江苏省常州一中2013届高三11月第一次练习数学理试题

江苏省常州一中2013届高三11月第一次练习数学理试题

‎ 常州一中2013届高三数学（理科）练习2012.11.3‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1.设集合，若，则实数的值是______ ‎ ‎2. 命题：，则命题的否定为 ‎ ‎3．已知510角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则= ‎ ‎4．若方程的解为，则不小于的最小整数是 ‎ ‎5.在中，角的对边分别为，若，则= ‎ ‎6．若“”是“对正实数，”的充要条件，则实数 ‎ ‎7．设，若，则的值为 ‎ ‎8．已知正实数满足，则的最小值为________‎ ‎9．当时,不等式恒成立，则实数的取值范围是_ ‎ ‎10．已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围_ ‎ ‎11．已知集合，集合，若，则实数的取值范围 为 ‎ ‎12．设函数, 为坐标原点，为函数图象上横坐标为的点，向量，向量，设为向量与向量的夹角，则满足 的最大整数是 .‎ ‎13．如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是 ．‎ y x O P M Q N ‎ ‎ ‎ 第13题 第14题 ‎14．图为函数轴和直线分别交于点，点，若的面积为时的点恰好有两个，则的取值范围为 ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．‎ ‎15．设，满足，‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）设三内角所对边分别为且，求在上的值域．‎ ‎16．如图，已知是边长为的正三角形，分别是边上的点，线段经过的中心，设（）‎ 试将的面积（分别记为）表示为的函数 求的最大值与最小值 ‎17．随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140＜＜420，且为偶数，每人每年可创利万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？‎ ‎18．已知数列是等比数列，是其前项和 若成等差数列，证明：也成等差数列；‎ 设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围.‎ ‎19．已知数列的前n项和满足： （a为常数，且）‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，若数列为等比数列，求a的值；‎ ‎（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围。‎ ‎20．已知函数=，.‎ ‎(Ⅰ)求函数在区间上的值域；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数 是不是具备性质“”，并说明理由.‎ ‎ 常州一中2013届高三数学（理科）练习答案2012.11.3‎ 一、 填空题 ‎1． 0 2． 　 3． ‎ ‎4． 5． 5 6． 1‎ ‎7． 8． 18　 9． ‎ ‎10． 11． 12． 3‎ ‎13． 14． 1 ‎ 二．解答题 ‎15．解：(Ⅰ)‎ 由 因此 ‎ 令得 ‎ 故函数的单调递增区间 ‎ ‎ （Ⅱ）由余弦定理知：‎ 即，‎ 又由正弦定理知：‎ 即,所以 当时，，‎ 故在上的值域为 ‎ ‎16解 因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG＝，ÐMAG＝，‎ 由正弦定理得 则S1＝GM·GA·sina＝ ‎ ‎ 同理可求得S2＝‎ y＝＝‎ ‎＝72（3＋cot2a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值ymax＝240‎ 当a＝时，y取得最小值ymin＝216‎ ‎17．设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则 ‎ ‎ 依题意 ‎ ‎（1）当取到最大值； ‎ ‎（2）当取到最大值； ‎ 答：当 公司应裁员为经济效益取到最大值 当公司应裁员为经济效益取到最大值 ‎18（1）设数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，且．‎ 所以，‎ 因为，所以．所以，即．‎ 所以也成等差数列． ‎ ‎（2）因为，，所以， ， ‎ 由②①，得，所以，代入①，得．‎ 所以， 又因为，所以， ‎ 由题意可知对任意，数列单调递减，‎ 所以，即，‎ 即对任意恒成立， ‎ 当是奇数时，，当，取得最大值－１，‎ 所以； 当是偶数时， ，当，取得最小值，‎ 所以．综上可知，，即实数的取值范围是．…‎ ‎19．解：（1）当时，，得． ‎ 当时，由，即，①‎ 得，，②‎ ‎①②，得，即，‎ 是等比数列，且公比是，． ‎ ‎ （2）由（1）知，，即， ‎ 若数列为等比数列，则有，而，‎ 故，解得， ‎ 再将代入，得，由，知为等比数列，． ‎ ‎ （3）由，知，，‎ ‎， ‎ 由不等式恒成立，得恒成立，‎ 设，由，‎ 当时，，当时，， ‎ 而，． ‎ ‎20．解：(Ⅰ) 在区间上单调递增，在区间上单调递减,且 的值域为 ‎ ‎（Ⅱ）令，则由(Ⅰ)可得，原问题等价于：对任意的在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函数 ‎ ‎ ‎ 当时, ,.s 在区间上递减，不合题意 ‎ 当时, ,在区间上单调递增，不合题意 当时, ,在区间上单调递减，不合题意 当即时, 在区间上单调递减; 在区间上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由可得，则 综上，满足条件的不存在。‎ ‎（Ⅲ）设函数具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设 ‎，则，而在点处的切线斜率为，‎ 故有 即，令，则上式化为，‎ 令，则由可得在上单调递增，故，即方程无解，所以函数不具备性质“”. ‎