数学卷·2018届湖南省常德市桃源一中高二上学期模块数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届湖南省常德市桃源一中高二上学期模块数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年湖南省常德市桃源一中高二（上）模块数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（　　）‎ A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1‎ C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=‎ ‎2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　）‎ A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 ‎3．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）‎ ‎4．已知p：x2﹣x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．＜x＜ D．＜x＜2‎ ‎5．方程x2+y2=1（xy＜0）的曲线形状是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知M （﹣2，0），N （2，0），则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是（　　）‎ A．x2+y2=2 B．x2+y2=4 C．x2+y2=2（x≠±2） D．x2+y2=4（x≠±2）‎ ‎7．椭圆x2+4y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎9．已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎11．已知动圆M过定点B（﹣4，0），且和定圆（x﹣4）2+y2=16相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（　　）‎ A．﹣=1（x＞0） B．﹣=1（x＜0）‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎12．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.‎ ‎13．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊊B”的　　条件．‎ ‎（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空）‎ ‎14．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为　　．‎ ‎15．若双曲线x2﹣4y2=4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2‎ 的直线交右支于A、B两点，若|AB|=5，则△AF1B的周长为　　．‎ ‎16．过抛物线y2=4x的焦点，引倾斜角为60°的直线，交抛物线于A、B两点，则△OAB的面积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．‎ ‎（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程 ‎（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎19．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点． ‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点．且|MF1|+|MF2|=6，试判断△MF1F2的形状．‎ ‎20．已知抛物线C的焦点坐标在x轴上且开口向右，焦点与准线的距离为4，定点M（﹣2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，‎ ‎（1）抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）若•=0，求直线的方程．‎ ‎21．已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2‎ ‎，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△PAB的面积．‎ ‎22．已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省常德市桃源一中高二（上）模块数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.‎ ‎1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（　　）‎ A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1‎ C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．‎ ‎【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　）‎ A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题P：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．（￢p）∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由命题P：所有有理数都是实数，是真命题，命题q：正数的对数都是正数，是假命题，知￢p是假命题，￢q是真命题，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵命题P：所有有理数都是实数，是真命题，‎ 命题q：正数的对数都是正数，是假命题，‎ ‎∴￢p是假命题，￢q是真命题，‎ ‎∴（￢p）∨q是假命题，p∧q是假命题，‎ ‎（￢p）∧（￢q）是假命题，（￢p）∨（￢q）是真命题，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．已知p：x2﹣x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．0＜x＜1 B．﹣1＜x＜1 C．＜x＜ D．＜x＜2‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由p：x2﹣x＜0⇒0＜x＜1⇒﹣1＜x＜1，﹣1＜x＜1推不出x2﹣x＜0，知p：x2﹣x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件﹣1＜x＜1．‎ ‎【解答】解：∵p：x2﹣x＜0⇒0＜x＜1⇒﹣1＜x＜1，‎ ‎﹣1＜x＜1推不出x2﹣x＜0，‎ ‎∴p：x2﹣x＜0，那么命题p的一个必要不充分条件﹣1＜x＜1，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．方程x2+y2=1（xy＜0）的曲线形状是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】方程x2+y2=1（xy＜‎ ‎0）表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：方程x2+y2=1（xy＜0）表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分，故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知M （﹣2，0），N （2，0），则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是（　　）‎ A．x2+y2=2 B．x2+y2=4 C．x2+y2=2（x≠±2） D．x2+y2=4（x≠±2）‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设P（x，y），由两点间距离公式和勾股定理知x2+4x+4+y2+x2﹣4x+4+y2=16，由此能够得到顶点P的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则 x2+4x+4+y2+x2﹣4x+4+y2=16，x≠±2，‎ 整理，得x2+y2=4（x≠±2）．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．椭圆x2+4y2=1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，‎ 则c==，所以椭圆的离心率e==．‎ 故选A ‎　‎ ‎8．若椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】由椭圆的定义结合题意可得三角形的三边，由勾股定理可得结论．‎ ‎【解答】解：由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=8，‎ 又知|PF1|﹣|PF2|=2，两式联立可得 ‎|PF1|=5，|PF2|=3，又|F1F2|=2c=4‎ 故满足，‎ 故△PF1F2是直角三角形．‎ 故选B ‎　‎ ‎9．已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征．‎ ‎【分析】先求出抛物线y2=8x的焦点坐标，由此得到双曲线的一个焦点，从而求出a的值，进而得到该双曲线的渐近线方程 ‎【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴c=2，a2=4﹣1=3，∴，∴，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．‎ ‎【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，‎ F（）准线方程x=，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，‎ ‎∴|AF|+|BF|==3‎ 解得，‎ ‎∴线段AB的中点横坐标为，‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．已知动圆M过定点B（﹣4，0），且和定圆（x﹣4）2+y2=16相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（　　）‎ A．﹣=1（x＞0） B．﹣=1（x＜0）‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】轨迹方程；圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】动圆圆心为M，半径为r，已知圆圆心为C，半径为4 由题意知：MB=r，MC=r+4，所以MC﹣MA=4 即动点M到两定点的距离之差为常数4，M在以A、C为焦点的双曲线左支上，且2a=4，2c=8，从而可得动圆圆心M的轨迹方程 ‎【解答】解：动圆圆心为M，半径为r，已知圆圆心为C，半径为4 由题意知：MB=r，MC=r+4，‎ 所以MC﹣MB=4 ‎ 即动点M到两定点的距离之差为常数4，M在以B、C为焦点的双曲线左支上，且2a=4，2c=8 ‎ ‎∴b==2，‎ ‎∴动圆圆心M的轨迹方程为：﹣=1（x≤﹣2）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．‎ ‎【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【解答】解：设双曲线方程为，‎ 则F（c，0），B（0，b）‎ 直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，‎ 所以，即b2=ac 所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，‎ 所以或（舍去）‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.‎ ‎13．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊊B”的　充分不必要　条件．‎ ‎（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据集合关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若A⊊B，则a=2或3，‎ 故“a=3”是“A⊊B”的充分不必要条件，‎ 故答案为：充分不必要 ‎　‎ ‎14．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为　　．‎ ‎【考点】椭圆的定义；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】将椭圆的方程变形为标准形式，利用长轴长是短轴长的两倍建立关于m的方程即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：方程x2+my2=1变为x2+=1‎ ‎∵焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，‎ ‎∴=2，解得m=‎ 故应填 ‎　‎ ‎15．若双曲线x2﹣4y2=4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|=5，则△AF1B的周长为　18　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长．‎ ‎【解答】解：由双曲线的方程可知a=2，‎ 则|AF1|﹣|AF2|=4，|BF1|﹣|BF2|=4，‎ 则|AF1|+|BF1|﹣（|BF2|+|AF2|）=8，‎ 即|AF1|+|BF1|=|BF2|+|AF2|+8=|AB|+8=5+8=13，‎ 则△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=13+5=18，‎ 故答案为：18‎ ‎　‎ ‎16．过抛物线y2=4x的焦点，引倾斜角为60°的直线，交抛物线于A、B两点，则△OAB的面积为　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则x=1+y代入y2=4x得：y2﹣y﹣4=0，S=|OF|•|y1﹣y2|，由此能求出△OAB的面积．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则 过F且倾斜角为60°的直线y=（x﹣1），‎ 即x=1+y代入y2=4x得：y2﹣y﹣4=0，∴y1+y2=，y1y2=﹣4，‎ ‎∴|y1﹣y2|==，‎ ‎∴S=|OF|•|y1﹣y2|=×1×=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】对于命题p：利用指数函数的单调性可得：0＜a＜1．‎ 对于命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．等价于∀x∈R，ax2﹣x+a＞0．对a分类讨论，利用函数的图象与性质即可得出．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，即可得出．‎ ‎【解答】解：p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．‎ q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．等价于∀x∈R，ax2﹣x+a＞0．‎ 如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎（i）a=0 不成立．‎ ‎（ii）a≠0 时，，解得，即q：a．‎ 如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，‎ ‎∴或，‎ 解得，或a≥1．‎ ‎∴实数a的取值范围是，或a≥1．‎ ‎　‎ ‎18．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．‎ ‎（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程 ‎（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则|MD|=‎ ‎|PD|，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得：；‎ ‎（2）设直线方程为：，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，弦长公式：丨AB丨=•，即可求得直线被C所截线段的长度．‎ ‎【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），‎ 由|MD|=|PD|，解得：‎ ‎∵P在圆上，‎ ‎∴x'2+y'2=25，即，整理得：，‎ 即C的方程为：；…‎ ‎（2）过点（3，0），斜率为k=，的直线方程为：，…‎ 设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程代入C的方程，得，整理得：x2﹣3x﹣8=0…‎ ‎∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，…‎ ‎∴线段AB的长度为，‎ 线段AB的长度丨AB丨=…‎ ‎　‎ ‎19．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点． ‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点．且|MF1|+|MF2|=6，试判断△MF1F2的形状．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求出椭圆的焦点坐标，设双曲线的方程为，代入点（3，﹣2），求出a2=3，可得双曲线的标准方程；‎ ‎（2）不妨设M在双曲线的右支上，则|MF1|﹣|MF2|=2，利用|MF1|+|MF2|=6，求出|MF1|=4，|MF2|=2，由余弦定理可得cos∠MF2F1=＜0，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆4x2+9y2=36可化为，焦点坐标为（±，0），‎ 设双曲线的方程为，‎ 代入点（3，﹣2），可得=1，∴a2=3，‎ ‎∴双曲线的标准方程为；‎ ‎（2）不妨设M在双曲线的右支上，则|MF1|﹣|MF2|=2，‎ ‎∵|MF1|+|MF2|=6，‎ ‎∴|MF1|=4，|MF2|=2，‎ ‎∵|F1F2|=2，‎ ‎∴由余弦定理可得cos∠MF2F1=＜0，‎ ‎∴△MF1F2是钝角三角形．‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C的焦点坐标在x轴上且开口向右，焦点与准线的距离为4，定点M（﹣2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，‎ ‎（1）抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）若•=0，求直线的方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）设出抛物线方程，利用焦点与准线的距离为4，求出p，即可求抛物线的方程；‎ ‎（2）若•=0，利用韦达定理，建立方程，即可求直线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由已知可令所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），而焦点与准线的距离为4，所以p=4，故所求抛物线C：y2=8x …‎ ‎（2）由题意可知：斜率k≠0，设直线AB为my=x﹣2，其中m=．‎ 联立抛物线方程得到y2﹣8my﹣16=0，△＞0，…‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=8m，y1y2=﹣16．…‎ 又=（x1+2，y1﹣2），=（x2+2，y2﹣2），‎ 所以•=（x1+2）（x2+2）+（y1﹣2）（y2﹣2）=（my1+4）（my2+4）+（y1﹣2）（y2﹣2）‎ ‎=（m2+1）y1y2+（4m﹣2）（y1+y2）+20‎ ‎=﹣16（m2+1）+（4m﹣2）×8m+20=4（2m﹣1）2．‎ 由4（2m﹣1）2=0，解得m=．‎ 所以k==2．‎ 故所求的直线方程是y=2x﹣4．…‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆G： =1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）求△PAB的面积．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2﹣c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；‎ ‎（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，‎ 解得a=，又b2=a2﹣c2=4，‎ 所以椭圆G的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，‎ 由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①‎ 设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），‎ 则x0==﹣，‎ y0=x0+m=，‎ 因为AB是等腰△PAB的底边，‎ 所以PE⊥AB，‎ 所以PE的斜率k=，‎ 解得m=2．‎ 此时方程①为4x2+12x=0．‎ 解得x1=﹣3，x2=0，‎ 所以y1=﹣1，y2=2，‎ 所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．‎ 到直线AB：y=x+2距离d=，‎ 所以△PAB的面积s=|AB|d=．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b=|OM|=1，从而可得椭圆的方程；‎ ‎（II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y=k（x﹣1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，‎ ‎∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，‎ ‎∴b=|OM|=1，‎ ‎∴．…‎ ‎∴椭圆的方程为．…‎ ‎（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．‎ 设，，则为定值．…‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．‎ 将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…‎ 依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，．…‎ 又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），‎ 所以=‎ ‎==‎ ‎==．．…．…‎ 综上得k1+k2为常数2..…．…‎ ‎　‎