2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算

第1讲　平面向量的概念及线性运算 ‎　‎ 一、知识梳理 ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a；‎ 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；‎ 当λ<0时，λa与 a的方向相反；‎ 当λ＝0时，λ a＝0‎ λ(μ a)＝(λμ)a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.向量共线的判定定理和性质定理 ‎(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．‎ ‎(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得b＝λa.‎ 常用结论 ‎1．几个特殊向量 ‎(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.‎ ‎(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．‎ ‎(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．‎ ‎(4)与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.‎ ‎2．五个常用结论 ‎(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．‎ ‎(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．‎ ‎(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．‎ ‎(4)在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：‎ ‎①＋＋＝0；‎ ‎②＝(＋)；‎ ‎③＝(＋)，＝(＋)．‎ ‎(5)若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.‎ 二、教材衍化 ‎1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．‎ 解析：‎ 如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.‎ 答案：b－a　－a－b ‎2．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．‎ 解析：‎ 如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．‎ 答案：矩形 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)‎ ‎(2)零向量与任意向量平行．(　　)‎ ‎(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)‎ ‎(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)‎ ‎(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)‎ ‎(6)在△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√‎ 二、易错纠偏 (1)对向量共线定理认识不准确；‎ ‎(2)向量线性运算不熟致错；‎ ‎(3)向量三角不等式认识不清致错．‎ ‎1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．‎ ‎2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．‎ 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝.‎ 答案：－　 ‎3．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．‎ 解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．‎ 答案：[2，6]‎ ‎[学生用书P82]‎ ‎　　　　　　平面向量的有关概念(自主练透)‎ ‎1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)‎ A．0　　　 B．1　　　　‎ C．2　　　 D．3‎ 解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.‎ ‎2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|‎ 解析：选C.因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.‎ 当a＝2b时，＝＝，故“a＝2b”是“＝”成立的充分条件．‎ ‎3．给出下列命题：‎ ‎①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；‎ ‎③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ ‎⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中真命题的序号是________．‎ 解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．‎ ‎③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ ‎⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．‎ 答案：③‎ 辨析向量有关概念的五个关键点 ‎(1)向量定义的关键是方向和长度．‎ ‎(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．‎ ‎(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．‎ ‎(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．‎ ‎(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．　 ‎ ‎　　　　　　平面向量的线性运算(多维探究)‎ 角度一　向量的线性运算 ‎ (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，‎ 则＝(　　)‎ A.－ B．－ C.＋ D．＋ ‎(2)在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　)‎ A.＝＋ B．＝＋ C.＝＋ D．＝＋ ‎【解析】　(1)‎ 法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.‎ 法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.‎ ‎(2)‎ 在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故选B.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)B 角度二　根据向量线性运算求参数 ‎ (一题多解)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】　法一：由题图可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋.‎ 因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.‎ 法二：因为＝2，所以－＝2(－)，整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，以下同法一．‎ 法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由＝得DC∥AB，且AB＝4DC.‎ 又＝2，所以E为PB的中点，且＝.‎ 于是，＝(＋)＝＝＋.以下同法一．‎ 法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.‎ 由＝r＋s，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，‎ 所以解得 所以2r＋3s＝1＋2＝3.‎ ‎【答案】　C 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 ‎(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．‎ ‎(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎1.(2020·福州模拟)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.则下列关系中正确的是(　　)‎ A.－＝ B．＋＝ C.－＝ D．＋＝ 解析：选A.由题意得，－＝－＝＝＝，所以A正确；＋＝＋＝＝，所以B错误；－＝－＝＝，所以C错误；＋＝＋，＝＝－，若＋＝，则＝0，不合题意，所以D错误．故选A.‎ ‎2．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．‎ 解析：设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).‎ 因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)．‎ 所以y∈，‎ 因为＝x＋(1－x)，‎ 所以x＝－y，所以x∈.‎ 答案： ‎　　　　　　平面向量共线定理的应用(典例迁移)‎ ‎ 设两个非零向量a与b不共线．‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎【解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，‎ 所以，共线，又它们有公共点B，‎ 所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)因为ka＋b与a＋kb共线，‎ 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ 又a，b是两个不共线的非零向量，‎ 所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.‎ 所以k＝±1.‎ ‎【迁移探究1】　(变条件)若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？‎ 解：＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，‎ 即＝4a＋(m－3)b.‎ 若A，B，D三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ，‎ 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，‎ 所以 解得m＝7.‎ 故当m＝7时，A，B，D三点共线．‎ ‎【迁移探究2】　(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？‎ 解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，‎ 所以存在实数λ，‎ 使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ＜0)，‎ 所以所以k＝±1.‎ 又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.‎ 故当k＝－1时，两向量反向共线．‎ 共线向量定理的3个应用 ‎(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线．‎ ‎(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．‎ ‎(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．‎ ‎[注意]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．　 ‎ ‎1．设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t＝________．‎ 解析：因为a，tb，(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，‎ 所以a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线，‎ 所以存在实数λ，使a－tb＝λ，所以解得λ＝，t＝.‎ 答案： ‎2．如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ＝________．‎ 解析：因为＝，＝，‎ 所以＝，＝2.‎ 由向量加法的平行四边形法则可知，＝＋，‎ 所以＝λ＝λ(＋)＝λ＝λ＋2λ，由E，F，K三点共线，可得λ＝.‎ 答案： ‎[学生用书P84]‎ ‎　共线定理的推广与应用 ‎[共线定理]　已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.‎ ‎[推广形式]　如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．‎ 当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m ，则＝m＝mλ＋mμ.‎ 又＝x＋y(x，y∈R)，‎ 所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.‎ 以上过程可逆．‎ 因此得到结论：＝x＋y，‎ 则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．‎ ‎(应用实例)‎ ‎ 如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．‎ ‎【解析】　当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3，4]．‎ ‎【答案】　[3，4]‎ ‎ 如图所示，A，B，C 是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．‎ ‎【解析】　由点D是圆O外的一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋＝＋λ＝λ＋(1－λ).因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，所以＝－－·(λ＞1，μ＞1)．因为＝m＋n，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．‎ ‎【答案】　(－1，0)‎ ‎ 如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．‎ ‎【解析】　＝x＋3y，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条 线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]．‎ ‎【答案】　[1，3]‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1.‎ 如图，已知＝，用，表示，则等于(　　)‎ A.－ B.＋ C．－＋ D．－－ 解析：选C.＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选C.‎ ‎2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B． C.　　　　 D． 解析：选D.由题意易得＝＋＝＋，‎ 所以2＝＋，即＝＋.‎ 故λ＋μ＝＋＝.‎ ‎3．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　)‎ A．a∥b B．θ＝0‎ C．θ＝ D．θ＝π 解析：选B.＝等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故选B.‎ ‎4．(2020·合肥一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则(　　)‎ A.＝12＋3 B．＝12－3 C.＝－12＋3 D．＝－12－3 解析：选A.对于A，＝12＋3＝12(－)＋3(－)＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，这与题干中条件相符合，故选A.‎ ‎5.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则的值为(　　)‎ A．－3 B．3‎ C．2 D．－2‎ 解析：选B.因为＝＋，‎ ＝＝(－)＝－＝×－＝－，‎ 所以＝＋＝＋.‎ 又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，‎ 所以＝×＝3.故选B.‎ ‎6．若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．‎ 解析：因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2.‎ 答案：2 ‎7．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为________．‎ 解析：设线段BC的中点为M，则＋＝2.‎ 因为2＝＋，所以＝，‎ 则＝＝(＋)＝＝＋.‎ 由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝.‎ 答案： ‎8．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为________．‎ 解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3.‎ 答案：3 ‎9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 解：＝(＋)＝a＋b；‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ ‎10．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．‎ 解：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，‎ ＝－＝nb－ma，‎ ＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.‎ 由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，‎ 即nb－ma＝λa＋λb，‎ 则消去λ，得＋＝3.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．－ C．1或－ D．－1或－ 解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－.‎ ‎2.(一题多解)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若＝m，＝n，则(　　)‎ A．m＋n是定值，定值为2‎ B．2m＋n是定值，定值为3‎ C.＋是定值，定值为2‎ D.＋是定值，定值为3‎ 解析：选D.法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因为＝m，所以m＝，‎ 整理可得＋＝3.‎ 法二：因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ)·.‎ 又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)·n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比较系数知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故选D.‎ ‎3．(2020·铜川模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ 解析：如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)．因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)·＋t.‎ 又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，‎ 所以λ＋μ＝－.‎ 答案：－.‎ ‎4．已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积为________．‎ 解析：因为＋＋＝0，所以＝－(＋)．‎ 由平行四边形法则可知，以，为边组成的平行四边形的一条对角线与反向，且长度相等．因为||＝||＝||＝2，所以以，为边的平行四边形为菱形，且除BC外的另一条对角线长为2，所以BC＝2，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2.‎ 答案：2 ‎5．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，求的值．‎ 解：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以所以的值为.‎ ‎6．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明：(1)若m＋n＝1，‎ 则＝m＋(1－m) ‎＝＋m(－)，‎ 所以－＝m(－)，‎ 即＝m，‎ 所以与共线．‎ 又因为与有公共点B，‎ 所以A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，‎ 则存在实数λ，使＝λ，‎ 所以－＝λ(－)．‎ 又＝m＋n.‎ 故有m＋(n－1)＝λ－λ，‎ 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.‎ 因为O，A，B不共线，‎ 所以，不共线，‎ 所以所以m＋n＝1.‎