数学卷·2018届山东省潍坊市临朐中学高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届山东省潍坊市临朐中学高二上学期12月月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年山东省潍坊市临朐中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在指定答题栏内 ‎1．抛物线y=﹣4x2的准线方程为（　　）‎ A．x=1 B．y=1 C．x= D．y=‎ ‎2．已知命题p：若m＞0，则关于 x的方程x2+x﹣m=0有实根，q是p的逆命题，下面结论正确的是（　　）‎ A．p真q假 B．p 假q真 C．p真q真 D．p 假q假 ‎3．“”是“x＞2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosC=bcosB，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 ‎5．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若=+x+y，则（　　） ‎ A．x=﹣ B．x= C．x=﹣ D．x=‎ ‎7．过椭圆内的一点P（2，﹣1）的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A．3x﹣5y﹣11=0 B．5x﹣3y﹣13=0 C．5x+3y﹣7=0 D．3x+5y﹣1=0‎ ‎8．在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为（　　）‎ A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在 ‎9．设变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最大值是（　　）‎ A．8 B．5 C．6 D．4‎ ‎10．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上．‎ ‎11．命题“存在有理数x，使x2﹣2=0”的否定为　　．‎ ‎12．已在△ABC中，b2﹣bc﹣2c2=0，a=，cosA=，则△ABC的面积S为　　．‎ ‎13．已知实数4，m，1构成一个等比数列，则曲线的离心率为　　．‎ ‎14．在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}的前9项之和S9等于　　．‎ ‎15．若一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分75分．‎ ‎16．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设=， =．‎ ‎（1）设||=3，∥，求．‎ ‎（2）求与的夹角．‎ ‎（3）若k+与k﹣2互相垂直，求k．‎ ‎17．已知命题p：“直线y=kx+1椭圆恒有公共点”命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：‎ ‎（1）A处与D处的距离；‎ ‎（2）灯塔C与D处的距离．‎ ‎19．已知数列{an}是等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}前n项和为Sn，且满足Sn=2bn﹣1（n∈N*）‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完．‎ ‎（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？‎ ‎21．已知点F1和F2是椭圆M：的两个焦点，且椭圆M经过点．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）过点P（0，2）的直线l和椭圆M交于A、B两点，且，求直线l的方程；‎ ‎（3）过点P（0，2）的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省潍坊市临朐中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在指定答题栏内 ‎1．抛物线y=﹣4x2的准线方程为（　　）‎ A．x=1 B．y=1 C．x= D．y=‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线y=﹣4x2的方程化为：，可得p=，即可得出．‎ ‎【解答】解：抛物线y=﹣4x2的方程化为：，可得p=，‎ ‎∴准线方程为y=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题p：若m＞0，则关于 x的方程x2+x﹣m=0有实根，q是p的逆命题，下面结论正确的是（　　）‎ A．p真q假 B．p 假q真 C．p真q真 D．p 假q假 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】方程x2+x﹣m=0有实根可得△=1+4m≥0，解得，从而可判断命题p，q的真假．‎ ‎【解答】解：P：当m＞0时，△=1+4m≥0，解得，此时方程x2+x﹣m=0有实根，故p为真命题，‎ q：p的逆命题：若x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m≥﹣，q为假命题．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．“”是“x＞2”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求解不等式“”，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，得到答案．‎ ‎【解答】解：若“”则“x＞2，或x＜0”，‎ 故“”是“x＞2”的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosC=bcosB，则△ABC的形状一定是（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，利用正弦函数的性质得到B=C或B+C=90°，即可确定出三角形ABC的形状．‎ ‎【解答】解：利用正弦定理化简ccosC=bcosB，得：sinCcosC=sinBcosB，即sin2C=sin2B，‎ ‎∴sin2C=sin2B，‎ ‎∴2C=2B或2C+2B=180°，即B=C或B+C=90°，‎ 则△ABC为等腰或直角三角形．‎ 故选C ‎　‎ ‎5．方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞‎ ‎0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示 双曲线．‎ ‎【解答】解：方程mx+ny2=0 即 y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．‎ 当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．‎ 当m和n异号时，抛物线 y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示 双曲线，‎ 故选 A．‎ ‎　‎ ‎6．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若=+x+y，则（　　） ‎ A．x=﹣ B．x= C．x=﹣ D．x=‎ ‎【考点】共线向量与共面向量；空间向量的加减法．‎ ‎【分析】根据空间向量的线性表示，用、、表示即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，得；‎ ‎=+（+）‎ ‎=++‎ ‎=﹣+，‎ 又∵=+x+y，‎ ‎∴x=﹣，y=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．过椭圆内的一点P（2，﹣1）的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A．3x﹣5y﹣11=0 B．5x﹣3y﹣13=0 C．5x+3y﹣7=0 D．3x+5y﹣1=0‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设出以点P（3，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以P（3，1）为中点的弦所在直线的斜率．再由点斜式可求得直线方程．‎ ‎【解答】解：设以点P（2，﹣1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），‎ 则x1+x2=4，y1+y2=﹣2．‎ 又，①‎ ‎，②‎ ‎①﹣②得： =0‎ 又据对称性知x1≠x2，‎ ‎∴以点P（2，﹣1）为中点的弦所在直线的斜率k=﹣=，‎ ‎∴中点弦所在直线方程为y+1=（x﹣2），即5x﹣3y﹣13=0．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为（　　）‎ A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在 ‎【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．‎ ‎【分析】根据|a3|=|a9|，可两端平方，得到首项a1与公差d的关系，从而可求得通项公式an，利用即可求得前n项和Sn取得最大值时的自然数n 的值．‎ ‎【解答】解：根据题意可得a32=a92即（a1+2d）2=（a1+8d）2，∴a1=﹣5d，∴an=（n﹣6）d（d＜0），‎ 由解得5≤n≤6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．设变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最大值是（　　）‎ A．8 B．5 C．6 D．4‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x﹣2y过可行域内的点A时，从而得到z=3x﹣2y的最大值即可．‎ ‎【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），‎ 则对于目标函数z=3x﹣2y，‎ 当直线经过A（0，﹣2）时，‎ z取到最大值，zmax=4．‎ 故选：D ‎　‎ ‎10．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2‎ ‎=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．‎ ‎【解答】解：由△BAF2为等边三角形，‎ 设A为右支上一点，且AF2=t，则AB=BF2=t，‎ 由双曲线的定义可得，‎ AF2﹣AF1=2a，BF1﹣BF2=2a，BF1=AB+AF1，‎ 即有t+2a=2t﹣2a，‎ 解得，t=4a，‎ AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，‎ 由余弦定理可得，‎ F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，‎ 即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，‎ 即为4c2=28a2，‎ 则有e==．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上．‎ ‎11．命题“存在有理数x，使x2﹣2=0”的否定为　任意有理数x，使x2﹣2≠0．　．‎ ‎【考点】特称命题；命题的否定．‎ ‎【分析】特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在有理数x，使x2﹣2=0”的否定为：任意有理数x，使x2﹣2≠0．‎ 故答案为：任意有理数x，使x2﹣2≠0．‎ ‎　‎ ‎12．已在△ABC中，b2﹣bc﹣2c2=0，a=，cosA=，则△ABC的面积S为　　．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】由已知的等式分解因式，求出b与c的关系，用c表示出b，然后根据余弦定理表示出cosA，把a与cosA的值代入即可得到b与c的关系式，将表示出的含c的式子代入即可得到关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，从而求得c的值，即可求得△ABC的面积．‎ ‎【解答】解：由b2﹣bc﹣2c2=0因式分解得：（b﹣2c）（b+c）=0，解得：b=2c，b=﹣c（舍去）．‎ 又根据余弦定理得：cosA===，化简得：4b2+4c2﹣24=7bc，‎ 将c=代入得：4b2+b2﹣24=b2，即b2=16，解得：b=4或b=﹣4（舍去），则b=4，故c=2．‎ 由cosA= 可得sinA=，故△ABC的面积为bc•sinA=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．已知实数4，m，1构成一个等比数列，则曲线的离心率为　或　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用等比数列求出m，然后求解曲线的离心率即可．‎ ‎【解答】解：实数4，m，1构成一个等比数列，可得m=±2，‎ 当m=2时，曲线为椭圆，它的离心率为： ==，‎ 当m=﹣2时，曲线为椭双曲线，它的离心率为： ==，‎ 故答案为：或．‎ ‎　‎ ‎14．在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}的前9项之和S9‎ 等于　99　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，‎ ‎∴a4=13，a6=9，‎ ‎∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，，‎ ‎∴数列{an}的前9项之和S9===99．‎ 故答案为：99．‎ ‎　‎ ‎15．若一元二次不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，则k的范围是　﹣3＜k＜0　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】利用一元二次不等式和函数之间的关系，利用判别式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵一元二次不等式对一切实数x都成立，‎ ‎∴k≠0，且满足，‎ 即，‎ 解得﹣3＜k＜0，‎ 故答案为：﹣3＜k＜0．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分75分．‎ ‎16．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），设=， =．‎ ‎（1）设||=3，∥，求．‎ ‎（2）求与的夹角．‎ ‎（3）若k+与k﹣2互相垂直，求k．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】（1）运用向量共线的坐标表示和向量的模的公式，计算即可得到；‎ ‎（2）运用向量的夹角公式和夹角范围，即可得到；‎ ‎（3）运用向量垂直的条件，得到k的方程，计算即可得到．‎ ‎【解答】解：（1）由于=， =，‎ 则==（﹣2，﹣1，2），‎ 由于∥，设=k（﹣2，﹣1，2）．‎ 由||=3，则9=k2（4+1+4），即有k=±1．‎ 则=（﹣2，﹣1，2）或（2，1，﹣2）；‎ ‎（2）==（1，1，0），==（﹣1，0，2），‎ ‎=﹣1+0+0=﹣1，||=，||=，‎ cos＜＞===﹣，‎ 则与的夹角为：arccos（﹣）；‎ ‎（3）k+与k﹣2互相垂直，‎ 则（k）•（k﹣2）=0，‎ 则k2﹣2﹣k=0，‎ 即有2k2﹣2×5+k=0，‎ 解得，k=2或﹣．‎ ‎　‎ ‎17．已知命题p：“直线y=kx+1椭圆恒有公共点”命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；复合命题的真假．‎ ‎【分析】由直线y=kx+1恒过定点A（0，1），要使得直线y=kx+1与椭圆 恒有公共点，则只要点A在椭圆内或椭圆上即可，从而可求P 若只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，则可得△=4a2﹣8a=0，可求q；由命题“p或q”是假命题可得p，q都为假命题 从而可求a得范围 ‎【解答】解：∵直线y=kx+1恒过定点A（0，1）‎ 要使得直线y=kx+1与椭圆恒有公共点 则只要点A在椭圆内或椭圆上即可 方程表示椭圆可得a＞0且a≠5‎ ‎∴解可得a≥1且a≠5‎ P：a≥1且a≠5‎ 只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，则可得△=4a2﹣8a=0‎ 解可得a=0或a=2‎ ‎∴q：a=0或a=2‎ 由命题“p或q”是假命题可得p，q都为假命题 ‎∴‎ ‎∴a＜0或0＜a＜1 或a=5．‎ ‎　‎ ‎18．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：‎ ‎（1）A处与D处的距离；‎ ‎（2）灯塔C与D处的距离．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】（1）在△ABD中使用正弦定理解出；‎ ‎（2）在△ACD中使用余弦定理解出．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABD中，AB=12，∠ADB=60°，∠BAD=75°，∴B=45°，‎ 由正弦定理得 ‎∴AD==4，∴A处与D处的距离为4nmile．‎ ‎（2）在△ADC中，AC=8，AD=4，∠CAD=30°，‎ ‎∴CD2=AD2+AC2﹣2AD•AC•cos30°．解得CD==4．‎ ‎∴灯塔C与D处的距离为4nmile．‎ ‎　‎ ‎19．已知数列{an}是等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}前n项和为Sn，且满足Sn=2bn﹣1（n∈N*）‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式可得an，利用递推关系可得bn．‎ ‎（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=5，a7=13，∴a1+2d=5，a1+6d=13，‎ 联立解得a1=1，d=2，‎ ‎∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎∵数列{bn}前n项和为Sn满足Sn=2bn﹣1（n∈N*），‎ ‎∴n=1时，b1=2b1﹣1，解得b1=1．‎ n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣1﹣（2bn﹣1﹣1），化为：bn=2bn﹣1．‎ ‎∴数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2．‎ ‎∴bn=2n﹣1．‎ ‎（2）cn=anbn=（2n﹣1）•2n﹣1．‎ ‎∴数列{cn}的前n项和Tn=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1．‎ ‎∴2Tn=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，‎ ‎∴﹣Tn=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n=1+﹣（2n﹣1）•2n，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=x2+10x（万元）；当年产量不小于80千件时C（x）=51x+﹣1450（万元），通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂本年内生产该商品能全部销售完．‎ ‎（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获的利润最大？‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=）+10x（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+﹣1450，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；‎ ‎（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜‎ ‎80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，‎ ‎∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，‎ ‎①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，‎ ‎∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=﹣+40x﹣250；‎ ‎②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，‎ ‎∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．‎ 综合①②可得，L（x）=；‎ ‎（2）①当0＜x＜80时，L（x）=﹣+40x﹣250=﹣+950，‎ ‎∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；‎ ‎②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，‎ 当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L已知点F1和F2是椭圆M：的两个焦点，且椭圆M经过点．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）过点P（0，2）的直线l和椭圆M交于A、B两点，且，求直线l的方程；‎ ‎（3）过点P（0，2）的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用b2=a2﹣c2及点满足椭圆的方程即可得出．‎ ‎（2）设出直线l的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及向量相等即可求出；‎ ‎（3）设过点P（0，2）的直线AB方程为：y=kx+2，与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及其对称性得出直线BC的方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）由条件得：c=，设椭圆的方程，‎ 把代入得，解得a2=4，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）斜率不存在时，不适合条件；‎ 设直线l的方程y=kx+2，点B（x1，y1），点A（x2，y2），‎ 代入椭圆M的方程并整理得：（1+4k2）x2+16kx+12=0．△=（16k）2﹣48（1+4k2）=16（4k2﹣3）＞0，得．‎ 且．‎ 因为，即，所以．‎ 代入上式得，解得k=±1，‎ 所以所求直线l的方程：y=±x+2．‎ ‎（3）设过点P（0，2）的直线AB方程为：y=kx+2，点B（x1，y1），点 A（x2‎ ‎，y2），C（﹣x2，y2）．‎ 把直线AB方程代入椭圆M：，并整理得：（1+4k2）x2+16kx+12=0，‎ ‎△=（16k）2﹣48（1+4k2）=16（4k2﹣3）＞0，得．‎ 且．‎ 设直线CB的方程为：，‎ 令x=0得：．‎ 把代入上式得：．‎ 所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为．‎ 当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件．‎ ‎　‎