数学（理）卷·2019届贵州省遵义航天高级中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学（理）卷·2019届贵州省遵义航天高级中学高二上学期期末考试（2018-01）

‎2017—2018学年度第一学期期末考试 高二数学(理科)‎ ‎（试题满分：150分 考试时：120分钟） ‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1. 设集合，，若，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎2.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 下列说法正确的是 A.，则的充分条件是 B.若 ，则的充要条件是 C.对任意，的否定是存在，‎ D.是一条直线，，是两个不同的平面，若，，则 ‎5.体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎6.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则 A. B. C. D. ‎ ‎7.已知为等差数列的前项和，若，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若执行右侧的程序框图，当输入的的值为时，输出的的值为，则空白判断框中的条件可能为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.设函数，则是 A. 奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数 C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数 ‎10.如图，格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球的直径，且，则点到底面的距离为 A. B. C. D. ‎ ‎12.过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则到直线的距离为 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知向量.若向量与垂直，则= ‎ ‎14.若满足约束条件，则的最小值为 ______ ‎ ‎15. 函数的最大值为 ‎ ‎16.平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为 ‎ 三、解答题（本题6小题，第17小题10分，第18-22小题，每小题12分， 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知分别是内角的对边，‎ ‎（I）求的值； ‎ ‎（II）若角为锐角，求的值及的面积.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 为数列的前项和，已知，.‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前项和.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成 组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（I）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；‎ ‎（II）已知样本中分数小于的学生有人，试估计总体中分数在区间内的人数；‎ ‎（III）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，，，，.设分别为的中点.‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 中心在原点的双曲线的右焦点为，渐近线方程为.‎ ‎（I）求双曲线的方程；‎ ‎（II）直线与双曲线交于两点，试探究，是否存在以线段 为直径的圆过原点.若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数；‎ ‎（I）当时，求函数的最值；‎ ‎（II）如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 遵义航天高级中学2017——2018年度第一学期期末考试 高二数学理科答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A C B D A D C B A B C D 二、填空题 ‎13、 14、 15、 16、‎ ‎17、（I）由 得 化简得：………………2分 均为三角形内角，‎ ‎……………3分 又因为，‎ 所以． 结合已知，‎ 由正弦定理，得．………………6分 ‎（II）由得． ‎ 由余弦定理，得．‎ 解得或（舍负）． 所以．………………12分 ‎18、（I）当时，，因为，所以.‎ 当时，，‎ 即，因为，所以.‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以；‎ ‎（II）由（I）知，‎ 所以数列前项和为：‎ ‎.‎ ‎19、（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，所以样本中分数小于70的频率为.‎ 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.‎ ‎（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.‎ 所以总体中分数在区间内的人数估计为.‎ ‎（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为.‎ 所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.‎ ‎20、（Ⅰ）证明：∵分别为的中点， ‎ 则∥.又∵平面，平面，‎ ‎∴∥平面. ………………2分 ‎ 在中，，∴. ‎ 又∵， ∴∥.‎ ‎∵平面，平面，∴∥平面. ………………4分 ‎ 又∵， ∴平面∥平面. ………………6分 ‎（II）∵平面，∴平面平面，‎ 又∵，平面平面，∴平面，‎ 如图，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，…………8分 ‎ ‎∴，‎ ‎，∴，‎ 设是平面的法向量，则，‎ 即，可取，‎ 又平面的法向量为，‎ ‎∴，………………11分 由图可知，二面角的平面角为锐角，‎ ‎∴二面角的平面角的余弦值为. …………12分 ‎ ‎21、（Ⅰ）设双曲线的方程为，则有…（2分）‎ 得，所以双曲线方程为． ……………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ）由得， ……………………………（5分）‎ 依题意有 解得且，① ………………………………………………………（6分）‎ 且，， ……………………………………………（7分）‎ 设，，‎ 依题意有，所以， ……………………………（8分）‎ 又， ………………………………（9分）‎ 所以，化简得， …………………………………（11分）‎ 符合①，所以存在这样的圆. ……………………………………………………（12分）‎ ‎22、（Ⅰ）‎ ‎ 又在上单调递减，‎ ‎，；‎ ‎（Ⅱ）由，得 令 所以对恒成立.‎ ①当时，；‎ ②当时，，令 由于在递减，在递增.‎ 所以，则；‎ 综上知.‎