2020版高中数学 模块综合试卷 新人教A版选修2-3

2020版高中数学 模块综合试卷 新人教A版选修2-3

模块综合试卷 ‎(时间：120分钟，满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)‎ A．－15x4 B．15x4‎ C．－20ix4 D．20ix4‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　求二项展开式的特定项 答案　A 解析　由题意可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.‎ ‎2．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为(　　)‎ A．36 B．‎35 C．34 D．33‎ 考点　分步乘法计数原理 题点　分步乘法计数原理的应用 答案　D 解析　不考虑限定条件确定的不同点的个数为CCA＝36，‎ 但集合B，C中有相同元素1，由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33.‎ ‎3．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在第一次正面向上的条件下，第二次反面向上的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 11‎ 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　C 解析　记事件A表示“第一次正面向上”，事件B表示“第二次反面向上”，则P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝＝.‎ ‎4．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ＜2)＝0.6，则P(0＜ξ＜1)等于(　　)‎ A．0.4 B．‎0.3 C．0.2 D．0.1‎ 考点　正态分布的概念及性质 题点　求正态分布的均值或方差 答案　D 解析　由已知可得曲线关于直线x＝1对称，P(ξ＜2)＝0.6，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝0.4，故P(0＜ξ＜1)＝P(0＜ξ＜2)＝(1－0.4－0.4)＝0.1.‎ ‎5．给出以下四个说法：‎ ‎①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；‎ ‎②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；‎ ‎③设随机变量ξ服从正态分布N(4,22)，则P(ξ＞4)＝；‎ ‎④对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小．‎ 其中正确的说法是(　　)‎ A．①④ B．②③ C．①③ D．②④‎ 考点　独立性检验思想的应用 题点　独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用 答案　B 解析　①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数R2越大，拟合效果越好，R2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N(4,22)，正态曲线对称轴为x＝4，所以P(ξ＞4)＝；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则说明“X与Y有关系”的犯错误的概率越大．‎ ‎6．设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85.在过去的30年内该地区都未发生特大洪水，则在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是(　　)‎ A．0.25 B．‎0.3 C．0.35 D．0.4‎ 11‎ 考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 答案　A 解析　设在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是P，根据条件可得，0.8×1＋(1－0.8)×P＝0.85，解得P＝0.25.‎ ‎7．某机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：‎ 记忆能力x ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 识图能力y ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ 由表中数据，求得线性回归方程为＝0.8x＋，若某儿童记忆能力为12，则预测他的识图能力约为(　　)‎ A．9.5 B．‎9.8 C．9.2 D．10‎ 考点　线性回归分析 题点　线性回归方程的应用 答案　A 解析　∵＝×(4＋6＋8＋10)＝7，＝×(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本点的中心为(7,5.5)，‎ 代入回归方程得5.5＝0.8×7＋，∴＝－0.1，‎ ‎∴＝0.8x－0.1，‎ 当x＝12时，＝0.8×12－0.1＝9.5，故选A.‎ ‎8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有(　　)‎ A．40种 B．30种 C．20种 D．60种 考点　排列的应用 题点　排列的简单应用 答案　C 解析　分类解决．甲排周一，乙，丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排，有A＝12(种)方法；甲排周二，乙，丙只能是周三至周五选两天安排，有A＝6(种)方法；甲排周三，乙丙只能安排在周四和周五，有A＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知，共有12＋6＋2＝20(种)方法．‎ ‎9．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为(　　)‎ 11‎ A．0.504 B．0.994‎ C．0.496 D．0.06‎ 考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 答案　B 解析　1－P( )＝1－P()·P()·P()‎ ‎＝1－0.1×0.2×0.3＝1－0.006＝0.994.‎ ‎10．已知5的展开式中含的项的系数为30，则a等于(　　)‎ A. B．－ C．6 D．－6‎ 考点　二项展开式中的特定项问题 题点　由特定项或特定项的系数求参数 答案　D 解析　5的展开式通项Tk＋1＝C·(－1)kak·＝(－1)kakC，‎ 令－k＝，则k＝1，‎ ‎∴T2＝－aC，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.‎ ‎11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行．要使4引擎飞机更安全，则p的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　独立重复试验的计算 题点　用独立重复试验的概率公式求概率 答案　B 解析　4引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1－p)＋p4,2引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Cp3(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1.‎ ‎12．若在二项式n 11‎ 的展开式中前三项的系数成等差数列，则把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 考点　排列与组合的应用 题点　排列、组合在古典概型中的应用 答案　D 解析　注意到二项式n的展开式的通项是Tk＋1＝C·()n－k·k＝C·2－k·.依题意有C＋C·2－2＝‎2C·2－1＝n，即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，解得n＝8.∴二项式8的展开式的通项是Tk＋1＝C·2－k·，展开式中的有理项共有3项，所求的概率为＝.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．任意选择四个日期，设X表示取到的四个日期中星期天的个数，则E(X)＝________，D(X)＝________.‎ 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 答案　　 解析　由题意得，X～B，所以E(X)＝，D(X)＝.‎ ‎14．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．‎ 考点　排列与组合的应用 题点　排列、组合在古典概型中的应用 答案　 解析　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.‎ ‎15．某数学老师身高为‎176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173 cm,‎170 cm和‎182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.‎ 11‎ 考点　线性回归分析 题点　线性回归方程的应用 答案　183.5‎ 解析　记从爷爷起向下各代依次为1,2,3,4,5用变量x表示，其中5代表孙子．各代人的身高为变量y，则有 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎173‎ ‎170‎ ‎176‎ ‎182‎ 计算知＝2.5，＝175.25.由回归系数公式得＝3.3，‎ ＝－＝175.25－3.3×2.5＝167，∴线性回归方程为＝3.3x＋167，当x＝5时，y＝3.3×5＋167＝183.5，故预测其孙子的身高为‎183.5 cm.‎ ‎16．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种．(填数字)‎ 考点　组合的应用 题点　有限制条件的组合问题 答案　56‎ 解析　分析题意可知，最终剩余的亮着的灯共有9盏，且两端的必须亮着，所以可用插空的方法，共有8个空可选，所以应为C＝56(种)．‎ 三、简答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．‎ 考点　二项式定理的应用 题点　二项式定理的简单应用 解　5的展开式的通项为Tk＋1＝C5－kk＝5－kC，‎ 令20－5k＝0，得k＝4，‎ 故常数项T5＝C×＝16.‎ 又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，‎ 由题意知2n＝16，得n＝4，‎ 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，‎ 故有Ca4＝54，解得a＝±.‎ 11‎ ‎18．(12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数．‎ ‎(1)A，B必须被选出；‎ ‎(2)至少有2名女生被选出；‎ ‎(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．‎ 考点　排列与组合的应用 题点　排列组合的综合应用 解　(1)除选出A，B外，从其他10个人中再选3人，选法数为C＝120.‎ ‎(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生．所有选法数为CC＋CC＋CC＋C＝596.‎ ‎(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理，所有选法数为C·C·A＝25 200.‎ ‎19．(12分)近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的2011年至2015年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图．(为便于计算，把2011年编号为1,2012年编号为2，…，2015年编号为5)‎ ‎(1)以PM2.5年均浓度值为因变量，年份的编号为自变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的线性回归方程＝x＋；‎ ‎(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准，空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限制．‎ 参考公式：＝，＝－.‎ 考点　线性回归分析 题点　线性回归方程的应用 解　(1)由散点图可得，变量xi，yi 11‎ 组成的几组数据为(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)，‎ 则＝3，＝19，‎ 所以＝＝3.1.‎ ＝－＝19－3.1×3＝9.7.‎ 所以所求线性回归方程为＝3.1x＋9.7.‎ ‎(2)由3.1x＋9.7＞35，得x＞8.16，‎ 因为x∈N，所以x＝9.‎ 故可预测到2019年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．‎ ‎20．(12分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.‎ ‎(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；‎ ‎(2)在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率与ξ的均值E(ξ)．‎ 考点　常见的几种均值 题点　二项分布的均值 解　(1)方法一　记小球落入B袋中的概率为P(B)，则P(A)＋P(B) ＝1.‎ 由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，‎ ‎∴P(B)＝3＋3＝，‎ ‎∴P(A)＝1－＝.‎ 方法二　由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋，∴P(A)＝C3＋C3＝.‎ 11‎ ‎(2)由题意，ξ～B，‎ ‎∴P(ξ＝3)＝C31＝，‎ ‎∴E(ξ)＝4×＝3.‎ ‎21．(12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：‎ 男性 女性 总计 反感 ‎10‎ 不反感 ‎8‎ 总计 ‎30‎ 已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.‎ ‎(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？‎ ‎(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和均值．‎ 附：K2＝.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 考点　独立性检验思想的应用 题点　独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用 解　(1)‎ 男性 女性 总计 反感 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 不反感 ‎6‎ ‎8‎ ‎14‎ 总计 ‎16‎ ‎14‎ ‎30‎ 由已知数据得K2的观测值k＝≈1.158＜2.706.‎ 所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．‎ 11‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2，‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎22．(12分)设袋子中装有a个红球、b个黄球、c个蓝球，且规定：取出1个红球得1分，取出1个黄球得2分，取出1个蓝球得3分．‎ ‎(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中依次任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；‎ ‎(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c.‎ 考点　均值与方差的应用 题点　均值与方差的综合应用 解　(1)根据题意，得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6.‎ 故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，‎ P(ξ＝4)＝＝，‎ P(ξ＝5)＝＝，‎ P(ξ＝6)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)根据题意，知η的分布列为 11‎ η ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(η)＝＋＋＝，‎ D(η)＝2·＋2·＋2·＝，‎ 化简 解得a＝‎3c，b＝‎2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.‎ 11‎