上海市进才中学2020届高三上学期第一次月考数学试题 含解析

上海市进才中学2020届高三上学期第一次月考数学试题 含解析

上海市进才中学2020届高三数学第一次月考试卷 ‎ 一、填空题 ‎1.函数（）的最小正周期是，则 . ‎ ‎2.若集合，，则 . ‎ ‎3.方程的解 . ‎ ‎4.已知幂函数存在反函数，若其反函数的图像经过点，则该幂函数的解析式= . ‎ ‎5.函数的图像向左平移单位后为奇函数，则的最小正值为 .‎ ‎6.若集合满足，则下列结论：①；②；③；④中一定成立的有 .（填写你认为正确的命题序号）‎ ‎7.已知偶函数在区间单调递增，若关于的不等式的的取值范围是 . ‎ ‎8.当时，如果关于的不等式恒成立，那么的取值范围是 .‎ ‎9.若函数，则图像上关于原点对称的点共有 对．‎ ‎10.已知都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是 . ‎ ‎11.对于实数，定义为不小于实数的最小整数，如，，.若，则方程的根为 . ‎ ‎12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 . ‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13.函数的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图像都不能与函数的图像重合，则函数可以是 （ ）‎ A． 　 B． 　 C． 　 D． ‎ ‎14.中“”是“其为等腰三角形”的 （ ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎15.已知实数,对于定义在R上的函数,有下述命题：‎ ‎①“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；‎ ‎②“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；‎ ‎③“是的一个周期”的充要条件是“对任意的,都有”；‎ ‎④ “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．③④‎ ‎16.存在函数满足，对任意都有（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）若不等式的解集是，求与的值；‎ ‎（2）若，求同时满足下列条件的的取值范围.‎ ‎①对任意的都有恒成立；‎ ‎②存在实数，使得 成立. ‎ ‎18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. ‎ ‎ 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是．‎ ‎（1）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；‎ ‎（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值． ‎ ‎20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ 已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根（）称为的特征根.‎ ‎（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）求的表达式；‎ ‎（3）把函数，的最大值记作，最小值记作.‎ 令，若恒成立，求的取值范围. ‎ ‎21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和.‎ 记.‎ ‎（1）当时，若，，求和的值；‎ ‎（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；‎ ‎（3）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.‎ 上海市进才中学2020届高三数学第一次月考试卷 ‎ 一、填空题 ‎1.函数（）的最小正周期是，则 2 .‎ ‎【解析】： ‎ ‎2.若集合，，则.‎ ‎【解析】： ‎ ‎3.方程的解 2 .‎ ‎【解析】：‎ ‎4.已知幂函数存在反函数，若其反函数的图像经过点，则该幂函数的解析式=.‎ ‎【解析】：‎ ‎5.函数的图像向左平移单位后为奇函数，则的最小正值为 .‎ ‎【解析】：‎ ‎6.若集合满足，则下列结论：①；②；③；④中一定成立的有 ① .（填写你认为正确的命题序号）‎ ‎【解析】：‎ ‎7.已知偶函数在区间单调递增，若关于的不等式的 的取值范围是.‎ ‎【解析】：‎ ‎8.当时，如果关于的不等式恒成立，那么的取值范围是.‎ ‎【解析】： ‎ 或图像法 成立 ‎9.若函数，则图像上关于原点对称的点共有 4对． ‎ ‎10.已知都是实数，若函数的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集合是.‎ ‎【解析】： 能取到 或图像法 ‎ ‎11.对于实数，定义为不小于实数的最小整数，如，，.若，则方程的根为.‎ ‎【解析】：‎ ‎12.已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 . ‎ ‎【解析】： 递减 ‎ ‎ ‎ ‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确.考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13.函数的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折，函数的图像都不能与函数的图像重合，则函数可以是 （ D ）‎ A． 　 B． 　 C． 　 D． ‎ ‎【解析】：压缩了 ‎14.中“”是“其为等腰三角形”的 （ D ）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】：压缩了 ‎15.已知实数,对于定义在R上的函数,有下述命题：‎ ‎①“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”；‎ ‎②“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”；‎ ‎③“是的一个周期”的充要条件是“对任意的,都有”；‎ ‎④ “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“”‎ 其中正确命题的序号是（ A ）‎ A．①② B．②③ C．①④ D．③④‎ ‎【解析】：‎ ‎16.存在函数满足，对任意都有（ D ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎【解析】：‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）若不等式的解集是，求与的值；‎ ‎（2）若，求同时满足下列条件的的取值范围.‎ ‎①对任意的都有恒成立；‎ ‎②存在实数，使得成立. 【解析】：（1）；（2）.‎ ‎18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知函数的图像过点，且函数图像又关于原点对称.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】：（1）依题意，函数的图象过点和. ‎ 所以，故. ‎ ‎（2）不等式可化为. ‎ 即对一切的恒成立. ‎ ‎ 因为，当且仅当时等号成立，所以. ‎ ‎ 19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知分别在射线（不含端点）上运动，，在中，角、、所对的边分别是．‎ ‎（1）若依次成等差数列，且公差为2．求的值；‎ ‎（2）若，，试用表示的周长，并求周长的最大值．‎ ‎【解析】：（1）成等差，且公差为2，、. 又，，‎ ‎， 恒等变形得 ，解得或.又，‎ ‎（2）在中，‎ ‎，‎ ‎ ，，. ‎ 的周长 ‎ ‎，又，, ‎ ‎ 当即时，取得最大值． ‎ ‎20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ 已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根（）称为的特征根.‎ ‎（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）求的表达式；‎ ‎（3）把函数，的最大值记作，最小值记作.‎ 令，若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【解析】：（1）时，是奇函数；时，是非奇非偶函数.‎ 证明：当时，，故是奇函数；‎ 当时，举反例说明.‎ ‎（2），由，所以方程必有两个不等实根.‎ ‎，，‎ ‎ .‎ ‎（3）首先证明函数在上是单调递增函数.‎ 设任意的满足，‎ ‎，‎ 因为，‎ 所以，故在内单调递增，‎ 可得，，‎ 恒成立恒成立 所以，‎ ‎【说明】单调性不证明，只是说明单调性不扣分.不说明单调性直接给出结论扣2分.‎ ‎21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和.‎ 记.‎ ‎（1）当时，若，，求和的值；‎ ‎（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；‎ ‎（3）给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.‎ ‎【解析】：（1），，，；‎ ‎（2）设，，则，‎ 由题意知，，且为奇数，‎ 所以，中1的个数为1或3，‎ 所以，，‎ 将上述集合中的元素分成如下四组：‎ ‎；；；，‎ 经验证，对于每组中两个元素，均有，所以每组中的两个元素不可能同时是集合是集合的元素，所以集合中元素的个数不超过4，‎ 又集合满足条件，所以集合中元素个数的最大值为4.‎ ‎（3）设，‎ ‎，则，‎ 对于中的不同元素，经验证，，‎ 所以，中的两个元素不可能同时是集合的元素，‎ 所以，中元素的个数不超过，‎ 取且（）.‎ 令，则集合的元素个数为，且满足条件.‎ 故是一个满足条件且元素个数最多的集合.‎