【推荐】专题10+解密函数中的恒成立与能成立问题-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练（选修1-1）x

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一、选择题 ‎1．【四川省成都外国语学校2017-2018学年高一上学期期中】若函数有零点,则实数的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【方法点睛】本题主要考查函数的零点、利用导数求函数的最值，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .‎ ‎2．【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中】已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及利用导数研究函数的单调性，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ ‎3．【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三期中考】若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，‎ ‎∴。‎ ‎∵函数在单调递增，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立。‎ 令，则，‎ ‎∴当时， 单调递增，‎ 当时， 单调递减。‎ ‎∴。‎ ‎∴。选C。‎ 点睛：函数的单调性与导函数的关系 ‎（1）若在内，则在上单调递增（减）．‎ ‎（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．‎ ‎（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．‎ ‎4．【云南省昆明市高新技术开发区2018届高考适应性月考】设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时， ，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎5．【山东省桓台第二中学2018届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的（ ）‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当时， ，令，当函数在区间内单调递减时，只需在区间恒成立，故即可，所以选B 二、解答题 ‎6．【上海市复旦大学附属中学2017届高三上学期第一次月考】已知函数；‎ ‎（1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值；‎ ‎（2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在；‎ ‎【解析】试题分析：（1）方程在上有解，等价于有解，只需求的最大值即可；（2）假设存在，可推导出矛盾，即可证明不存在.‎ ‎7．【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟】已知函数 为常数， .‎ ‎（1）当 在 处取得极值时，若关于的方程 在 ‎ 上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.‎ ‎（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）的取值范围是 ‎【解析】试题分析：（1）对函数，令，可得的值，利用导数研究的单调性，然后求得的最值，即可得到的取值范围；（2）利用导数求出在上的最大值，则问题等价于对对任意，不等式成立，然后构造新函数，再对求导，然后讨论，得出的单调性，即可求出的取值范围.‎ 所以在上单调递增，所以 问题等价于对任意，不等式成立 设，‎ 则 当时，，所以在区间上单调递减，此时 所以不可能使恒成立，故必有，因为 若，可知在区间上单调递增，在此区间上有满足要求 若，可知在区间上递减，在此区间上有，与恒成立相矛盾，所以实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.‎ ‎8．【甘肃省会宁县第一中学2018届高三上学期第三次月考】设函数，其中为实数．若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： 在上是单调减函数等价于在上恒成立，利用分离参数可得的范围，对进行求导， ，将导函数的零点和1进行比较，可分为和两种情形，通过导数判断单调性.‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用之导数与单调性的关系，导数与最值的关系，属于基础题；函数在某区间内单调递减等价于该函数的导数在该区间内小于等于0恒成立，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎9．【河南省郑州市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；‎ ‎（3）证明： .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数求导得，对进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得， 时， 在上是增函数，而， 不成立，故，由（1）可得，即可求出的取值范围；（3）由（2）知，当时，有在恒成立，即，进而换元可得，所以，即可得证.‎ ‎（2）由（1）知， 时， 不可能成立；‎ 若， 恒成立， ，得 综上， .‎ ‎（3）由（2）知，当时，有在上恒成立，即 令，得，即 ‎ ，得证. ‎ 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.‎ ‎10．【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2018届高三10月月考】已知函数.‎ ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导在x＞0上恒成立即可．‎ ‎（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数图象与x轴的交点的问题．‎ ‎， ， ，‎ ‎ ，得则.‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎11．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知函数，函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，求证不等式.‎ ‎【答案】(1) g(x)的增区间，减区间;(2) ;(3)见解析.‎ ‎（Ⅱ） 即在上恒成立 ‎ 设，考虑到 ‎，在上为增函数， ，‎ ‎ 当时， ， 在上为增函数， 恒成立 ‎ 当时， ， 在上为增函数 ‎，在上， ， 递减，‎ ‎，这时不合题意， 综上所述， ‎ 点睛：这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。‎ ‎12．【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知函数， ．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数在区间内单调递减，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：(1)求导，对k分类讨论，得到函数的单调区间；（2）函数在区间内单调递减，即不等式在在上成立，利用二次函数的图象与性质，易得的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为.‎ ‎,‎ ‎（1）当时，令，解得，此时函数为单调递增函数；‎ 令，解得，此时函数为单调递减函数. ‎ 综上所述，‎ 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为， ，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为， ,单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ），‎ 因为函数在内单调递减，所以不等式在在上成立.‎ 设，则即解得.‎ ‎13．【江西省南昌市南昌县莲塘一中2018届直升班周末练试卷】已知函数，其中.‎ ‎（1）设是的导函数，求函数的极值；‎ ‎（2）是否存在常数，使得时， 恒成立，且有唯一解，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）极大值为，没有极小值；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，求得，（ ）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数的极值；（2）由（1）可知：必然存在，使得在 单增， 单减，且，求得的表达式，存在使得，代入即可求得，即可求得的值．‎ ‎ ‎ 将①式带入知： ‎ 得到 ，从而. ‎ 点睛：本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，不等式恒成立，考查转化思想，任意时， 恒成立，且有唯一解，转化为找实数 ‎ 使得 .‎ ‎14．【四川省宜宾市高2018届高三（上）半期】已知函数的图象经过点，且在取得极值．‎ ‎（I）求实数的值；‎ ‎（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析:(1) 的图象经过点， ;即,解方程组得出a,b的值;(2)由题意可得, ,即和是函数的极值点, 函数在区间上不单调,则解出m的范围即可.‎ ‎（2）由得： ‎ 令 ‎ 当 当 ‎ ‎∵函数在区间上不单调 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15．【重庆市第一中学2018届高三上学期期中】已知函数.‎ ‎（1）若有三个极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明： .‎ ‎【答案】(1) 的取值范围为；(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）若有三个极值点，只需应有两个既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.变量分离，转化为函数最值问题. ‎ 而时， ， 时， ，‎ 要有两根，只需，由 ‎ ‎ ，又由，‎ 反之，若且时，则， 的两根中，一个大于，另一个小于.‎ 在定义域中，连同， 共有三个相异实根，且在三根的左右， 正负异号，它们是的三个极值点.‎ 综上， 的取值范围为.‎ 只需证明 ，显然成立.‎ 下证： ， ， ， ，‎ 先证： ， ，‎ ‎， .‎ 令， ，‎ ‎， ， ，∴在上单增，‎ ‎∴，∴在上单增，∴，∴在上单增，‎ ‎∴，即证.‎ 要证： ， .‎ 只需证， ‎ ‎ ， ‎ 而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.‎ 点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点。第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a满足的表达式，再求这个表达式的范围。‎ ‎16．【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考】已知函数 ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1） 的增区间为，无减区间；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）给定函数表达式研究函数的单调区间，直接求导g（x）=f′（x）=2（ex﹣x﹣1），研究导函数的正负即可；（2）恒成立求参的问题，变量分离，让左端小于等于右端的最小值即可，而右端的最值是通过求导研究函数单调性得到的。‎ 点睛：此题考查了函数的单调性，单调区间的求法：对于复杂函数一般是求导研究导函数的正负；还考查到了不等式恒成立求参的问题，常用方法是变量分离转化为求函数最值的题；还有可以直接转化为函数最值的问题，含参讨论即可。‎ ‎17．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）如果，在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时， 的单调递增区间为；当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ） ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，分别计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可； （Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）如果在上恒成立，即在恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可 ‎②当时， ，得，‎ 在区间上， ，‎ 在区间上， ，‎ 所以的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为； ‎ 点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答（Ⅲ）的关键.‎ ‎18．设命题 ， . 命题 ， . 如果命题“∨”为真命题，“∧”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：（1）对于命题p只需求解函数的最大值即可，q命题则需求函数的最小值，然后根据命题“∨”为真命题，“∧”为假命题，按一真一假讨论即可 试题解析：‎ 设，得， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎ ‎ 有最大值；最小值 ‎ 则命题成立得 ；命题成立得 ‎ 由命题“∨”为真命题，“∧”为假命题。则一真一假 若真假，则 ；若真假，则 所以，实数的取值范围为 ‎ ‎19．已知函数 (m,n∈R)在x=1处取得极值2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)k为何值时，方程f(x)-k=0只有1个根 ‎(3)设函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）k=或0；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由已知函数求其导数，再根据函数 在 处取得极值 ，列出关于 的方程即可求得函数的解析式；（2）利用导数研究函数 的单调性，数形结合可得方程f(x)-k=0只有1个根时的 值；（3）函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，等价于当时， ，求出，结合换元法，分离参数后，利用基本不等式求解.‎ ‎（2），令，得.‎ 当变化时， 的变化情况如下表：‎ 所以f(x)在处取得极小值，在处取得极大值，‎ 又时， ，所以的最小值为， ‎ 如图 ‎ 所以k=或0时，方程有一个根. ‎ ‎(也可直接用方程来判断根的情况解决)‎ ‎【方法点晴】本题主要考查不等式有解问题、方程根的个数问题以及函数极值问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）,本题（3）就用了这种方法.‎ ‎20．【江西省赣州市南康区第三中学2018届高三上学期第三次大考】已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，证明：且.‎ ‎【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，令和，求得函数单调区间（2）构造函数令，求导后分类讨论，利用单调性证明。‎ 所以关于的不等式不能恒成立，‎ 因此，.‎ 当时，，‎ 令，得，所以当时，；当时，，‎ 因此函数在上是增函数，在上是递减函数.‎ 故函数的最大值为，‎ 即.‎ 点睛：关于含参量恒成立问题有两种方法，分离含参量和带参量计算，本题构造新函数，带有参量一起求导，判定新函数的单调性，求得最大值时恒小于或等于零，即可证得结论。‎ ‎21．【河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考】已知函数， 且.‎ ‎（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）函数单调递增转化为导数恒为正值，分类讨论求即可；（2）分离参数，转化为求函数的最值，利用导数即可求出最值。‎ 综上）‎ ‎（2）∵存在，使不等式成立，‎ ‎∴存在，使成立.‎ 令，从而，‎ ‎.‎ 由（1）知当时， 在上递增，∴.‎ ‎∴在上恒成立.‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎∴，∴.‎ 实数的取值范围为.‎ 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎