专题52+直线与圆、圆与圆的位置关系（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习
【学习目标】
能利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何特征判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练解决与圆的切线和弦长等有关的综合问题；体会用代数法处理几何问题的思想.
【知识要点】
1．直线和圆的位置关系有三种：_______________．
2．直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法有：
(1)几何方法：
圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______________和圆的半径r的大小关系：
d______r ⇔直线与圆相交；
d______r ⇔直线与圆相切；
d______r ⇔直线与圆相离．
(2)代数方法：
由消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则
Δ______0⇔直线与圆相交；
Δ______0⇔直线与圆相切；
Δ______0⇔直线与圆相离．
3．圆与圆的位置关系有__________________________________________．
4．根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有：
(1)几何方法：
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)的圆心距为d，则d>r1＋r2⇔两圆________；
d＝r1＋r2⇔两圆__________；
|r1－r2|
0,即k2>1当∠AOB为锐角时,
则
,可得k2<>
又因为k2>1,故k的取值范围为或。
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
41．已知圆：，一动直线l过与圆相交于.两点，是中点，l与直线m：相交于.
（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
【答案】(1)见解析(2) 或（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得到直线l过圆心；
（2）分两种情况：①当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；
（3）根据CM⊥MN，得到•等于0，利用平面向量的加法法则化简等于•，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到与直线l的倾斜角无关．
【详解】
（3）因为CM⊥MN,
①当与x轴垂直时，易得，则,又,
，
②当的斜率存在时，设直线的方程为，
则由，得（ ）,则
=
综上，与直线l的斜率无关，且.
【点睛】
此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．
42．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切，与圆外切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，，若直线与轨迹交于，两点，求的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则
，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，
；则经过点的切线斜方程是，同理经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .可得经过两点的直线的方程是，对分类讨论分别求出的值，即可得到的最小值.
【详解】
（Ⅰ）设动圆的半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，
∴，且.于是，，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，
所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．
（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，
；则经过点的切线斜率，方程是，
经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .
则有，所以经过两点的直线的方程是，
①当时，有，，，，则；
②当时，联立，整理得；
设坐标分别为，，则，
所以，
综上所述，当时，有最小值．
【点睛】
本题考查点的轨迹的求法，考查直线与圆、椭圆的位置关系，属中档题.
43．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
（Ⅰ）求的参数方程；
（Ⅱ）求直线被截得的弦长．
【答案】(1) 的参数方程为（为参数）;(2) .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据圆的极坐标方程，先转化为圆的直角坐标方程；再根据参数方程与直角坐标的关系，求得圆的参数方程。
（Ⅱ）将直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离与垂径定理求得弦长。
【详解】
【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的关系，点到直线距离与垂径定理的简单应用，属于中档题。
44．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是x=2，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ=β（其中）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）ρcosθ=2，ρ=2sinθ（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（I）直线的方程是，利用 可得极坐标方程．圆的参数方程为（为参数），利用 可得普通方程，进而化为极坐标方程．
（II）将分别带入，得，
∴
试题解析：（Ⅰ）∵，∴直线的极坐标方程是
由消参数得
∴曲线的极坐标方程是
（Ⅱ）将分别带入，得，
∴，讨论，的范围，可得的取值范围
∵，∴ ∴
∴的取值范围是
45．已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，
（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；
（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．
【答案】（1）（﹣∞，5）（2）m=4
【解析】
【分析】
（1）由圆的一般方程的定义知4+16﹣4m＞0，由此能法语出实数m的取值范围．
（2）求出圆心到直线x+2y﹣4=0的距离，由此利用已知条件能求出m的值．
【详解】
（1）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆，
∴D2+E2﹣4F＞0，
即4+16﹣4m＞0解得m＜5，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，5）．
（2）∵方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，
∴（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，
圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d==，（8分）
∵圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，
∴，
解得m=4．
【点睛】
本题考查圆的方程中参数m的取值范围，考查圆的方程中m的值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
46．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，且与直线3x﹣4y+1=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得（O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2=1（2）不存在直线l
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分析可得，解可得a、b的值，由圆的标准方程即可得答案；
（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由数量积的计算公式可得•=（1+k2）++4=6，解可得k的值，验证是否满足△＞0，即可得答案．
【详解】
（2）假设存在直线l，使得=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），
由得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，
由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得，且，
•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）++4=6，
解得k=﹣1或，不满足△＞0，
所以不存在直线l，使得=6．
【点睛】
本题考查直线与圆方程的综合应用，涉及向量数量积的计算，注意圆C关于直线3x﹣2y=0对称，则圆心在直线上．
47．已知圆O：x2+y2=4．
（1）已知点P（1，），求过点P的圆O的切线方程；
（2）已知点Q（2，3），过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，求经过A，B的直线方程．
【答案】（1）x+y﹣4=0（2）2x+3y﹣4=0
【解析】
【分析】
（1）判断P（1，）在圆上，求出切线斜率即可求过点P的圆O的切线方程；
（2）根据条件构造以OQ为直径的圆，利用两圆方程作差即可，求经过A，B的直线方程．
【详解】
（2）已知点Q（2，3），过点Q作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
则OA，OB和切线垂直，
则以OQ为直径的圆和圆O相交于A，B两点，
则OQ的中点为M（1，），|OM|==，
则圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=，
即一般式方程为x2+y2﹣2x﹣3y=0，
圆x2+y2=4的一般式方程为x2+y2﹣4=0，
两式相减得2x+3y﹣4=0，
即相交弦A，B的直线方程为2x+3y﹣4=0．
【点睛】
本题主要考查圆的切线以及圆的相交弦方程问题，根据条件构造圆，求出圆的标准方程是解决本题的关键．
48．已知圆:,点的坐标为(2,-1),过点作圆 的切线,切点为,.
（1）求直线,的方程;
（2）求过点的圆的切线长;
（3）求直线的方程.
【答案】（1）或；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）设过点P的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求其斜率即可（2）在△中利用勾股定理求PA的长（3）利用AB与PC垂直的性质求出其斜率，由点斜式写出直线方程.
【详解】
(1).由已知得过点的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为,即.
则圆心到直线的距离为,
即,
∴,∴或.
∴所求直线的切线方程为或,
即或.
(2).在△中,
∵,,
∴,
∴,
∴过点的圆的切线长为.
(3).直线的方程为.
【点睛】
本题考查直线与圆相切的性质，以及切线的相关平面几何性质，属于中档题.解决此类问题要注意对初中学习的圆的平面几何性质灵活使用.
49．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）若直线与圆相交于，两点，求弦长,若点,求的值；
（2）以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆和圆的交点为，，求弦所在直线的直角坐标方程．
【答案】（1），16；（2）
【解析】
【分析】
(1)先把直线和圆的参数方程化成直角坐标方程再求弦长，利用直线参数方程t的几何意义求的值.(2)直接把两圆是方程相减即得直线PQ的方程.
【详解】
（1）由直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t，可得，即直线l的普通方程为．
圆的参数方程为（为参数），根据消去参数，可得，所以圆心O到直线l的距离，故弦长．
把直线的参数方程代入圆的方程得
所以 .
【点睛】
(1)本题主要考查参数方程极坐标与直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查直线的参数方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用直线的参数方程t的几何意义求值时，一定要把直线的参数方程化成标准的参数方程.
50．已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．
（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；（2）若圆C与圆x2+y2-8x-12y+36=0外切，求m的值；（3）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=，求m的值．
【答案】（1）；（2）4；（3）4
【解析】
【分析】
（1）直接把圆的一般式转化为标准式，进一步求出圆的成立的充要条件．
（2）直接利用圆与圆相切的充要条件求出结果．
（3）利用直线与圆的位置关系，进一步利用垂径定理求出m的值．
【详解】
（1）把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，
若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5；
（2）把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4）2+（y-6）2=16，得到圆心坐标（4，6），半径为4，
则两圆心间的距离d==5，
因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+=5，解得m=4；
（3）因为圆C圆心C的坐标为（1，2），则圆心C到直线l的距离d==，
所以=（|MN|）2+d2，即5-m=1，解得m=4．
【点睛】
本题考查圆成立的充要条件的应用，圆与圆的位置关系的应用，直线与圆的位置关系的应用及相关的垂径定理得应用，属中档题．
51．已知关于的方程．
（Ⅰ）若方程表示圆，求的取值范围；
（Ⅱ）若圆与圆外切，求的值；
（Ⅲ）若圆与直线相交于两点，且，求的值．
【答案】(1) m<5; （2）
【解析】
【分析】
（1）根据圆的标准的方程条件列不等式求出的范围；
（Ⅱ）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出的值．
（Ⅲ）（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出的值．
【详解】
（2）由（1）知圆的圆心为，半径为，
可化为，
故圆心为，半径为．
又两圆外切，
所以，
即，可得．
（3）圆的圆心到直线的距离为
，
由则，
又 ，
所以得 ．
【点睛】
本题考查圆的标准方程的特征，圆与圆外切的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．属于基础题．
52．已知圆过点，，圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）过圆上任一点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1).
(2).
【解析】分析：（1）根据条件设圆的方程为，由题意可解得，于是可求得圆的方程．（2）根据几何知识可得，故将所求范围的问题转化为求切线长的问题，然后根据切线长的求法可得结论．
（2）由圆的切线的性质得，
而．
由几何知识可得，
又，
所以，
故，
所以，
即四边形面积的取值范围为．
点睛：解决圆的有关问题时经常结合几何法求解，借助图形的直观性可使得问题的求解简单直观．如在本题中将四边形的面积转化为切线长的问题，然后再转化为圆外一点到圆上的点的距离的范围的问题求解．
53．已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0与圆C2：x2＋y2－6x－y－9＝0.
(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；
(3)在平面上找一点P，过P点引两圆的切线并使它们的长都等于6.
【答案】 (1)证明见解析；(2)2x－y＋4＝0.(3)P(3,10)或(－，－)．
【解析】
【分析】
（1）计算圆心之间距离，根据与两半径和与差的关系判断证明，（2）对应相减两圆方程得公共弦所在直线方程，（3）根据切线长公式列方程，再与P点在公共弦所在直线上联立方程组，解得结果.
【详解】
(1)证明：圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10，圆C2：(x－3)2＋(y－)2＝.
∵两圆心距|C1C2|＝＝，且－<<＋，
∴圆C1与圆C2相交．
【点睛】
本题考查两圆位置关系、公共弦求法以及切线长公式，考查基本求解能力.
54．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切？(2)圆C1与圆C2内含？
【答案】（1）m＝－5或m＝2 (2)－2＜m＜－1.
【解析】
【分析】
将两圆方程化为标准方程，再根据两圆位置关系确定圆心之间距离与两半径和与差的关系，解方程或不等式得结果.
【详解】
因为
所以（1）
（2）
【点睛】
判断圆与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．
(2)切线法：根据公切线条数确定．
（3）数形结合法：直接根据图形确定
55．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程；
（3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
(3).
【解析】分析：（1）直线l可理解为过定点的直线系，求出直线恒过的定点；
（2）说明直线l被圆C截得的弦长最短时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可得到直线的方程；．
（3）问题可转化为以为圆心， 为半径画圆，当圆与圆相交时满足题意.
（）方法一：由题意可知：圆心C：，
，
又当所截弦长最短时， ，
.
方法二：∵圆心到直线的距离，
，
设弦长为，则，
当所截弦长最短时， 取最大值，
∴，令，
．
令
，
当时， 取到最小值．
此时， 取最大值，弦长取最小值，
直线上方程为．
点睛：本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
56．已知圆，圆．
（Ⅰ）试判断圆与圆的位置关系；
（Ⅱ）在直线上是否存在不同于的一点，使得对于圆上任意一点都有为同一常数．
【答案】（Ⅰ）相交；（II）．
【解析】分析：（Ⅰ）根据几何法和代数法两种方法可判断两圆的位置关系．（Ⅱ）假设存在满足条件的点和，根据为常数得到关于的方程，将此方程与圆的方程比较可得所求结果．
详解：（Ⅰ）由题意得圆的标准方程为，
的标准方程为．
∴两圆的圆心距为，
又两圆的半径之差,两圆的半径之和 ，
∴ ，
∴两圆相交．
（Ⅱ）由题意得直线的方程为．
假设直线上存在不同于的一点满足条件，设,，
则由题意得，
化简得，
显然上式与圆的方程为同一方程，
则
解得或（不合题意，舍去）．
所以所求的点的坐标为．
点睛：（2）判断两圆的位置关系时，可根据圆心距与两圆半径间的关系判断，也可通过解方程组根据解得个数判断，解题时灵活选择方法求解．
（2）解析几何中的探索性问题，解决时可先假设结论成立，并在此基础上进行推理，看是否得到矛盾，若得到矛盾则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．
57．已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
两圆方程相减得直线AB的方程,且AB为圆N的直径,从而得到圆M的圆心坐标．
【详解】
【点睛】
设、是两圆的交点，则有和成立，
即、满足方程
即。所以直线l表示两圆相交弦所在直线.
58．已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若是曲线上关于轴对称的两点，点，直线交曲线
于另一点，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．
【答案】（1）；（2）过定点
【解析】分析：（1）根据圆与圆外切并且与圆内切可得点满足
，由椭圆的定义可得动点的轨迹，然后可求得其方程．（2）由题意可设直线的方程为，将其代入椭圆方程消去y后可得二次方程，根据点共线及根据系数的关系可得，于是直线方程是，过定点．
详解：（1）圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
设动圆半径为，
∵圆与圆外切且与圆内切，
∴ ，，
∴ ，
∴圆心的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆（左顶点除外），设其方程为．
由题意得，∴，
∴曲线C的方程为．
（2）由题意知直线斜率存在，设直线的方程为，
由消去y整理得，
∵直线与椭圆交于A,E两点，
∴，
整理得①，
设，，则，
且，，
∵点共线，
∴，即，
整理得，
∴ ，
整理得，满足判别式①．
∴直线方程是，
∴直线过定点．
点睛：（1）求曲线方程时，要结合条件进行判断曲线上是否有不符合题意的点，对于此类点要去掉．
（2）证明直线过定点时，首先要根据题意选择参数，建立一个直线系方程，然后根据该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．
59．已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点， ，经过点的直线与动点的轨迹交于， 两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：
（1）设以线段为直径的圆的圆心为，取，借助几何知识分析可得动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，根据待定系数法可得动点的轨迹方程为．（2）①当直线垂直于轴时，不合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元后可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．
试题解析：
（1）如图，设以线段为直径的圆的圆心为，取.
（2）①当直线垂直于轴时，直线的方程为，此时直线与椭圆相切，与题意不符.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由消去y整理得.
∵直线与椭圆交于， 两点，
∴，
解得．
设， ，
则，
（定值）．
点睛：
（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题．
（2）求定值问题常见的方法
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
