数学卷·2017届云南省昆明一中高三上学期月考数学试卷（文科）（4） （解析版）

数学卷·2017届云南省昆明一中高三上学期月考数学试卷（文科）（4） （解析版）

‎2016-2017学年云南省昆明一中高三（上）月考数学试卷（文科）（4）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6=0}，则A∩N*=（　　）‎ A．∅ B．{﹣1} C．{1} D．{6}‎ ‎2．=（　　）‎ A．3+2i B．2+2i C．2+3i D．﹣2﹣2i ‎3．若数列{an}满足2an+an+1=0（n∈N*）且a3=﹣2，则a8的值为（　　）‎ A．﹣64 B．﹣32 C． D．64‎ ‎4．在△ABC中，“sinA=sinB”是“A=B”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．向量，，则向量在向量方向上的投影为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，如果输入a=6，b=2，则输出的S=（　　）‎ A．30 B．120 C．360 D．720‎ ‎7．设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，a=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎8．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图是相似矩形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（　　）‎ A． B．1+ C． D．‎ ‎9．如图所示，PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，点A在PB，PC上的射影分别为E，F，则以下结论错误的是（　　）‎ A．PB⊥AF B．PB⊥EF C．AF⊥BC D．AE⊥BC ‎10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与抛物线C相交于P，Q两点，则弦PQ的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．‎ ‎11．已知f（x）=，若f（x）的值域为（﹣∞，3），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B． C． D．[2，+∞）‎ ‎12．若F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过点F1作以F2为圆心|OF2|为半径的圆的切线，Q为切点，若切线段F1Q被双曲线的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是　　．‎ ‎14．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣3x上，则=　　．‎ ‎15．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且f（﹣1）=2，则f（4）+f（5）=　　．‎ ‎16．已知数列{an}满足an+1=且a10=，则{an}的前99项和为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知四边形ABCD中，AD=﹣1，AB=2，CD=，∠ADC=，设∠ABD=α，∠ADB=β，3cosαcosβ﹣3sinαsinβ=2﹣2cos2A．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求BD的长及四边形ABCD的面积．‎ ‎18．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为线段CE上一点，且BF⊥平面ACE，AC交BD于点G．‎ ‎（1）证明：AE∥平面BFD；‎ ‎（2）求直线DE与平面ACE所成角的大小．‎ ‎19．（12分）为了解宝鸡市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表：‎ 评估的平均得分 ‎（0，6）‎ ‎[6，8）‎ ‎[8，10]‎ 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀 ‎（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；‎ ‎（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．‎ ‎20．（12分）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，点F2到直线x+y=0的距离为，若点P在椭圆E上，△F1PF2的周长为6．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若过F1的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，求△F2MN的内切圆的半径的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex+a﹣lnx．‎ ‎（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；‎ ‎（2）当a≥﹣2时，证明：f（x）＞0．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，π），已知曲线C：ρ=2，直线l过点P，其参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若|PM|+|PN|=5，求a的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a，b，c均为正数．‎ ‎（1）若a+b=1，求的最小值；‎ ‎（2）若a+b+c=m，求证：≥m．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年云南省昆明一中高三（上）月考数学试卷（文科）（4）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6=0}，则A∩N*=（　　）‎ A．∅ B．{﹣1} C．{1} D．{6}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A中方程的解确定出A，找出A与正自然数集的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x|x2﹣5x﹣6=0}={﹣1，6}，‎ ‎∴A∩N*={6}，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．=（　　）‎ A．3+2i B．2+2i C．2+3i D．﹣2﹣2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简计算得答案．‎ ‎【解答】解： ==，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．若数列{an}满足2an+an+1=0（n∈N*）且a3=﹣2，则a8的值为（　　）‎ A．﹣64 B．﹣32 C． D．64‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】依题意，得an+1=﹣2an，所以数列{an}‎ 是公比为﹣2的等比数列，即可求出a8的值．‎ ‎【解答】解：依题意，得an+1=﹣2an，所以数列{an}是公比为﹣2的等比数列，故，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的判定，考查数列的通项公式，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，“sinA=sinB”是“A=B”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：显然，A=B⇒sinA=sinB，‎ 反之，在△ABC中，sinA=sinB⇒A=B，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件的定义以及三角函数的性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎5．向量，，则向量在向量方向上的投影为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据投影公式，代值计算即可 ‎【解答】解：由定义，向量在向量方向上的投影为=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．‎ ‎　‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，如果输入a=6，b=2，则输出的S=（　　）‎ A．30 B．120 C．360 D．720‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x=2时跳出循环，输出结果．‎ ‎【解答】解：输入a=6，b=2，k=6，s=1，‎ k=6≥a﹣b=4，‎ s=6，k=5＞a﹣b，‎ s=30，k=4≥a﹣b，‎ s=120，k=3＜a﹣b，‎ 输出s=120，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查程序框图，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，a=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，得到a+1=2，解得即可 ‎【解答】解：画出可行域如图，可知z在H（1，1）处取得最小值，故a+1=2，a=1，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．‎ ‎　‎ ‎8．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图是相似矩形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（　　）‎ A． B．1+ C． D．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则，即，求出全面积与侧面积，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则，即，‎ 所以，，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查个圆柱的全面积与侧面积之比，确定，求出全面积与侧面积是关键．‎ ‎　‎ ‎9．如图所示，PA垂直于圆O所在平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，点A在PB，PC上的射影分别为E，F，则以下结论错误的是（　　）‎ A．PB⊥AF B．PB⊥EF C．AF⊥BC D．AE⊥BC ‎【考点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】推导出BC⊥AC，PA⊥BC，从而BC⊥AF，由此能推导出AF⊥PB．PB⊥EF，若AE⊥BC，则AE⊥平面PBC，从而AE与AF重合，矛盾．‎ ‎【解答】解：因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，‎ 又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，‎ 而PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF．‎ 又因为AF⊥PC，PC∩BC=C，‎ 所以AF⊥平面PBC，故AF⊥PB．‎ 又因为AE⊥PB，AE∩AF=A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF，‎ 故A，B，C正确．‎ 若AE⊥BC，则AE⊥平面PBC，从而AE与AF重合，矛盾，故D错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与抛物线C相交于P，Q两点，则弦PQ的长为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】直线PQ的方程是，把代入抛物线y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，利用弦长公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：直线PQ的方程是，把代入抛物线y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，‎ 设Q（x1，y1），P（x2，y2），则，‎ 所以|PQ|=x1+x2+p==，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的运用，考查弦长公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知f（x）=，若f（x）的值域为（﹣∞‎ ‎，3），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B． C． D．[2，+∞）‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】对x＜1和x≥1分别求解其值域判断，可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，f（x）=，‎ 当x＜1时，1＜2x+1＜3，∵f（x）的值域为（﹣∞，3），不满足题意，显然g（x）=﹣x2+ax，‎ 当x≥1时，1≤g（x）max＜3，显然a≤0不成立，排除A，B，‎ 当a=2时，g（x）=﹣x2+2x，g（x）max=1成立；‎ 当时，，‎ g（x）max=3，不符合题意，排除D，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查指数函数的单调性，属于函数函数性质应用题，采用排除法．属于基础题 ‎　‎ ‎12．若F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过点F1作以F2为圆心|OF2|为半径的圆的切线，Q为切点，若切线段F1Q被双曲线的一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】连接PF1，设PF2的中点为M，由相切可得PF1⊥PF2，运用勾股定理可得|PF1|=c，运用中位线定理可得P到渐近线的距离为c，由点到直线的距离公式和双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：设PF1的中点为M，‎ 由题意可得PF1⊥PF2，|PF2|=c，|F1F2|=2c，‎ 可得|PF1|=c，‎ 即有P到渐近线的距离为c，‎ 由OM为中位线可得F2（c，0）到渐近线的距离为c，‎ 由双曲线的渐近线方程y=x，‎ 可得d==c，‎ 化为3c2=4b2，‎ 又b2=c2﹣a2，‎ 可得c=2a，即e==2．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件和中位线定理、勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（2016•南通一模）从1，2，3，4这四个数中依次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是　　．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为偶数的有5种情形，由概率公式可得．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有 ‎（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，‎ 其中满足所取2个数的乘积为偶数的有（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5种情形，‎ ‎∴所求概率，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查列举法表示基本事件及求概率，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣3x上，则=　﹣　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】由题意可得sinα=﹣3cosα，tanα=﹣3，再利用两角和的正切公式求得的值即可．‎ ‎【解答】解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=﹣3x上，‎ ‎∴sinα=﹣3cosα，即tanα=﹣3，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查了任意角的三角函数的定义以及两角和的正切公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且f（﹣1）=2，则f（4）+f（5）=　﹣2　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】求出f（0）=0，f（x）是以4为周期的周期函数，即可求出f（4）+f（5）的值．‎ ‎【解答】解：因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，‎ 又f（1+x）=f（1﹣x），所以f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），‎ 所以f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的周期函数，‎ 所以f（4）+f（5）=f（0）+f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=0﹣2=﹣2．‎ 故答案为﹣2．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}满足an+1=且a10=，则{an}的前99项和为　﹣‎ ‎　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】利用数列的递推关系式，求出数列的周期，然后求解一个周期内的和，即可求解{an}的前99项和．‎ ‎【解答】截：数列{an}满足an+1=且a10=，‎ 可得a11=﹣，a12=﹣3，a13=2，a14=，‎ 可得：a1=2，a2=，a3=﹣，a4=﹣3，a5=2，a6=，a7=﹣，a8=﹣3，a9=2，a10=，‎ 数列的周期为：4．‎ 一个周期数列的和为：S==﹣．‎ 则{an}的前99项和：25S﹣3=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）（2016秋•五华区校级月考）已知四边形ABCD中，AD=﹣1，AB=2，CD=，∠ADC=，设∠ABD=α，∠ADB=β，3cosαcosβ﹣3sinαsinβ=2﹣2cos2A．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求BD的长及四边形ABCD的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos2A﹣3cosA﹣2=0．解得cosA=﹣，即可得解A的值．‎ ‎（2）由已知利用余弦定理可求BD，cos∠ADB=，进而可求∠ADB=，由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ABD=α，∠ADB=β，α+β=π﹣A，‎ ‎∴由3cosαcosβ﹣3sinαsinβ=2﹣2cos2A．‎ 可得：3cos（α+β）=2﹣2cos2A．可得：﹣3cosA=2﹣2cos2A．‎ ‎∴2cos2A﹣3cosA﹣2=0．解得：cosA=﹣或2（舍去），‎ ‎∴A=．‎ ‎（2）∵AD=﹣1，AB=2，A=，‎ ‎∴△ABD中，由余弦定理可得：BD===，‎ ‎∴cos∠ADB==，可得∠ADB=，‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD ‎=AB•AD•sinA+‎ ‎=（）×+sin（﹣）‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•五华区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为线段CE上一点，且BF⊥平面ACE，AC交BD于点G．‎ ‎（1）证明：AE∥平面BFD；‎ ‎（2）求直线DE与平面ACE所成角的大小．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接FG，推导出BF⊥CE，从而得到FG∥AE，由此能证明AE∥平面BFD． ‎ ‎（2）推导出BC⊥AE，BF⊥AE，AE⊥BE，以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DE与平面ACE所成的角．‎ ‎【解答】证明：（1）连接FG，因为BF⊥平面ACE，CE⊂平面ACE，所以BF⊥CE．‎ 又因为EB=BC，所以F为EC的中点，‎ 而矩形ABCD中，G为AC的中点，所以FG∥AE，‎ 又因为AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，‎ 所以AE∥平面BFD． …‎ 解：（2）因为DA⊥平面ABE，BC∥DA，‎ 所以BC⊥平面ABE，所以BC⊥AE．‎ 又因为BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，所以BF⊥AE．‎ 而BC∩BF=B，所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE．‎ 又因为AE=EB=2，所以．以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由题意得A（0，0，0），，D（0，0，2），，‎ 所以，‎ 设平面ACE的一个法向量为，‎ 由，得，‎ 令x=1，得，‎ 又因为，‎ 设直线DE与平面ACE所成的角为α，‎ 则，所以，‎ 故直线DE与平面ACE所成的角为． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•金台区期中）为了解宝鸡市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10．规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表：‎ 评估的平均得分 ‎（0，6）‎ ‎[6，8）‎ ‎[8，10]‎ 全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀 ‎（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；‎ ‎（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）由已知中对其6条道路进行评估，得分分别为：5，6，7，8，9，10，计算出得分的平均分，然后将所得答案与表中数据进行比较，即可得到答案．‎ ‎（2）我们列出从这6条道路中抽取2条的所有情况，及满足样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5情况，然后代入古典概型公式即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）6条道路的平均得分为（5+6+7+8+9+10）=7.5）…（3分）‎ ‎∴该市的总体交通状况等级为合格．…‎ ‎（2）设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．‎ 从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：‎ ‎（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10）‎ ‎（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8）‎ ‎（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本事件．‎ 事件A包括（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）共7个基本事件，‎ ‎∴P（A）=‎ 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为．…（12分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查的知识点是古典概型，平均数，古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•五华区校级月考）已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，点F2到直线x+y=0的距离为，若点P在椭圆E上，△F1PF2的周长为6．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若过F1的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，求△F2MN的内切圆的半径的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由点到直线的距离公式：，则2a+2c=6，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）由△F2MN的周长是4a=8，则，因此最大，R就最大， =，可设直线l的方程为x=my﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式=，令t=，求导，利用函数的单调性即可求得△F2MN的内切圆的半径的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆E： =1（a＞b＞0）右焦点分别是F2（c，0），则F2到直线x+y=0的距离，①‎ 又2a+2c=6，②‎ 由①、②得a=2，c=1，‎ b2=a2﹣c2=3，‎ ‎∴椭圆E的方程是…4分 ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F2MN的半径为R，则△F2MN的周长是4a=8，‎ ‎，‎ 因此最大，R就最大，‎ 而=，…（7分）‎ 由题设知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x=my﹣1，‎ 代入椭圆方程，消x得到（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，‎ 由韦达定理知，，‎ ‎∴y1﹣y2=，因此=，令t=，‎ 则t≥1， =，‎ 设，因为，‎ ‎∴f（t）在[1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（t）≥f（1）=4，‎ ‎∴，当t=1，即m=0时，4R=3，‎ ‎∴．（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查利用导数求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•五华区校级月考）已知函数f（x）=ex+a﹣lnx．‎ ‎（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；‎ ‎（2）当a≥﹣2时，证明：f（x）＞0．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，求出a的值即可；（2）问题转化为证明ex﹣2﹣lnx＞0，令g（x）=ex﹣2﹣lnx（x＞0），根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=ex+a﹣lnx定义域为（0，+∞），‎ ‎，‎ 由已知得f′（1）=0，即：ea+1﹣1=0，所以a=﹣1； ‎ ‎ （2）由于a≥﹣2，所以ex+a≥ex﹣2，‎ 所以只需证明ex﹣2﹣lnx＞0，‎ 令g（x）=ex﹣2﹣lnx（x＞0），则g′（x）=ex﹣2﹣，‎ 所以g′（x）在（0，+∞）上为增函数，‎ 而g′（1）=e﹣1﹣1＜0，g′（2）=1﹣＞0，‎ 所以g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，‎ 且x0∈（1，2），‎ 当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，‎ 所以g（x）的最小值为g（x0），‎ 由g′（x0）=﹣=0，‎ 得： =，lnx0=2﹣x0，‎ 所以g（x0）=﹣lnx0=+x0﹣2≥0，‎ 而x0∈（1，2），所以g（x0）＞0，所以g（x）＞g（x0）＞0，‎ 即：ex﹣2﹣lnx＞0，所以，当a≥﹣2时，f（x）＞0．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2016秋•五华区校级月考）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，π），已知曲线C：ρ=2，直线l过点P，其参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N．‎ ‎（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若|PM|+|PN|=5，求a的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）利用三种方程的互化方法，可得曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎（2）若|PM|+|PN|=5，利用直线的参数方程，结合参数的几何意义，即可求a的值．‎ ‎【解答】解：（1）ρ=2，得ρ2=2aρcosθ+2aρsinθ，‎ ‎∴x2+y2=2ax+2ay，即（x﹣a）2+（y﹣a）2=2a2，‎ 点P的极坐标为（1，π），直角坐标为（﹣1，0），‎ 所以直线l的普通方程y=（x+1）； …‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=2ax+2ay，‎ 得t2﹣（a+a+1）t+1+2a=0，‎ 因为|PM|+|PN|=5，所以a+a+1=5‎ 解得a=2﹣2． …（10分）‎ ‎【点评】本题考查三种方程的互化，考查参数的几何意义的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．（2016秋•五华区校级月考）已知a，b，c均为正数．‎ ‎（1）若a+b=1，求的最小值；‎ ‎（2）若a+b+c=m，求证：≥m．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】（1）根据基本不等式即可求出最小值，‎ ‎（2）因为a、b、c为正实数，且a+b+c=m，方法一，根据柯西不等式即可证明，‎ 方法二，根据均值不等式即可证明．‎ ‎【解答】解：（1）=（）（a+b）=1+4++≥5+2=5+4=9．‎ 当且仅当b=2a=时，等号成立，‎ 即当且仅当a=，b=时， +有最小值9；‎ ‎（2）证法一：‎ 证明：因为a、b、c为正实数，且a+b+c=m，‎ 由柯西不等式得（b+c+a）（++）≥（a+b+c）2，‎ 化简可得++≥a+b+c．‎ 即++≥m，当且仅当a=b=c=时取等号． ‎ 证法二：‎ 证明：因为a、b、c为正实数，且a+b+c=m，‎ 所以+++（b+c+a）=（+b）+（+c）+（+a）≥2+2+2=2（a+b+c），‎ 所以++≥a+b+c=m 当且仅当a+b+c=m时取等号．‎ ‎【点评】本题考查了均值不等式和柯西不等式的应用，属于中档题 ‎　‎