专题52 反证法在证明题中的应用-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题52 反证法在证明题中的应用-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 证明“至多”或“至少”问题 使用情景：证明“至多”或“至少”问题．‎ 解题模板：第一步 首先假设命题不成立；‎ 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；‎ 第三步 最后得出结论.‎ 例1. 若{正整数}，且。求证：或中至少有一个成立。‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【变式演练1】(1)已知中至少有一个小于2。‎ ‎（2）已知，求证：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 类型二 证明“不可能”问题 使用情景：证明“不可能”问题．‎ 解题模板：第一步 首先假设命题不成立；‎ 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；‎ 第三步 最后得出结论.‎ 例2.给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：要证明经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴，可以考虑假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．然后得出矛盾。‎ 证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．设且．由，得，解得．与已知矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.‎ ‎【点评】在证明不可能问题上，必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行，反证法的难点在于如何从假设中推出矛盾，从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。‎ ‎【变式演练2】（Ⅰ）求证：当时， ；‎ ‎（Ⅱ）证明： 不可能是同一个等差数列中的三项.‎ ‎ ‎ 类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题 使用情景：证明“存在性”或“唯一性”问题．‎ 解题模板：第一步 首先假设命题不成立；‎ 第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾；‎ 第三步 最后得出结论.‎ 例3.求证：方程的解是唯一的．‎ ‎【答案】详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：可以假设方程的解有两个，然后得出矛盾。‎ 证明：由对数的定义易得，是这个方程的一个解．假设这个方程的解不是唯一的，它还有解，则．，则，即．①由假设，得，从而：当时，有；②当时，有．③‎ 显然，②，③与①都矛盾，这说明假设不成立．所以原方程的解是唯一的. ‎ ‎【点评】有关存在性与唯一性命题的证明问题，可考虑用反证法．“存在”就是“至少有一个”，其反面是“一个没有”，“惟一”就是“有且只有一个”，其反面是“至少有两个”．有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题，也可考虑应用反证法.‎ ‎【变式演练3】用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的假设为（）‎ A．自然数都是奇数 B．自然数都是偶数 C．自然数中至少有两个偶数 D．自然数中至少有两个偶数或都是奇数 ‎【答案】D 考点：反证法.‎ ‎ ‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，‎ 乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反，‎ 丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反，‎ 即乙、丁可以知道自己的成绩 故选D。‎ ‎【考点】合情推理 ‎【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。‎ ‎2. 【2016高考山东文数】观察下列等式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎……‎ 照此规律，_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎3. 【2015高考广东，理8】若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）‎ ‎ A．大于5 B. 等于‎5 C. 至多等于4 D. 至多等于3‎ ‎【答案】．‎ ‎ ‎ ‎ 4.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）‎ A. 方程没有实根 B.方程至多有一个实根 C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根 ‎【答案】‎ ‎【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小.‎ ‎5. 【2015高考北京，理20】已知数列满足：，，且．‎ 记集合．‎ ‎（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8‎ ‎（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知， 和除以9的余数一样，‎ ‎①若中有3的倍数，由（2）知：所有的都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.‎ ‎②中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，...... ,不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多8项，则时，，项数为8，所以集合的元素个数的最大值为8.‎ 考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.‎ ‎【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【2018陕西名校五校联考】某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断：‎ 甲说胡老师不是上海人，是福州人；‎ 乙说胡老师不是福州人，是南昌人；‎ 丙说胡老师不是福州人，也不是广州人.‎ 听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测胡老师( )‎ A. 一定是南昌人 B. 一定是广州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人 ‎【答案】D ‎【解析】若胡老师是南昌人，则甲对一半，乙全对，丙全对；若胡老师是广州人，则甲全不对，乙全不对； 若胡老师是福州人，则甲全对，乙全错，丙全错；若胡老师是上海人，则甲全错，乙对一半，丙全对；故选择D.‎ ‎2．【2018广西南宁摸底联考】甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ）‎ A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D. 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 ‎【答案】C ‎ 3．用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是 A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 命题“，如果可被整除，那么至少有1个能被5整除．”的否定是“都不能被5整除”，故选B.‎ ‎4．【2018河北邢台市模拟】①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设为实数， ，求证与中至少有一个不小于，用反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是（ ）‎ A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D. ①的假设错误，②的假设正确 ‎【答案】C ‎【解析】根据反证法的格式知，①正确；②错误，②应该是与都小于，故选C.‎ ‎5．设大于0，则3个数的值 A. 至多有一个不大于 1 B. 都大于1‎ C. 至少有一个不大于1 D. 都小于1‎ ‎【答案】C ‎ 6． 已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，若，且时，．‎ ‎（1）证明：是的一个根；‎ ‎（2）试比较与的大小；‎ ‎（3）证明：． ‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由的图象与轴有两个不同的交点，∴有两个不等实根，得出是的根，在根据根与系数的关系，即可证明是的一个根；（2）利用反证法，假设假设，又，得出，得出矛盾，即可得出；（3）由，得，‎ ‎（3）证明：由，得，∴，‎ 又，∴．‎ 二次函数的图象的对称轴方程为，‎ 即，又，∴，∴．‎ 考点：二次函数的性质及不等式关系的判定．‎ ‎7．【2018吉林乾安第七中学模拟】（1）用分析法证明：当， 时， ；‎ ‎（2）证明：对任意， ， ， 这个值至少有一个不小于.‎ ‎【解析】（1）要证不等式成立，只需证成立，‎ 即证： 成立，‎ 即证： 成立，‎ 即证： 成立，‎ 因为所以，所以原不等式成立.‎ ‎（2）假设这3个值没有一个不小于0，‎ 即 则，（*）‎ 而.‎ 这与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.‎ ‎8．设， ，且.证明： 与不可能同时成立.‎ ‎ 9. 已知是互不相等的实数，求证：‎ 由确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点.‎ ‎【解析】假设三条抛物线都与轴有一个交点或无交点 则，将上述三个式子相加得 ‎ 配方得， ‎ ‎ 当且仅当时等号成立，又不全相等 ‎ ‎ ，这与矛盾 ‎ 假设不成立，三条抛物线至少有一条与有两个不同的交点 .‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎