月份人均用电量人数最多的一组有人 B.月份人均用电量不低于度的有人 C.月份人均用电量为度 D.在这位居民中任选位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为 ‎【答案】C ‎【解析】根据频率分布直方图知，‎ ‎12月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；‎ ‎12月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；‎ ‎12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；‎ 在这1000位居民中任选1位协助收费,用电量在[30,40)一组的频率为0.1，‎ 估计所求的概率为，∴D正确.‎ 故选：C.‎ ‎7．在中，，则角为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用余弦定理解出即可。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理的基本应用，属于基础题。‎ ‎8．甲乙两人有三个不同的学习小组， ， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.‎ ‎9．同时具有性质“①最小正周期是”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.‎ ‎【详解】‎ 把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；‎ 当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.‎ ‎10．已知数列，满足，，，则数列 的前10项的和为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等差数列和等比数列的通项公式求得an和bn，从而得，进而利用等比数列求和公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由an+1﹣an2，‎ 所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．‎ 又因为＝1，所以an＝+（n﹣1）d＝2n﹣1．‎ 所以b2n﹣1＝•22n﹣2＝22n﹣2．‎ 设，所以＝22n﹣2，‎ 所以4，所以数列{∁n}是等比数列，且公比为4，首项为1．‎ 由等比数列的前n项和的公式得：‎ 其前10项的和为（410﹣1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎11．已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则（ ）‎ A．函数的周期为 B．函数图象关于点对称 C．函数图象关于直线对称 D．函数在上单调 ‎【答案】D ‎【解析】根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得；再平移后，根据关于y轴对称可求得的值，进而求得解析式。根据解析式判断各选项是否正确。‎ ‎【详解】‎ 因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为 所以周期 ，则 ‎ 所以函数 函数的图象向左平移单位，得到的解析式为 因为图象关于y轴对称，所以 ‎，即，k∈ Z 因为 所以 即 所以周期，所以A错误 对称中心满足，解得，所以B错误 对称轴满足，解得，所以C错误 单调增区间满足，解得，而在内，所以D正确 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。‎ ‎12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，，则（）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查正余弦定理的简单应用，属于基础题。‎ 二、填空题 ‎13．某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．‎ ‎【答案】35‎ ‎【解析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，‎ 抽样的比列为 ，故该学校的行政人员人数是735，‎ 故答案为 35．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．‎ ‎14．已知向量与互相垂直，则________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】两向量垂直，其数量积的等于0.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两向量垂直的数量积表示，属于基础题。‎ ‎15．中，，则边上中线的长为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过余弦定理可以求出的长，而 ‎，用余弦定理求出的表达式，代入上式可以直接求出的长。‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理可知：‎ ‎,设，由余弦定理可知：‎ 而，‎ 即解得，故边上中线的长为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用余弦定理求三角形中线长的问题。本题也可以应用中点三角形来求解，过程如下：延长至，使得,易证出, ,由余弦定理可得：. 。‎ ‎16．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由韦达定理求出与，带入计算即可。‎ ‎【详解】‎ 由一元二次不等式与一元二次等式的关系，知道的解为，‎ 由韦达定理知，，‎ 所以当且仅当取等号。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查韦达定理与基本不等式，属于基础题。‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求的最大值，并说明取最大值时对应的的值.‎ ‎【答案】（1）的最小正周期为（2）时，取得最大值 ‎【解析】降次化为的形式再通过 求出最小正周期。‎ 根据的性质求出最大值即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 所以的最小正周期为.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 当时，即时，取得最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的基本性质，属于基础题。‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】换元法，先换元再解不等式。‎ 令换元后参变分离，求最值。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设，则，∴，‎ 即，‎ 解得或，‎ 即或，‎ ‎∴或.‎ ‎∴的解集为.‎ ‎（2），‎ 令，则（当且仅当时，等号成立）．‎ 又，‎ 故可化为，‎ 即，‎ 又，（当且仅当，即时等号成立）．‎ ‎∴，即的最大值为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查换元法、不等式、函数的恒成立问题，属于中档题。‎ ‎19．的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.‎ 试题解析：（1）因为向量与平行，‎ 所以，‎ 由正弦定理得，‎ 又，从而tanA＝，由于00，所以c＝3.‎ 故△ABC的面积为bcsinA＝.‎ ‎【考点】平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.‎ ‎20．已知数列的前项和满足,.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】根据公式 解出即可。‎ 写出，再分组求和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，；‎ 当时，，‎ 综上.‎ ‎（2）由（1）知 ‎【点睛】‎ 本题考查数列通项的求法及分组求法求前n项和。属于基础题。‎ ‎21．在中，已知的平分线交于点，.‎ ‎（1）求与的面积之比；‎ ‎（2）若，，求和.‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】由三角形面积公式 解出即可。‎ 利用余弦定理解出，再根据比值求出和。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设与的面积分别为，，则，，‎ 因为平分，所以，‎ 又因为，所以，∴.‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 由（1）得，‎ ‎∴，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的面积公式、余弦定理。属于基础题。‎ ‎22．已知数列的前项和满足，且。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和。‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用，求得数列的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，，∵，∴，‎ 当时，，‎ ‎∴，∵，∴，∴，‎ ‎∴是以为首项，为公差的等差数列，∴；‎ ‎（2）由（1）得，∴，‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.‎