2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期入学考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期入学考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期入学考试理科数学试题 说明：1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 ‎120 分钟．‎ ‎2．将第 I 卷的答案代表字母和第 II 卷的答案填在答题表（答题卡）中．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．不等式 x 2 + x - 2 ³ 0 的解集是（ ）‎ A．{x | x £ -2 或 x ³ 1}‎ ‎B．{x | x ³ 1}‎ ‎C．{x | x £ -2}‎ ‎D．{x | -2 £ x £ 1}‎ ‎2．如果命题 p 是假命题，命题 q 是真命题，则下列错误的是（ ）‎ A．“ Øq ”是真命题 B．“p∨q”是真命题 C．“ Øp ”是真命题 D．“ p∧q”是假命题 ‎3．命题“ "x Î R ， e x > x2 ”的否定是（ ）‎ A．不存在 x Î R ，使 e x > x2‎ ‎B． $x0‎ ‎Î R ，使 ex0 < x2‎ C． $x0 Î R ，使 e ‎x0 £ x2‎ ‎D． "x Î R ，使 e x ‎£ x2‎ ‎4．“ 2 < m < 5 ”是“方程表示椭圆”的( )‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知等比数列{an }中， a1 = a8 = 3 ，则其前 n 项和 Sn 为 ( )‎ ‎3‎ A． (3n - 1) ‎2‎ ‎‎ B． n 2‎ ‎‎ C． 3n ‎‎ D． 3n ‎6．已知向量 a = (1, 0, -1) ，则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( )‎ ‎ A． (-1,1, 0) B． (1, -1, 0) C． (0, -1,1) D． (-1, 0,1) ‎ ‎ ‎ ‎7．若x, y满足, 则 2x+ y的最大值为( )‎ A．0 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．DABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ．已知 sin B + sin A(sin C - cos C ) = 0 ，‎ a = 2, c = ，则 C = ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎9．若双曲线的一条渐近线方程为 y =，它的一个顶点到较近焦点的距 离为 1，则双曲线的方程为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．海洋中有 A, B, C 三座灯塔．其中 A, B 之间距离为 a ，在 A 处观察 B ，其方向是南 偏东 40o ，观察 C ，其方向是南偏东 70o ，在 B 处現察 C ，其方向是北偏东 65o ，B, C 之间的距离是 ( )‎ A． a B．a C． a D．a ‎11．已知 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点．若 M 为椭圆上的一点，且DMF1 F2‎ 的内切圆的周长等于 3p，则满足条件的点 M 的个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎12．已知 x > 0 ， y > 0 ，且 x + 2 y - xy = 0 ，若 x + 2 y > m2 + 2m 恒成立，则实数 m 的 取值范围（ ）‎ A． (- ¥,-2]È [4,+¥) ‎‎ B． (- ¥,-4]È [2,+¥) ‎‎ C． (- 2,4) ‎‎ D． (- 4,2) 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．‎ ‎13．已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ，过其焦点且斜率为 -1 的直线交抛物线于 A、‎ B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 -2 ，则 p = ．‎ ‎1‎ ‎14．数列{an } 满足 an +1 = ‎‎ ‎1 - an ‎, a8 = 2 ，则 a1 = ．‎ ‎15 ． 已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 的 平 面 外 一 点 ， 如 果 AB=(2, -1, -4) ，‎ AD = (4, 2, 0) ， AP = (-1, 2, -1) ．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③ AP 是平面 ABCD 的法向量；④ AP// BD ．其中正确的个数是 ．‎ ‎16．已知函数 f ( x ) = {‎ 是 ．‎ ‎‎ x , x > 0‎ x2 - 4x, x £ 0‎ ‎‎ ‎，若 f ( x ) ³ ax -1 恒成立，则实数 a 的取值范围 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分 10 分)‎ 已知等差数列 {an }的前 n 项和为 Sn ， 且满足 a3 = 6 ， S11 = 132‎ ‎（Ⅰ）求 {an }的通项公式；‎ ì 1 ü ‎（Ⅱ）求数列 í ‎ý 的前 n 项和Tn ．‎ î Sn þ ‎18．（本小题满分 12 分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 已知曲线 C 的极坐标方程为rsin2 q = 2a cosq (a > 0) ，过点 P(-2, -4) 的直线 l 的参数方程为（ t 为参数），直线l 与曲线 C 相交于 A, B 两点．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若| PA | × | PB |=| AB |2 ，求 a 的值．‎ ‎19．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PAD ^ 底面 ABCD ， AB = ‎2 ， AD = 2 ， PA = PD = 2 ．‎ ‎（Ⅰ）求证： PB ^ AC ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角 A - PB - C 的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分 12 分）‎ 在 DABC 中，角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ，‎ cos A ‎cos B ‎sin C 且 + = ．‎ a b c ‎（I）证明： sin Asin B = sin C ；‎ ‎（II）若 b2 + c2 - a2 = 6 bc ，求 tan B ．‎ ‎5‎ ‎21．（本小题满分 12 分）‎ 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千．件．，需另投入成本为 C( x) ，当年 产 量 不 足 80 千 件 时 ， C ( x ) = 1 x 2 + 10 x （ 万 元 ）． 当 年 产量 不 小 于 80 千 件 时 ，‎ ‎3‎ C ( x ) = 51 x + 10000‎ x ‎‎ - 1450 （万元），每．件．商品售价为 0．05 万元，通过市场分析，该 厂生产的商品能全部售完．‎ ‎（Ⅰ）写出年利润 L(x) （万元）关于年产量 x （千．件．）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）年产量为多少千．件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？‎ ‎22．（本小题满分 12 分）‎ 已知椭圆 C : ，直线 l : x + y - 2 = 0 与椭圆 C 相交于 P ，Q 两点，与 x 轴 交于点 B ，点 P, Q 与点 B 不重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；‎ ‎（Ⅱ）当 SDOPQ = 2 时，求椭圆 C 的方程；‎ ‎（Ⅲ）过原点 O 作直线 l 的垂线，垂足为 N . 若 PN= l BQ ，求l 的值．‎