2017-2018学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学理试题（Word版）

2017-2018学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学理试题（Word版）

天津一中 2017-2018-1 高二年级期末质量检测 数学(理科) 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.“ ”是“方程 表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列说法正确的个数是( ) ①“若 ，则 中至少有一个不小于 2“的逆命题是真命题 ②命题“设 ，若 ，则 或 ”是一个真命题 ③“ ， ”的否定是“ ， ” ④ 是 的一个必要不充分条件 A.0 B.1 C.2 D.3 3.抛物线 的准线方程是 ，则 的值是( ) A.4 B. C.2 D. 4.已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛 物线 的准线上，则双曲线的方程是( ) A. B. C. D. 5.若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则 与曲线 的公共点个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.1 个或 2 个 D.1 个或 0 个 6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正 方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯 形的面积之和为( ) 3 5m- < < 2 2 15 3 x y m m+ =- + 4a b+ ³ ,a b ,a b RÎ 6a b+ ¹ 3a¹ 3b¹ 0x R$ Î 2 0 0 0x x- < x R" Î 2 0x x- > 1a b+ > a b> 2y ax= 1y = - a 1 4 1 2 ( ) 2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b- = > > ( )2, 3 2 4 7y x= 2 2 121 28 x y- = 2 2 128 21 x y- = 2 2 13 4 x y- = 2 2 14 3 x y- = l 2 2 4x y+ = 2 3 l 2 2 13 x y+ = A.10 B.12 C.14 D.16 7.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交 点，若 ，则 ( ) A. B.3 C. D.2 8.已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上 且满足 ，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则双曲线的 离心率为( ) A. B. C. D. 9.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆 上恰有 6 个不同的 点使得 为等腰三角形，则椭圆的离心率 的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.已知抛物线 的焦点为 ，设 ， 是抛物线上的两个动点，如满 足 ，则 的最大值是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 11.双曲线 的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 的焦点重合， 则 的值为 . 12.给定两个命题， ：对任意实数 都有 恒成立； ：方程 表 示双曲线.如果 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围是 . 13.若双曲线 的左、右焦点是 ，过 的直线交左支于 两点，若 2: 8C y x= F l P l Q PF C 4FP FQ=  QF = 7 2 5 2 A 2 4x y= B P PA m PB= m P ,A B 2 1+ 5 1- 2 1 2 + 5 1 2 - ( ) 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b+ = > > 1 2,F F C 1 2F F P△ e 1 2,3 3 æ öç ÷ç ÷è ø 1 ,12 æ öç ÷ç ÷è ø 2 ,13 æ öç ÷ç ÷è ø 1 1 1, ,13 2 2 æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø 2 4x y= F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 32 3y y AB+ + = AFB∠ 3 p 2 3 p 3 4 p 5 6 p ( ) 2 2 1 0, 0x y m nm n- = > > 2 4y mx= n P x 2 1 0ax ax+ + > Q 2 2 13 x y a a+ =- P QÚ P QÙ a 2 24 4x y- = 1 2,F F 1F ,A B ，则 的周长是 . 14.曲线 的极坐标方程 ，曲线 的参数方程为 ，以极点为原点， 极轴为 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线 上的点与曲线 上的点最近的距离为 . 15.已知椭圆 的半焦距为 ，左焦点为 ，右顶点为 ，抛物线 与椭圆交于 两点，若四边形 为菱形，则椭圆的离心率是. 16.已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点 ， 为原点，点 是抛物线上一动 点，点 在抛物线上，且 ，则 的最小值为 . 三、解答题 （本大题共 4 小题，共 46 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17.如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ， ， 是 中点. (1)证明：直线 平面 ； (2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦 值. 18.已知点 分别是椭圆 的左右顶点， 为其右焦点， 与 的等比中项是 ，椭圆的离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设不过原点 的直线 与该轨迹交于 两点，若直线 的斜率依次成等比数 列，求 的面积的取值范围. 19.已知抛物线 的焦点为 ，平行于 轴的两条直线 分别交 于 两点， 交 的准线于 两点. (1)若 在线段 上， 是 的中点，证明： ； (2)若 的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程. 20.已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆长、短轴的四个端点为顶点为四 5AB = 2AF B△ 1C 2cos sinr q q= 2C 3 1 x t y t ì = -ïí = -ïî x 1C 2C ( ) 2 2 2 2 1 0x y a ba b+ = > > ( )0c c > F A ( )2 15 8y a c x= + ,B C ABFC 2 2 15 y x+ = 2x ay= F O P A 4AF = PA PO+ P ABCD- PAD ABCD 1 2AB BC AD= = 90BAD ABC= =∠ ∠ ° E PD CE∥ PAB M PC BM ABCD 45° M AB D- - ,M N ( ) 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b+ = > > F MF FN 3 1 2 C O l ,A B , ,OA AB OB OAB△ 2: 2C y x= F x 1 2,l l C ,A B C ,P Q F AB R PQ AR FQ∥ PQF△ ABF△ AB ( ) 2 2 2 2: 1 0x yC a ba b+ = > > 1 2 边形的面积为 . (1)求椭圆 的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 和 ，当动点 在定直线 上运动时，直 线 ， 分别交椭圆于两点 和 ，求四边形 面积的最大值. 4 3 C A B M 4x = AM BM P Q APBQ 天津一中 2017-2018-1 高二年级数学(理科)期末质量检测 参考答案 一、选择题 1-5:BCBDC 6-10:BBADB 二、填空题 11.12 12. 或 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：(1)取 的中点 ，连结 ， 因为 是 中点，所以 ， ，由 ， 得 ，又 ，所以 ， ，四边形 为平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ，故 平面 . (2)由已知得 ，以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立 如图所示的空间直角坐标系 . 则 ， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， 0a = 3 4a£ < 18 7 2 8 1 2 2 13 PA F ,EF BF E PD EF AD∥ 1 2EF AD= 90BAD ABC= =∠ ∠ ° BC AD∥ 1 2BC AD= EF BC∥ EF BC= BCEF CE BF∥ BF Ì PAB CE Ë PAB CE∥ PAB BA AD^ A AB x AB A xyz- ( )0,0,0A ( )1,0,0B ( )1,1,0C ( )0,1, 3P ( )1,0, 3PC = - ( )1,0,0AB = ( ), ,M x y z ( )0 1x< < ( )1, ,BM x y z= - ( ), 1, 3PM x y z= - - 因为 与底面 所成的角为 ，而 是底面 的法向量， 所以 ， ， 即 .① 又 在棱 上，设 ，则 ， ， ，② 由①，②得 ， . 所以 ，从而 ， 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 所以可取 ，于是 ， 因此二面角 的余弦值为 . 18.解：(1) ， ， 是 与 的等比中项， ∴ ， ∴ ，又 ，解得 ， ∴椭圆 的方程为 . (2)由题意可知，直线 的斜率存在且不为 0， 故可设直线 ， ， ， 联立直线和椭圆 ，消去 得， ， BM ABCD 45° ( )0,0,1n = ABCD cos , sin 45BM n< > =  ° ( )2 2 2 2 21 z x y z = - + + ( )2 2 21 0x y z- + - = M PC PM PCl=  x l= 1y = 3 3z l= - 21 2 1( ) 6 2 x y z éê = +êêê =êêê = -êë 舍 21 2 1 6 2 x y z ìï = -ïïï =íïï =ïïî 2 61 ,1,2 2M æ öç ÷-ç ÷è ø 2 61 ,1,2 2AM æ öç ÷= -ç ÷è ø  ( )0 0 0, ,m x y z= ABM 0 0 m AM m AB ì × =ïíï × =î     ( ) 0 0 0 0 2 2 2 6 0 0 x y z x ì - + + =ïíï =î ( )0, 6,2m = - 10cos , 5 m nm n m n ×< >= =      M AB D- - 10 5 MF a c= + BN a c= - 3 MF FN ( )( ) 3a c a c+ - = 2 2 2 3b a c= - = 1 2 ce a= = 2, 1a c= = C 2 2 14 3 x y+ = l ( ): 0l y kx m m= + ¹ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 23 4 12 0x y y kx m ì + - =ïí = +ïî y ( )2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m+ + + - = 由题意可知， ， 即 ， 且 ， ， 又直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，所以 ， 将 ， 代入并整理得 ， 因为 ， ， ，且 ， 设 为点 到直线 的距离，则有 ， ， 所以 ， 所以三角形面积的取值范围为 . 19.解：(1)由于 在线段 上，故 ， 记 的斜率为 ， 的斜率为 ，则 ， 所以 . (2)设 与 轴的交点为 ， 则 ， ， 由题设得 ，所以 (舍)， . 设满足条件的 的中点为 ， 当 与 轴不垂直时，由 可得 ， 而 ，所以 ， 当 与 轴垂直时， 与 重合， 所以，所求轨迹方程为 . 20.解：(1)由题设知， ， ， ( )( ) ( )2 2 2 264 4 4 3 4 12 48 4 3 0km k m k mD= - + - = - + > 2 24 3k m+ > 1 2 2 8 3 4 kmx x k+ = - + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k -= + OA AB OB 21 2 1 2 y y kx x× = 1y 2y ( )2 24 3 0m k - = 0m¹ 3 2k =± 20 6m< < 2 3m ¹ d O l 2 7 md = 2 2 1 2 71 18 33AB k x x m= + - = - ( )2 21 1 3 6 32 3OABS AB d m m= = - <△ ( )0, 3 F AB 1 0ab+ = AR 1k FQ 2k 1 22 2 1 1 a b a b abk b ka a ab a a - - -= = = = = - =+ - AR FQ∥ l x ( )1,0D x 1 1 1 1 2 2 2ABFS b a FD b a x= - = - -△ 2PQF b aS -=△ 1 1 1 2 2 2 a bb a x -- - = 1 0x = 1 1x = AB ( ),E x y AB x AB DEk k= ( )2 11 y xa b x= ¹+ - 2 a b y+ = ( )2 1 1y x x= - ¹ AB x E D 2 1y x= - 2a c= 2 4 3ab = 又 ，解得 ， 故椭圆 的方程为 . (2)由于对称性，可令点 ，其中 ， 将直线 的方程 代入椭圆方程 ， 得 ， 由 ， 得 ， 则 ， 再将直线 的方程 代入椭圆方程 ， 得 ， 由 ， 得 ，则 ， 故四边形 的面积为 ， 由于 ，且 在 上单调递增，故 ， 从而，有 ，当且仅当 ，即 ，也就是点 的坐标为 时， 四边形 的面积取最大值 6. 2 2 2a b c= + 2, 3, 1a b c= = = C 2 2 14 3 x y+ = ( )4,M t 0t > AM ( )26 ty x= + 2 2 14 3 x y+ = ( )2 2 2 227 4 4 108 0t x t x t+ + + - = 2 2 4 108 27A P tx x t -× = + 2Ax = - 2 2 54 2 27P tx t -= + 2 18 27P ty t= + BM ( )22 ty x= - 2 2 14 3 x y+ = ( )2 2 2 23 4 4 12 0t x t x t+ - - - = 2 2 4 12 3B Q tx x t -× = + 2Bx = 2 2 2 6 3Q tx t -= + 2 6 3Q ty t= - + APBQ 2 2 1 18 62 22 27 3P Q P Q t tS AB y y y y t t æ öç ÷= × - = - = +ç ÷+ +è ø ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 48 9 48 9 48 9 1227 3 9 12 9 t t t t t tt t t t t t + + = = = ++ + + + + + 29= 6t tl + ³ 12l l+ [ )6,+¥ 12 8l l+ ³ 48 612S l l = £ + 6l = 3t = M ( )4,3 APBQ