2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019 学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二上学期期末考 试数学（理）试题 一、单选题 1．命题“ ，使 ”的否定为（ ） A． ，使 B． ，使 C． ， D． ， 【答案】D 【解析】因为命题“ ”的否定为“ ”,所以命题“ ，使 ”的否定为 ， ，选 D. 点睛：1.命题的否定与否命题区别 “否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既 否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论. 2 命 题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的 前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再 进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为 “或”. 2．“a＞0”是“|a|＞0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0 就是{a|a≠0}，利用充要 条件的概念与集合的关系即可判断． 解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0 或 a＜0 即|a|＞0 不能推出 a＞0， ∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件 故选 A 【考点】必要条件． 3．有 50 件产品，编号为 0，1，2，…，49，现从中抽取 5 个进行检验，用系统抽样的 方法抽取样本的编号可以为( ) A．5，10，15，20，25 B．5，13，21，29，37 C．8，22，23，1，20 D．1，11，21，31，41 【答案】D 【解析】试题分析：系统抽样首先按照一定顺序分成 5 组每组 10 个个体，在每组中抽 取样本抽取的样本间隔为 10；所以选 D. 【考点】系统抽样. 4．已知 x、y 的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若从散点图分析，y 与 x 线性相关，且 ，则 的值等于（ ） A．2.6 B．6.3 C．2 D．4.5 【答案】A 【解析】试题分析：若 与 线性相关，则样本点中心 必在回归直线上，由表中 数据， ， ，将点 代入回归方 程，得 ，解得 ，故选 A． 【考点】线性回归方程中，样本点中心在回归直线上． 5．与二进制数 相等的十进制数是（ ） A．6 B．7 C．10 D．11 【答案】A 【解析】由题意，110（2）=1×22+1×21+0×20=6，故选 A． 6．下列说法中，正确的是 (　 　) A．数据 5,4,4,3,5,2 的众数是 4 B．一组数据的标准差的平方是这组数据的方差 C．数据 2,3,4,5 的方差是数据 4,6,8,10 的方差的一半 D．频率分布直方图中各小矩形的面积等于相应各组的频数 【答案】C 【解析】试题分析：数据 5,4,4,3,5,2 的众数是 4 和 5，A 错；一组数据的标准差是这组 数据的方差的算术平方 根，B 错；由标准差公式 知 C 正确，频率分布直方图中各小长方形的 面积等于相应各组的频率，D 错．故选 C． 【考点】统计数据的数字特征，众数、方差、标准差、频率分布直方图． 7．5 个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有 1 人，则不同的站法数有（ ） A．18 B．26 C．36 D．48 【答案】C 【解析】试题分析：先排列其余三人后甲乙两人插空，所以有 种 【考点】排列问题 8．在面积为 的 的边 上任取一点 ，则 的面积大于 的概率是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：△ 的面积大于 只需|PB|> ,所以概率 【考点】几何概型 9．已知 的展开式中没有常数项，则 n 不能是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】本题首先可以根据 解出二项式的通项，再对通项进行化简，然后通过 展开式中没有常数项可知， 不能为 0，最后将选项依次代入，得出结果。 【详解】 的通项为 化简得 因为 的展开式中没有常数项， 所以 不能为 0， 当 时， 不成立； 当 时， 时 ，故选 D。 【点睛】 本题考查二项式的相关性质，主要考察二项式的通项的相关性质，考查计算能力，考查 化归思想，是简单题。二项式 ，则二项展开式的通项公式为 。 10．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 4 个落在直线 上，则判断框中可填 写的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【 解 析 】 由 题 可 得 ： 当 i=1,y=0,x=1,y=1,i=2 输 出 点 （ 1.1 ） 在 y=x 上 ， x=0,y=1,i=3 输出点（0,1），不在线上，x=-1,y=0,i=4,输出（-1,0）不在线上， x=0,y=0,i=5 输 出 （ 0,0 ） 在 线 上 ， x=1,y=1,i=6 输 出 （ 1,1 ），在 线 上 ， x=0,y=1,i=7 输出（0,1）不在线上，x=-1,y=0,i=8,输出（-1,0）不在线上， x=0,y=0.i=9 输出（0,0）在线上，由此满足题意的条件为 11．袋中共有 8 个球，其中 3 个红球、2 个白球、3 个黑球．若从袋中任取 3 个球，则 所取 3 个球中至多有 1 个红球的概率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：因为袋中共有 8 个球，其中 3 个红球、2 个白球、3 个黑球．若从袋中任 取 3 个球 那么所取 3 个球中至多有 1 个红球包括没有红球和由一个红球的情况，分别是 ，则利用等可能事件的概率公式得到为 ,选 D 12．甲乙两人各自在 300 米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不 超过 50 米的概率是多少（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设甲乙两人各自跑 和 米，则 ，若满足题意即 ，如图 则 ，所以 ，故选 B. 二、填空题 13．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状 况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为_______． 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 900 1800 1600 4300 【答案】180. 【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为 ；设样本中老 年教师的人数为 x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相 等，即 ，解得 . 故答案为： . 【考点】分层抽样. 14．已知 ,当 时，用秦九韶算法求 =____． 【答案】 【 解 析 】 试 题 分 析 ： 因 为 ，当 时，用秦九韶 算法 ,故答案为 ． 【考点】秦九韶算法． 15． 的展开式中常数项是_____． 【答案】 【解析】把 表示五个 相乘，利用乘法计数原理与加法计数原理，即 可得到结果. 【详解】 表示五个 相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生， 第 一 种 是 从 五 个 中 分 别 抽 取 2x ， 2x ， ， ， － 1 ， 则 此 时 的 常 数 项 为 ， 第二种情况是从五个 中都抽取－1，则此时的常数项为(－1)5＝－1， 第三种情况是从五个 中分别抽取 2x， ，－1，－1，－1， 则此时的常数项为 · ·2 1·(－1)3＝－40， 则展开式中常数项为－120－1－40＝－161. 故答案为：-161. 【点睛】 本题考查三项展开式特定项的系数，考查了乘法计数原理与加法计数原理，属于基础题. 16．某翻译处有 8 名翻译，其中有小张等 3 名英语翻译，小李等 3 名日语翻译，另外 2 名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取 5 名翻译参加翻译工作，3 名翻译英语，2 名 翻译日语，且小张与小李恰有 1 人选中，则有____种不同选取方法. 【答案】21 【解析】据题意，对选出的 3 名英语教师分 5 种情况讨论：①若从只会英语的 3 人中选 3 人翻译英语，②若从只会英语的 3 人中选 2 人翻译英语，（包含小张），③若从只会英 语的 3 人选小张翻译英语，④、若从只会英语的 3 人中选 2 人翻译英语，（不包含小 张），⑤、若从只会英语的 3 人中选 1 人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析 其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数 原理，将其相加计算可得答案． 【详解】 根据题意，分 5 种情况讨论： ①、若从只会英语的 3 人中选 3 人翻译英语， 则需要从剩余的 4 人（不含小李）中选出 2 人翻译日语即可，则不同的安排方案有 种， ②、若从只会英语的 3 人中选 2 人翻译英语，（包含小张） 则先在既会英语又会日语的 2 人中选出 1 人翻译英语，再从剩余的 3 人（不含小李）中 选出 2 人翻译日语即可， 则不同的安排方案有 种， ③、若从只会英语的 3 人选小张翻译英语， 则先在既会英语又会日语的 2 人中选出 2 人翻译英语，再从剩余的 2 人（不含小李）中 选出 2 人翻译日语即可， 则不同的安排方案有 种， ④、若从只会英语的 3 人中选 2 人翻译英语，（不包含小张） 则先在既会英语又会日语的 2 人中选出 1 人翻译英语，再从剩余的 4 人（小李必选）中 选出 2 人翻译日语即可， 则不同的安排方案有 种， ⑤、若从只会英语的 3 人中选 1 人翻译英语，（不包含小张） 则先在既会英语又会日语的 2 人中选出 2 人翻译英语，再从剩余的 3 人（小李必选）中 选出 2 人翻译日语即可， 则不同的安排方案有 种， 则不同的安排方法有 种． 故答案为：29． 【点睛】 本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及 小张与小李恰有 1 人选中，是本题的难点所在． 三、解答题 17．已知命题 ；命题 ，若 为真命题，求 的取值范围． 【答案】 ． 【解析】试题分析：先分别求出 为真时的 的取值范围，然后再根据复合命题 为真命题判断出 真 假，进而列出不等式组 即可求解出 的取值范围． 试题解析：当 真时， 当 真时， ，所以 假时， 又因为 为真命题，所以 真 假 ． 【考点】1．一次不等式与分式不等式；2．逻辑联结词． 18．若 的展开式的二项式系数和为 128. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ) 求展开式中二项式系数的最大项. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) . 【解析】(Ⅰ)可根据二项式的系数之和为 ，即可解出结果； (Ⅱ)首先可根据(Ⅰ)得出二项式，再根据二项式的次方为 7 即可得出二项式系数的最大 项为哪几项，最后通过计算得出结果。 【详解】 (Ⅰ)因为 的展开式的二项式系数和为 128， 所以 (Ⅱ) 由第一题可知，二项式为 ， 故二项式系数最大项为第四项和第五项， ， 。 【点睛】 本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是 高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题： （1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项 的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用。 19．一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是 1,2,3,4,现从盒 子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等. （1）若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于 7 的概率； （2）若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽 到写有数字 3 的卡片的概率. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型， 设 A 表示事件“抽取 3 张卡片上的数字之和大于 7”， ……1 分 ∵任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是{（1、2、3），（1、2、4），（1、 3、4），（2、3、4）}共 4 个， ……3 分 其中数字之和大于 7 的是（1、3、4），（2、3、4），∴P(A)=0.5 ……5 分 （Ⅱ）设 B 表示事件“至少一次抽到 3”， ……6 分 ∵每次抽 1 张，连续抽取两张全部可能的基本结果有： （1、1）（1、2）（1、3）（1、4）（2、1）（2、2）（2、3）（2、4）（3、1）（3、2）（3、 3）（3、4）（4、1）（4、2）（4、3）（4、4），共 16 个． ……8 分 事件 B 包含的基本结果有（1、3）（2、3）（3、1）（3、2）（3、3）（3、4）（4、3），共 7 个基本结果．∴所求事件的概率为 P(B)= ……10 分 【考点】本题主要考查古典概型的概率计算。 点评：中档题，古典概型概率的计算，关键是明确基本事件总数及导致事件发生的基本 事件数，此类问题，可借助于“树图法”不重不漏地写出各个基本事件。 20．去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属 25 家商业连锁店进行了 考核评估.将各连锁店的评估分数按[60,70), [70,80), [80,90), [90,100),分成四组，其频率 分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为 A,B,C,D 四个等 级，等级评定标准如下表所示. 评估得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 评定等级 D C B A （1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数； （2）从评估分数不小于 80 分的连锁店中任选 2 家介绍营销经验，求至少选一家 A 等 级的概率. 【答案】（1）众数是 ，平均数是 ；（2） ． 【解析】（1）由最高小矩形的底边中点估计众数，利用中位数将小矩形面积分为左右两 侧均为 0.5 求解中位数即可； （2）列出所有可能的事件，然后找到满足题意的事件的个数，最后利用古典概型计算 公式求解概率值即可. 【详解】 （1）最高小矩形的底边中点为 75，估计得分的众数为 75 分。 直方图中从左至第一、三、四个小矩形的面积分别为 0.28,0.16,0.08，则第二个小矩形的 面积为 1-0.28-0.16-0.08=0.48. 所以 ， 故估计该商业集团各连锁店评估得分的平均数为 75.4. （2） 等级的频数为 ，记这两家分别为 等级的频数为 ，记 这四家分别为 ，从这 6 家连锁店中任选 2 家，共有 ，共有 15 种选法. 其中至少选 1 家 等级的选法有 共 9 种，则 ， 故至少选一家 等级的概率为 . 【点睛】 本题主要考查频率分布直方图的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 21．某种产品的广告费支出 与销售额 (单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间 有如下对应数据: 2 4 5 6 8 28 36 52 56 78 （1）求 关于 的线性回归方程 ； （2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为 10 万元时，预测销售额是多少？ 参考数据： ， ， 。 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， . 【答案】（1） （2）当广告费支出为 10 万元时，预测销售额大约为 . 【解析】（1）利用公式和题目中的数据，先求样本中心 ，代入方程直接求解。 （2）根据第一问的方程，当 时代入求解。 【详解】 ：（1） ， ， 因此所求回归直线方程为 （法二：利用前半个公式求解相应给分） (2)当 时， 答：当广告费支出为 10 万元时，预测销售额大约为 . 【说明：没有答题和估计的扣两分】 【点睛】 ：回归直线方程必过样本中心 。回归直线 及回归系数 是一个近似值， 只能大致的（不能精确）反映变量的取值和变化趋势。 22 ． 如 图 ， 椭 圆 的 离 心 率 为 ， 轴 被 曲 线 截得的线段长等于 的长半轴长。 （1）求 ， 的方程； （2）设 与 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 与 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 相交与 D,E. ①证明： ； ②记△MAB,△MDE 的面积分别是 .问：是否存在直线 ,使得 = ?请说明理由。 【答案】（1） （2）①见解析 ②满足条件的直线 存在，且有两条，其方程分别为 和 【解析】（1）由题意知 ，从而 ，又 ，解得 。 故 ， 的方程分别为 。 （2）①由题意知，直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为 . 由 得 ， 设 ，则 是上述方程的两个实根，于是 。 又点 的坐标为 ，所以 故 ，即 。 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 x 2 2 :C y x b= − 1C 1C 2C 2C y l 2C 1C MD ME⊥ 1 2,S S l 1 2 S S 17 32 2 2 21, 14 x y y x+ = = − l 3 2y x= 3 2y x= − 3 2 ce a = = 2a b= 2 b a= 2, 1a b= = 1C 2C 2 2 21, 14 x y y x+ = = − l k l y kx= 2{ 1 y kx y x = = − 2 1 0x kx− − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2,x x 1 2 1 2, 1x x k x x+ = = − M ( )0, 1− ( )( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 1 11MA MB kx kx k x x k x xy y k kk k x x x x x x + + + + ++ + − + +⋅ = ⋅ = = = = −− MA MB⊥ MD ME⊥ ②设直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，由 解得 或 ，则点的坐标为 又直线 的斜率为 ，同理可得点 B 的坐标为 . 于是 由 得 ， 解得 或 ，则点 的坐标为 ； 又直线的斜率为 ，同理可得点 的坐标 于是 因此 由题意知， 解得 或 。 又由点 的坐标可知， ，所以 故满足条件的直线 存在，且有两条，其方程分别为 和 。 1k 1 1y k x= − 1 2 1{ 1 y k x y x = − = − 0{ 1 x y = = − 1 2 1 { 1 x k y k = = − ( )2 1 1, 1k k − MB 1 1 k − 2 1 1 1 1, 1k k  − −    2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 .2 2 2 kS MA MB k k k k k += ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ − = 1 2 2 1{ 4 4 0 y k x x y = − + − = ( )2 2 1 11 4 8 0k x k x+ − = 0{ 1 x y = = − D 2 1 1 2 2 1 1 8 4 1,1 4 1 4 k k k k  −  + +  1 1 k − E 2 1 1 2 2 1 1 8 4,4 4 k k k k  − −  + +  ( ) ( )( ) 2 1 1 2 2 2 1 1 32 11 2 1 4 4 k k S MD ME k k + ⋅ = ⋅ = + + 21 1 2 2 1 1 14 1764 S kS k  = + +    2 1 2 1 1 1 174 1764 32k k  + + =    2 1 4k = 2 1 1 4k = ,A B 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k kk k kk k − = = − + 3.2k = ± l 3 2y x= 3 2y x= −