数学（理）卷·2019届吉林省长春市十一高中等九校高二下学期期初考试（2018-03）

数学（理）卷·2019届吉林省长春市十一高中等九校高二下学期期初考试（2018-03）

长春市第九教育联盟2017-2018学年度高二下学期期初考试 ‎ 数学（理科）试题 ‎ 第Ⅰ卷（共 60 分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的.‎ ‎1．若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．命题“”是命题“直线与直线平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎5．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为( )‎ A. B. 1 C. 0 D. 不存在 ‎6．已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A.64 B. 32 ‎ C. 96 D. 48‎ 8． 将5个不同的球放入4个不同的盒 子中，每个盒子至少放一个球，则 不同放法共有（ ）种 A.480 B.360 ‎ ‎ C.240 D.120‎ ‎9．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则2人在不同层离开的概率是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”;乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”,四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是 ( )‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎11.已知抛物线： 经过点，过焦点的直线与抛物线交于， 两点， ，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.若函数与的图像有两个不同交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 第 Ⅱ卷（共 90 分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知，则=_____．‎ ‎14．若直线l:与抛物线:相切于点，则以点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的标准方程为_______________．‎ ‎15．已知函数在处取得极大值，则的值为___.‎ ‎16．在三棱锥中，正三角形中心为，边长为， 面，垂足为的中点， 与平面所成的角为45°.若三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为__________．‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分，解答时要写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤 ‎17．（本题满分12分）已知二项式 的展开式.‎ ‎(1)求展开式中含项的系数；‎ ‎(2)如果第项和第项的二项式系数相等，求的值．‎ ‎18．（本题满分12分）某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[50， 60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示：‎ （1） 试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；‎ ‎ ‎ ‎（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在 [70，80），[80，90），[90，100]这三组分别抽取了多少人？‎ ‎（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．‎ ‎ ‎ ‎19．（本题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.‎ ‎（1）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；‎ ‎（3）求点C到平面的距离.‎ ‎ ‎ ‎20．（本题满分12分）椭圆离心率为，，是椭圆的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的交点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎ (2)设椭圆的下顶点为，直线与椭圆交于两个不同的点，是否存在实数使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当 时，若函数 有两个极值点,求 的最大值.‎ ‎22．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数， ），以原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线与的直角坐标方程；‎ ‎（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 长春市第九教育联盟第一学程高二数学（理科）参考答案 选择题 B 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．A 8．C9．A 10．C 11．B 12．C 二、填空题 ‎13．180 14． 15． 16．‎ ‎ 三、解答题 ‎17．解：(1)设第k＋1项为Tk＋1＝————————————2分 令10－k＝4，解得k＝4，‎ 故展开式中含x4项的系数为3 360. ———————— ————6分 ‎(2)∵第3r项的二项式系数为，第r＋2项的二项式系数为，‎ ‎∵ ＝，故3r－1＝r＋1或3r－1＋r＋1＝10，‎ 解得r＝1或r＝2.5(不合题意，舍去)，∴r＝1. ———————— ——12分 ‎18．解：（1）由频率分布直方图得：众数为：=65．‎ 成绩在[50，70）内的频率为：（0.005+0.035）×10=0.4，‎ 成绩在[70，80）内的频率为：0.03×10=0.3，‎ ‎∴中位数为：70+×10≈73.3．——————————————————4分 ‎（2）成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，‎ ‎∴[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．‎ ‎————————————————8分 ‎（3）由（2）知抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种，‎ 记“成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q，‎ 则事件Q包含的基本事件有18种，‎ ‎∴成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率 P（Q）=． ———————————————————————12分 解：（1）因为为正方形，所以.‎ 因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C ，‎ 所以⊥平面ABC. ——————————————————————4分 ‎（2）由（1）知， ⊥AC, ⊥AB.‎ 由题意知，所以.‎ 如图，以A为原点建立空间直角坐标系,‎ 则.‎ 设平面的法向量为，则即 令，则，所以.‎ 同理可得，平面的法向量为.‎ 所以.‎ 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. ————8分 ‎ ‎ ‎（3）由（2）知平面的法向量为， ‎ 所以点C到平面距离. ————————————12分 解：（1）由题意可得， ‎ 解得， 所以， ‎ 所以椭圆的方程为；———————— ———————— ——4分 ‎ ‎（2）由题意知，‎ 联立方程，整理得 ， ‎ ‎（化简可得），①‎ 设，则，‎ ‎, ———— —— ——6分 ‎ 设中点为，由，‎ 知，‎ 所以点的坐标为， ‎ 因为，所以，‎ 又直线斜率均存在，所以.—— ————————8分 于是 ， ‎ ‎ 解得，即， —————————— —— ———— ——10分 ‎ 将代入①，均满足．‎ 故存在，使得以为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．————12分 ‎ 解：（1）由已知得, ‎ 当时，，在内单调递减.—————————————1分 当时，若，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减. —— ——3分 ‎ ‎（2）令，由 当时，，在内单调递减，则有 ，符合题意. ‎ 当时，，得，当，有，若，有，则在上内单调递增，在内单调递减.又，‎ 因此，即 ；‎ 综上实数的取值范围为. —————————————————7分 ‎（3），则，‎ 由已知，可得，即方程有2个不相等的实数根，‎ 则， 解得 ，其中,‎ 而 ‎ ——————9分 由可得，又，所以, ‎ 设， ‎ ‎，由，则，故 所以在单调递增， ‎ 当时，取得最大值，最大值为. —— ——————12分 ‎22．解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数， ），‎ ‎∴曲线的普通方程为： （， ），‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为． —— ————5分 ‎（2）∵曲线的普通方程为： （， ）为半圆弧，由曲线于有两个公共点，则当与相切时，得，整理得，∴或（舍去），‎ 当过点时， ，所以t=-1.‎ ‎∴当与有两个公共点时， ． ——————10分 ‎ ‎ ‎ ‎