数学（理）卷·2017届吉林省吉林大学附属中学高三第七次模拟考试（2017

数学（理）卷·2017届吉林省吉林大学附属中学高三第七次模拟考试（2017

吉林省吉林大学附属中学2017届高三第七次模拟考试 数学理试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人：‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。‎ ‎2．选择题必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎ 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎ 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．‎ ‎（1）复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ）‎ ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解析：（A）‎ ‎（2）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：（D）‎ ‎（3）已知是两不重合的平面，直线，直线，则“相交”是“直线异面”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：（B）‎ ‎（4）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的 值是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （C）‎ 解析：（C）‎ ‎（5）已知函数（为常数，，）在处取得最大值，‎ 则函数是（ ）‎ ‎（A）奇函数且它的图象关于点对称 （B）偶函数且它的图象关于点对称 ‎（C）奇函数且它的图象关于点对称（D）偶函数且它的图象关于点对称 解析：（B）‎ ‎（6）设单位向量的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：（B）‎ ‎（7）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为的 等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何 体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 解析：（A）‎ ‎（8）已知，则的值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）或 （D）或 解析：（D）‎ ‎（9）已知圆：和两点，，若圆上存在点，使得，则的最小值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：（D）‎ ‎（10）已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：（C）‎ ‎（11）过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：（A）‎ ‎（12）已知函数满足，且，则函数（ ）‎ ‎（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 ‎（C）既有极大值，又有极小值 （D）既无极大值，也无极小值 解析：（B）. 因为，即，所以，其中为常数，又因为，所以，，，‎ 当时，，当时，，所以函数在时取得极小值，无极大值.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．‎ ‎（13）在中，角所对边分别为，且，，面积，则 ‎ ‎ .‎ 解析：‎ ‎（14）已知表示的平面区域为，若为真命题，则实数的取值范围是 .‎ 解析：‎ ‎（15）某单位员工按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为 ‎ ‎ .‎ 解析：‎ ‎（16）设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”. 现给出下列函数：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④是定义在实数集上的奇函数，且对一切均有.‎ 其中是“条件约束函数”的序号是 （写出符合条件的全部序号）.‎ 解析：①③④.‎ 对于①，取即可；‎ 对于②，因为时，，所以不存在，使对一切实数均成立；‎ 对于③，因为，取即可；‎ 对于④，由于为奇函数，故，令得，故，即，所以，取即可.‎ 三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求等比数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和为，求证：.‎ 解析：（Ⅰ）设数列的公比为，因为成等差数列，所以，即，所以，解得或，因为，所以，所以数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为，所以，所以 ‎，，‎ 相减得.‎ 因此.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，直角三角形中，，，，为线段上一点，‎ 且，沿边上的中线将折起到的位置.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当平面平面时，求二面角的余弦值.‎ 解析：由已知得，.‎ ‎（Ⅰ）证明：取中点，连接，因为，且，所以，所以. 又因为，为的中点，所以，又，所以平面，又平面，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，‎ 平面平面，，平面，‎ 所以平面，所以两两垂直. ‎ 以为坐标原点，以、、所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 则，，，‎ ‎，，设平面的法向量为，则，不妨令，得. 又平面的一个法向量为，‎ 所以，即二面角的余弦值为.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某厂每日生产一种大型产品件，每件产品的投入成本为元 ‎. 产品质量为一等品的概率为；二等品的概率为. 每件一等品的出厂价为元，每件二等品的出厂价为元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产件产品还会带来元的损失.‎ ‎（Ⅰ）求在连续生产的天中，恰有一天生产的件产品都为一等品的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知该厂某日生产的这种大型产品件中有件为一等品，求另件也为一等品的概率；‎ ‎（Ⅲ）求该厂每日生产这种产品所获利润（元）的分布列和期望.‎ 解析：（Ⅰ）一天中件都为一等品的概率为. 设连续生产的天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品为事件，则.‎ ‎（Ⅱ）件中有一等品的概率为，则件中有件为一等品，另件也为一等品的概率为.‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为.‎ 则；；；‎ ‎；；.‎ 故的分布列为 ‎.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，为抛物线：上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于两点，求面积的最大值.‎ 解析：（Ⅰ）因为，所以，则椭圆方程为，即. ‎ 设，则.‎ 当时，有最大值为. 解得，则. ‎ 所以椭圆的方程是.‎ ‎（Ⅱ）设曲线：上的点，因为，‎ 所以直线的方程为，即，代入椭圆方程得 ‎，则有. ‎ 设，则，.‎ 所以. ‎ 设点到直线的距离为，则. 所以的面积 ‎.‎ 当时，等号成立，经检验此时，满足题意.‎ 综上，面积的最大值为.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知，其中为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）设（其中为的导函数），判断在上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若无零点，试确定正数的取值范围.‎ 解析：（Ⅰ）因为，则，，‎ 所以，所以在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）由知，‎ 由（Ⅰ）知在上单调递增，且，可知当时，，‎ 则有唯一零点，设此零点为.‎ 易知时，，单调递增；时，，单调递减，‎ 故，其中.‎ 令，则，‎ 易知在上恒成立，所以，在上单调递增，且.‎ ‎①当时，，由在上单调递增知，‎ 则，由在上单调递增，，所以，故在上有零点，不符合题意；‎ ‎②当时，，由的单调性知，则，此时有一个零点，不符合题意；‎ ‎③当时，，由的单调性知，则，此时没有零点.‎ ‎ 综上所述，当无零点时，正数的取值范围是.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．‎ 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）将上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的倍和倍后得到曲线 ‎，求曲线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）若分别为曲线与直线的两个动点，求的最小值以及此时点的坐标.解析：（Ⅰ）在曲线上任取一点，设点的坐标为，则点在曲线上，满足，所以曲线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎ （Ⅱ）直线的直角坐标方程为：，设点，点到直线的距离为，当，即点的直角坐标为时，取得最小值.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数满足，证明：.‎ 解析：（Ⅰ）因为，所以，解得，故.‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，所以 ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立. 所以.‎