2020高中数学 第一章“杨辉三角”与二项式系数的性质

2020高中数学 第一章“杨辉三角”与二项式系数的性质

‎1.3.2　‎‎“杨辉三角”与二项式系数的性质 学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．杨辉三角的特点 ‎(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．‎ ‎(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.‎ ‎2．二项式系数的性质 ‎(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.‎ ‎(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数C取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数C与C相等，且同时取得最大值．‎ ‎3．各二项式系数的和 ‎(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；‎ ‎(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． (　　)‎ ‎(2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C. (　　)‎ ‎(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． (　　)‎ ‎[解析]　(1)√　由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确．‎ ‎(2)×　二项展开式的二项式系数的和应为C＋C＋C＋…＋C＝2n.‎ ‎(3)×　二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　)‎ ‎ 【导学号：95032084】‎ A．1　　　　　　　 B．－1‎ C．215 D．315‎ B　[令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]‎ 7‎ ‎3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　)‎ A．第8项 B．第7项 C．第9项 D．第10项 C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]‎ ‎4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是(　　)‎ ‎ 【导学号：95032085】‎ A．1,4,6,4,1‎ B．1，－4,6，－4,1‎ C．(－1)rC(r＝0,1,2,3)‎ D．(－1)rC(r＝0,1,2,3,4)‎ A　[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ ‎“杨辉三角”的应用 ‎　如图131，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．‎ 图131‎ ‎[思路探究]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.‎ ‎[解]　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.‎ ‎[规律方法]　“杨辉三角”问题解决的一般方法 观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：‎ 7‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎……‎ 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．‎ 　[前n－1行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.]‎ 求展开式的系数和 ‎　设(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018·x2 018(x∈R)．‎ ‎(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 018的值；‎ ‎(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；‎ ‎(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 018|的值. ‎ ‎【导学号：95032086】‎ ‎[思路探究]　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．‎ ‎[解]　(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. ①‎ ‎(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ②‎ ‎①－②得 ‎2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－32 018，‎ 7‎ ‎∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝.‎ ‎(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C ·(2x)r，‎ ‎∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．‎ ‎∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 017|‎ ‎＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＋a2018＝32 018.‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．解决二项式系数和问题思维流程．‎ ‎2．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．‎ ‎3．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，‎ 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，‎ 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：‎ ‎(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；‎ ‎(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.‎ ‎[解]　(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，‎ 令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，‎ 所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.‎ ‎(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，‎ 令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， ①‎ 令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ②‎ 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2‎ ‎＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)‎ ‎＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.‎ 7‎ 二项式系数性质的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？‎ ‎[提示]　对称性，因为C＝C，也可以从f(r)＝C的图象中得到．‎ ‎2．计算，并说明你得到的结论．‎ ‎[提示]　＝.‎ 当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；‎ 同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．‎ ‎3．二项式系数何时取得最大值？‎ ‎[提示]　当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C，C相等，且同时取得最大值．‎ ‎　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.‎ ‎(1)求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项. ‎ ‎【导学号：95032087】‎ ‎[思路探究]　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．‎ ‎[解]　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.‎ ‎∴(2n)2－2n－992＝0，‎ ‎∴(2n＋31)(2n－32)＝0，‎ ‎∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.‎ ‎(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，‎ T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.‎ ‎(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·x．‎ 假设Tr＋1项系数最大，‎ 7‎ 则有 ‎∴ ‎∴ ‎∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．‎ ‎2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．‎ ‎[解]　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，‎ 依题意有C25＝C·26⇒n＝8，‎ ‎∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为 T5＝C·(2x)4＝1 120x4.‎ 设第r＋1项系数最大，则有 ‎∵r∈{0,1,2，…，8}，‎ ‎∴r＝5或r＝6.‎ ‎∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于(　　)‎ A．11　　　　　　 B．10‎ C．9 D．8‎ D　[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]‎ ‎2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　) ‎ ‎【导学号：95032088】‎ A．第6项 B．第5项 C．第5、6项 D．第6、7项 A　[因为C＝C，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．]‎ 7‎ ‎3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(‎7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．‎ ‎5　[(‎7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]‎ ‎4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________. ‎ ‎【导学号：95032089】‎ ‎1　64　[在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.]‎ ‎5．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．‎ ‎[解]　(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝‎ ‎(－1)kCa5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)‎2Ca3＝80，‎ 解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，‎ 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.‎ 所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.‎ 7‎