2020届高考数学（理）二轮复习综合检测二（全国卷）（Word版附答案）
2021 届高考二轮复习综合检测二(全国卷)
数 学（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应
位置上．
3．本次考试时间 120分钟，满分 150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共 60分)
一、选择题(本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1．已知集合 A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|log2x≤2}，则 A∩B等于( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(2,4]
C．(0,2) D．(－1,4]
2．复数 z＝2－i
1＋i
对应的点在复平面内位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角
形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若
在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A. 9
32
B. 5
16
C.3
8
D. 7
16
4．在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，
则 A等于( )
A.π
6
B.π
3
C.2π
3
D.5π
6
5．(2019·河南省郑州市第一中学适应性考试)已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且 f (0)
＝0，当 x<0时，f (x)单调递增．若实数 a满足 f (3－|a＋1|)>f
－
3
3 ，则 a的取值范围是( )
A.
－
3
2
，－
1
2
B.
－∞，－
3
2 ∪
－
1
2
，＋∞
C.
－
4
3
，－
2
3
D.
－∞，－
4
3 ∪
－
2
3
，＋∞
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A.6＋π 3
6
B.8＋π 3
6
C.8＋2π 3
6
D.9＋2π 3
6
7．已知函数 f (x)＝Acos(ωx＋φ)
A>0，ω>0，|φ|<π
2 的图象如图所示，若函数 h(x)＝f (x)＋1的
两个不同零点分别为 x1，x2，则|x1－x2|的最小值为( )
A.2π
3
B.π
2
C.4π
3
D．π
8．(2019·上海市吴淞中学期末)函数 f (x)＝ a－x2
|x＋1|－1
为奇函数的充要条件是( )
A．0
1
C．00)的焦点为 F，已知点 A和 B分别为抛物线上的两个动点．且满足∠AFB
＝120°，过弦 AB的中点 M作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则
|MN|
|AB|的最大值为( )
A. 3 B．1 C.2 3
3
D. 3
3
10．(2019·上海市曹杨中学期末)设定义域为 R 的函数 f (x)＝
|lg|x－1||x≠1，
0x＝1，
则关于 x的
方程 f2(x)＋bf (x)＋c＝0有 7个不同实数根的充要条件是( )
A．b<0且 c>0 B．b<0且 c<0
C．b<0且 c＝0 D．b≥0且 c＝0
11．(2020·哈尔滨市师范大学附属中学月考)已知 O为△ABC的外接圆的圆心，且 3OA→＋4OB→
＝－5OC→，则 C的值为( )
A.π
4
B.π
2
C.π
6
D. π
12
12．已知函数 f (x)＝ln x＋x－t2
x
，t∈R，若对任意的 x∈[1,2]，f (x)>－x·f′(x)恒成立，则实
数 t的取值范围是( )
A．(－∞， 2) B.
－∞，
3
2
C．(－∞，3) D.
－∞，
9
4
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
二、填空题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上)
13．已知定义在 R 上的奇函数，当 x>0时，f (x)＝log2x－3x，则 f (－1)＝________.
14．若(x－1)5－2x4＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋a4(x－2)4＋a5(x－2)5，则 a2＝
________.
15．设 f′(x)和 g′(x)分别是 f (x)和 g(x)的导函数，若 f′(x)·g′(x)<0 在区间 I上恒成立，则
称 f (x)和 g(x)在区间 I上单调性相反．若函数 f (x)＝1
3
x3－2ax(a∈R)与 g(x)＝x2＋2bx(b∈R)在
区间(a，b)上单调性相反(a>0)，则 b－a的最大值为__________．
16．已知圆 O：x2＋y2＝1与 x轴负半轴的交点为 A，P为直线 3x＋4y－a＝0上一点，过 P作
圆 O的切线，切点为 T，若|PA|＝2|PT|，则 a的最大值为________．
三、解答题(本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)在锐角△ABC中， a，b，c为内角 A，B，C的对边，且满足(2c－a)cos B－bcos A
＝0.
(1)求角 B的大小；
(2)已知 c＝2，AC边上的高 BD＝3 21
7
，求△ABC的面积 S的值．
18．(12分)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝1，底面 ABCD的周长为 4，E为 BA1
的中点．
(1)判断两直线 EC1与 AD的位置关系，并给予证明；
(2)当长方体 ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求直线 BA1与平面 A1CD所成的角θ.
19.(12分)已知椭圆 C1：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)和椭圆 C2：
x2
2
＋y2＝1 的离心率相同，且点( 2，1)
在椭圆 C1上．
(1)求椭圆 C1的方程；
(2)设 P为椭圆 C2上一点，过点 P作直线交椭圆 C1于 A，C两点，且 P恰为弦 AC的中点，
则当点 P变化时，试问△AOC的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由．
20．(12分)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部
门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育
指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活
动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者
得 1分，负者得 0分，比赛进行到有一人比对方多 2分或打满 8局时停止．设甲在每局中获
胜的概率为 p
p>1
2 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
5
9
.
(1)求 p的值；
(2)设 X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 X的分布列和均值 E(X)．
21.(12分)函数 f (x)＝ln x＋1－x
ax
(a∈R 且 a≠0)，g(x)＝(b－1)x－xex－1
x
(b∈R)．
(1)讨论函数 f (x)的单调性；
(2)当 a＝1时，若关于 x的不等式 f (x)＋g(x)≤－2恒成立，求实数 b的取值范围．
请在第 22～23题中任选一题作答．
22．(10分)在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线 C的极坐标方程为ρ＝ 4cos θ
1－cos2θ
，直线 l的参数方程是
x＝2＋tcos α，
y＝2＋tsin α
(t为参
数，0≤α<π)．
(1)求曲线 C的直角坐标方程；
(2)设直线 l与曲线 C交于 A，B两点，且线段 AB的中点为 M(2,2)，求α.
23．(10分)已知函数 f (x)＝m－|x＋4|(m>0)，且 f (x－2)≥0的解集为[－3，－1]．
(1)求 m的值；
(2)若 a，b，c都是正实数，且
1
a
＋
1
2b
＋
1
3c
＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
答案精析
1．B [∵集合 A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或 x>2}，
B＝{x|log2x≤2}＝{x|0f
－
3
3 ，
∴f (3－|a＋1|)>f
3
3 ＝f (3
1
2
)，
又 f (x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∴|a＋1|>1
2
，
解得 a∈
－∞，－
3
2 ∪
－
1
2
，＋∞
.]
6．B [几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为 3，底面为边长为 2 的
正方形；半圆锥高为 3，底面为半径为 1 的半圆，因此体积为
1
3
× 3×22＋1
3
× 3×π·12
2
＝
8＋π 3
6
，故选 B.]
7．A [由图象可知，A＝2，T
4
＝
2π
3
－
π
6
＝
π
2
，
∴T＝2π，ω＝1，∴f (x)＝2cos(x＋φ)，
∵f
π
6 ＝2cos
π
6
＋φ
＝2，且|φ|<π
2
，
∴φ＝－
π
6
，f (x)＝2cos
x－π
6 ，
令 h(x)＝f (x)＋1＝2cos
x－π
6 ＋1＝0，
可得 cos
x－π
6 ＝－
1
2
，
解得 x－π
6
＝
2π
3
＋2kπ，k∈Z 或 x－π
6
＝
4π
3
＋2kπ，k∈Z，
x＝5π
6
＋2kπ，k∈Z 或 x＝3π
2
＋2kπ，k∈Z，
则|x1－x2|的最小值为
3π
2
－
5π
6
＝
2π
3
.]
8．C [f (x)＝ a－x2
|x＋1|－1
，f (－x)＝ a－x2
|－x＋1|－1
，
f (x)为奇函数，
a－x2
|x＋1|－1
＝－
a－x2
|－x＋1|－1
，
∴|x＋1|＋|x－1|＝2，∴－1≤x≤1，
考虑定义域 a－x2≥0，即－ a≤x≤ a(a>0)且 x≠0，
满足 a≤1，∴00，所以 c＝0，t2＝－b>0即 b<0，
故选 C.]
11．A [由题意可得，|OA→ |＝|OB→ |＝|OC→ |，
且OC→＝－
1
5
(3OA→＋4OB→ )，
∴OC→ ·OC→＝|OC→ |2＝ 1
25
(3OA→＋4OB→ )2
＝
9
25
|OA→ |2＋24
25
OA→ ·OB→＋
16
25
|OB→ |2
＝|OC→ |2＋24
25
OA→ ·OB→，
∴
24
25
OA→ ·OB→＝0，∴∠AOB＝90°.
如图所示，建立平面直角坐标系，
设 A(0,1)，B(1,0)，
由 3OA→＋4OB→＝(4,3)＝－5OC→，
可知 C
－
4
5
，－
3
5 ，
则CA→＝
4
5
，
8
5 ，CB→＝
9
5
，
3
5 ，
cos C＝
CA→ ·CB→
|CA→ |×|CB→ |
＝
36
25
＋
24
25
4 5
5
×
3 10
5
＝
2
2
，
则 C＝π
4
.]
12．B [∵f′(x)＝x2－ln x＋1－t2
x2
，
又对任意的 x∈[1,2]，f′(x)·x＋f (x)＞0恒成立，
∴对任意的 x∈[1,2]，2x2－2tx＋1
x
＞0恒成立，
即对任意的 x∈[1,2]，2x2－2tx＋1＞0恒成立，
则 t＜2x2＋1
2x
＝x＋ 1
2x
＝x＋
1
2
x
恒成立，
令 g(x)＝x＋
1
2
x
，又 g(x)＝x＋
1
2
x
在[1,2]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝3
2
，∴t＜3
2
.]
13．3
解析 因为 f (1)＝log21－3＝－3，
又 f (x)为定义在 R 上的奇函数，
所以 f (－1)＝－f (1)＝3.
14．－38
解析 令 x－2＝t，则 x＝t＋2.由条件可得(t＋1)5－2(t＋2)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，
故 t2的系数为 C35－2C24×22＝－38，即 a2＝－38.
15.1
2
解析 由题意知 f′(x)＝x2－2a，g′(x)＝2x＋2b，
函数 f (x)与 g(x)在区间(a，b)上单调性相反，
则(x2－2a)(2x＋2b)<0在 x∈(a，b)上恒成立，
又 00，
于是 x2－2a<0在 x∈(a，b)上恒成立．
易知 x2－2a<0的解集为(－ 2a， 2a)，
所以(a，b)⊆(－ 2a， 2a)，
所以 b－a≤ 2a－a＝－
a－ 1
2 2＋
1
2
，
当 a＝1
2
，b＝1时，b－a取得最大值
1
2
.
16.23
3
解析 易知 A(－1,0)，设 P(x，y)，
由|PA|＝2|PT|，可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，
化简得
x－1
3 2＋y2＝16
9
，
可转化为直线 3x＋4y－a＝0与圆
x－1
3 2＋y2＝16
9
有公共点，
所以 d＝|1－a|
5
≤
4
3
，
解得－
17
3
≤a≤23
3
.
故 a的最大值为
23
3
.
17．解 (1)∵(2c－a)cos B－bcos A＝0，
由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0，
∴(2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A，
2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0，
∵A＋B＝π－C且 sin C≠0，∴cos B＝1
2
，
∵B∈(0，π)，∴B＝π
3
.
(2)∵S△ABC＝
1
2
acsin B＝1
2
BD·b，
代入 c＝2，BD＝3 21
7
，sin B＝ 3
2
，得 b＝ 7
3
a，
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4－2a，
代入 b＝ 7
3
a，得 a2－9a＋18＝0，
解得
a＝3，
b＝ 7
或
a＝6，
b＝2 7，
又∵三角形为锐角三角形，
∴a20)，
当 a<0时，f′(x)>0，∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
当 a>0时，由 f′(x)>0 得 x>1
a
；
由 f′(x)<0得 00 时，f (x)在
0，1
a 上单调递减，在
1
a
，＋∞
上单调递增．
(2)由题意，当 a＝1时，不等式 f (x)＋g(x)≤－2，
即 ln x＋1
x
－1＋(b－1)x－xex－1
x
≤－2，
即 b－1≤ex－ln x
x
－
1
x
在(0，＋∞)上恒成立，
令 h(x)＝ex－ln x
x
－
1
x
，
则 h′(x)＝ex－1－ln x
x2
＋
1
x2
＝
x2ex＋ln x
x2
，
令 u(x)＝x2ex＋ln x，则 u′(x)＝(x2＋2x)ex＋1
x
>0，
∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又 u(1)＝e>0，u
1
2 ＝
e
4
－ln 2<0，
∴u(x)有唯一零点 x0
1
2
0，即 h′(x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x0)为 h(x)在定义域内的最小值．
令 k(x)＝xex
1
2
0)，
∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
1
a
＋
1
2b
＋
1
3c
＝3＋
a
2b
＋
2b
a ＋
a
3c
＋
3c
a ＋
2b
3c
＋
3c
2b ≥9，
当且仅当 a＝2b＝3c，即 a＝3，b＝3
2
，c＝1时取等号．
