2018-2019学年河南省八市高二下学期第三次质量检测数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年河南省八市高二下学期第三次质量检测数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省八市高二下学期第三次质量检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．集合，，是实数集，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：化简，，求出，再计算 详解：‎ 则 故选 点睛：本题主要考查了集合之间的基本运算问题，属于基础题，解题时按照集合之间的运算法则进行计算即可。‎ ‎2．设 x∈R，“复数 z=（1﹣x2）+（1+x）i 为纯虚数”是“lg|x|=0”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据充分必要条件的要求进行判断即可.‎ 详解：若复数为纯虚数，‎ 则，解得，‎ ‎，是充分条件；‎ 若，则，‎ 时，复数是纯虚数，‎ 时，，不满足条件，不是必要条件.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查了充分必要条件，考查复数的定义，是一道基础题.‎ ‎3．用反证法证明“如果，那么”，假设的内容应是（ ）‎ A． B．且 C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：原命题的结论为： 。则反证法需假设结论的反面；应为小于或等于，即： 或。‎ ‎【考点】反证法的假设环节.‎ ‎4．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（　　）‎ A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数单调性逐项判断即可 ‎【详解】‎ 对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；‎ 对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确 对C,因为y＝xc为增函数,故 ，错误；‎ 对D, 因为在为减函数，故 ，错误 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．‎ ‎5．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，‎ 四个选项中，即等高的条形图中x1，x2所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验内容，使用频率等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，是基础题 ‎6．在极坐标系中，已知A（1，），B（2，）两点，则|AB|＝（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由AB的坐标分析可得|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB，由余弦定理计算可得答案 ‎【详解】‎ 在极坐标系中，已知A（1，），B（2，），‎ 则|OA|＝1，|OB|＝2，且∠AOB，‎ 则|AB|2＝+﹣2|OA||OB|cos∠AOB＝1+4﹣2×1×2×cos3，则|AB|，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标的应用，涉及余弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎7．参数方程(t为参数)所表示的曲线是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：消去参数t，得所求曲线方程为：x2+y2‎ ‎=1，x≠0，由此能求出曲线图形．‎ 详解：因为参数方程（为参数）所以消去参数得x2+y2=1，x≠0，且，故所表示的图像为B.‎ 点睛：本题考查曲线图形的判断，涉及到参数方程与普通方程的互化、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎8．数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，则实数λ的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用等差数列通项公式推导出λ，由d∈[1，2]，能求出实数λ取最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，‎ ‎∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，‎ ‎∵d∈[1，2]，λ2是减函数，‎ ‎∴d＝1时，实数λ取最大值为λ．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎9．我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？各穿几何？”如图的程序框图源于这个题目，执行该程序框图，若输入x=20，则输出的结果为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】将代入，按照流程图一步一步进行计算，即可得到输出的值.‎ ‎【详解】‎ 第1步：T＝2，S＝2，S＜20成立，a＝2，b=，n=2，‎ 第2步：T＝，S＝，S＜20成立，a＝4，b=，n=3，‎ 第3步：T＝，S＝，S＜20成立，a＝8，b=，n=4，‎ 第4步：T＝，S＝，S＜20成立，a＝16，b=，n=5，‎ 第5步：T＝，S＝，S＜20不成立，退出循环，输出n=5，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了程序框图，属于基础题.这类型题，关键是严格按照流程图进行计算，寻找规律，从而得到对应的输出值.‎ ‎10．对于函数y＝ex，曲线y＝ex在与坐标轴交点处的切线方程为y＝x+1，由于曲线 y＝ex在切线y＝x+1的上方，故有不等式ex≥x+1．类比上述推理：对于函数y＝lnx（x＞0），有不等式（　　）‎ A．lnx≥x+1（x＞0） B．lnx≤1﹣x（x＞0）‎ C．lnx≥x﹣1（x＞0） D．lnx≤x﹣1（x＞0）‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出导数和函数图象与轴的交点坐标，再求出在交点处的切线斜率，代入点斜式方程求出切线方程，再与函数的图象位置比较，得到不等式．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，y′＝lnx，且y＝lnx图象与x轴的交点是（1，0），‎ 则在（1，0）处的切线的斜率是1，∴在（1，0）处的切线的方程是y＝x﹣1，‎ ‎∵切线在y＝lnx图象上方（x＞0），∴x﹣1≥lnx（x＞0），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及对数函数图象的特点等．‎ ‎11．若抛物线C：y2＝4x上一点M（a，b）到焦点F的距离为5，以M为圆心且过点F的圆与y轴交于A，B两点，则|AB|＝（　　）‎ A．4 B．6 C． D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得a＝1＝5，求得a，b，以及圆的半径，运用弦长公式计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 抛物线C：y2＝4x的焦点为（1，0），准线方程为x＝﹣1，‎ 由抛物线的定义可得a+1＝5，解得a＝4，b＝±4，‎ 以M（4，±4）为圆心且过点F的圆的半径为5，‎ 由圆心到y轴的距离为4，可得|AB|＝26，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆的定义和弦长求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎12．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先对函数求导，得，当时，由，可得，从而极值点问题转化为了与y=-2m的交点问题,结合图像即可得出m范围；当，由，可得<0,可得m的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的方法研究函数的极值点问题，分别研究分段函数在不同范围的单调性，结合图像即可得出结果.‎ 二、填空题 ‎13．某产品发传单的费用x与销售额y的统计数据如表所示：‎ 发传单的费用x万元 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售额y万元 ‎10‎ ‎26‎ ‎35‎ ‎49‎ 根据表可得回归方程，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．‎ ‎【答案】8．‎ ‎【解析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到，进而构造不等式，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：，，‎ 代入，得，‎ 令 解得：，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是线性回归方程，难度不大，属于基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.‎ ‎14．观察下列不等式：1> ，1＋＋>1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．‎ ‎【答案】1＋＋＋…＋>‎ ‎【解析】3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，‎ 可猜测：1＋＋＋…＋>‎ ‎15．已知向量，，若∥，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：∵，∴，即．∵，，∴‎ ‎，当且仅当时取等号．∴的最小值是．故答案为：．‎ ‎【考点】（1）基本不等式；（2）平面向量共线的坐标表示．‎ ‎16．近几年来，人工智能技术得到了迅猛发展，某公司制造了一个机器人，程序设计师设计的程序是让机器人每一秒钟前进一步或后退一步，并且以先前进3步，然后再后退2步的规律前进．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上前进（1步的距离为1个单位长度）．令P（n）表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P（0）＝0，则下列结论中正确的是_____．（请将正确的序号填在横线上）‎ ‎①P（3）＝3；②P（5）＝1；③P（2018）＜P（2019）；④P（2017）＜P（2018）；⑤P（2003）＝P（2018）．‎ ‎【答案】①②③④‎ ‎【解析】‎ 按“前进3步后退2步”的步骤去算，发现机器人每5秒完成一个循环，解出对应的数值，再根据规律推导，即可得解．‎ ‎【详解】‎ 根据题中的规律可得：‎ P（0）＝0，P（1）＝1，P（2）＝2，P（3）＝3，P（4）＝2，‎ P（5）＝1，P（6）＝2，P（7）＝3，P（8）＝4，P（9）＝3，‎ P（10）＝2，P（11）＝3，P（12）＝4，P（13）＝5，P（14）＝4，‎ P（15）＝3，…以此类推得：‎ P（5k）＝k，P（5k+1）＝k+1，P（5k+2）＝k+2，‎ P（5k+3）＝k+3，P（5k+4）＝k+2，（k为正整数），‎ 故P（3）＝3，P（5）＝1，故①和②都正确，‎ ‎∴P（2017）＝405，P（2018）＝406，P（2019）＝407，P（2003）＝403，‎ ‎∴P（2018）＜P（2019），故③正确；‎ P（2017）＜P（2018），故④正确 P（2003）＜P（2018），故⑤错误．‎ 故答案为：①②③④．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知复数是虚数单位， ），且为纯虚数（是的共轭复数）．‎ ‎（Ⅰ）设复数，求；‎ ‎（Ⅱ）设复数，且复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先化简，由为纯虚数可得m＝－3，从而可得结果；（Ⅱ）化简 ‎，根据复数所对应的点在第四象限可得 ，解不等式组即可得结果.‎ 试题解析：∵z＝1＋mi，∴ ．‎ ‎∴．‎ 又∵为纯虚数，‎ ‎∴‎ ‎∴m＝－3．‎ ‎∴z＝1－3i．‎ ‎（Ⅰ），‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵z＝1－3i，‎ ‎∴．‎ 又∵复数z2所对应的点在第四象限，‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴．‎ ‎18．已知函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{an}（n∈N）的首项a1，且数列{an}的公差d＝1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数在x∈（0，1）上的零点为等差数列{an}（n∈N）的首项a1，求出首项，然后求解通项公式．‎ ‎（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列得和即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 所以，由题意有 由于x∈（0，1），所以{an}是以为首项，1为公差的等差数列 ‎ 所以 ‎（2）‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ 则①﹣②得：，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项及求和，三角函数的性质，错位相减求和，考查计算能力，是中档题 ‎19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》 第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 违章驾驶员人数 ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎（1）请利用所给数据求违章人数y与月份之间的回归直线方程+‎ ‎（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；‎ ‎（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2列联表：‎ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 驾龄1年以上 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 能否据此判断有97.5的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？‎ 参考公式及数据：,.‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（其中n=a+b+c+d）‎ ‎【答案】（1）；（2）66人；（3）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．‎ ‎【解析】（1）利用所给数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程； （2）由（1）中的回归直线方程计算x=7时的值即可； （3）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表中数据知，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴所求回归直线方程为。‎ ‎（2）由（1）知，令，则人.‎ ‎（3）由表中数据得 ，‎ 根据统计有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎20．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于不同的两点.‎ ‎（1）若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求的值；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)9.‎ ‎【解析】（1）由抛物线C在点M和N处的切线互相垂直可得两直线斜率乘积为，再将直线方程代入抛物线方程，结合韦达定理可求出的值.‎ ‎（2）利用焦半径公式分别表示,，再结合韦达定理，从而求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设对求导得：‎ 故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，又切线垂直,‎ ‎，即，‎ 把 ‎ 故 ‎(2)设,,由抛物线定义可知,‎ 由（1）和知 所以= ‎ 所以当时, 取得最小值,且最小值为9.‎ ‎【点睛】‎ 主要考查了直线与抛物线的焦点弦有关的问题，涉及到斜率公式，韦达定理以及焦半径公式，考查了函数与方程的思想，属于难题.对于与抛物线有关的最值问题，关键是建立与之相关的函数，运用函数的思想求出最值.‎ ‎21．已知函数u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．‎ ‎（1）令m＝2，求函数h（x）的单调区间；‎ ‎（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，且满足1e（e为自然对数的底数）求x1•x2的最大值．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）（2）‎ ‎【解析】（1）化简函数h（x），求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出（2）函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消参数m化简整理可得ln（x1x2）＝ln•，设t，构造函数g（t）＝（）lnt，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值即可求出x1•x2的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令m＝2，函数h（x），∴h′（x），‎ 令h′（x）＝0，解得x＝e，∴当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，‎ ‎∴函数h（x）单调递增区间是（0，e），单调递减区间是（e，+∞）‎ ‎（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，‎ ‎∵函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有两个正根，‎ ‎∴lnx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，两式相减可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），‎ 两式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，‎ ‎∴∴ln（x1x2）＝ln•，设t，‎ ‎∵1e，∴1＜t≤e，设g（t）＝（）lnt，∴g′（t），‎ 令φ（t）＝t2﹣1﹣2tlnt，∴φ′（t）＝2t﹣2（1+lnt）＝2（t﹣1﹣lnt），‎ 再令p（t）＝t﹣1﹣lnt，∴p′（t）＝10恒成立，‎ ‎∴p（t）在（1，e]单调递增，∴φ′（t）＝p（t）＞p（1）＝1﹣1﹣ln1＝0，‎ ‎∴φ（t）在（1，e]单调递增，∴g′（t）＝φ（t）＞φ（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，‎ ‎∴g（t）在（1，e]单调递增，∴g（t）max＝g（e），∴ln（x1x2），∴x1x2‎ 故x1•x2的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数的最值和最值，考查了函数与方程的思想，转化与化归思想，属于难题 ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆．‎ ‎（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．‎ ‎【答案】（1）C1：y2＝1，C2 ：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1]‎ ‎【解析】（Ⅰ）消去参数φ可得C1的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（3cosφ，sinφ），由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围，结合圆的知识可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）消去参数φ可得C1 的普通方程为y2＝1，‎ ‎∵曲线C2 是圆心为（2，），半径为1 的圆，曲线C2 的圆心的直角坐标为（0，2），‎ ‎∴C2 的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝1； ‎ ‎（2）设M（3cosφ，sinφ），则|MC2|‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC2|，‎ 由题意结合图象可得|MN|的最小值为1﹣1＝0，最大值为1，‎ ‎∴|MN|的取值范围为[0，1]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题．‎ ‎23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x|（a＞0）．‎ ‎（1）若不等式f（x）﹣|x|≥4x的解集为{x|x≤1}，求实数a的值；‎ ‎（2）证明：f（x）．‎ ‎【答案】（1）a＝5；（2）见解析 ‎【解析】（1）由题意可得|x﹣a|≥4x，分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出a的值．（2）由条件利用绝对值三角不等式，基本不等式证得f（x）≥2．．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由f（x）﹣|x|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），‎ 当x≥a时，x﹣a≥4x，解得x，‎ 这与x≥a＞0矛盾，故不成立，‎ 当x＜a时，a﹣x≥4x，解得x，‎ 又不等式的解集是{x|x≤1}，故1，解得a＝5．‎ ‎（2）证明：f（x）＝|x﹣a|+|x| |x﹣a﹣（x）|＝|a|，∵a＞0，‎ ‎∴|a|＝a22，当且仅当a时取等号，‎ 故f（x）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．‎