上海市松江二中2013届高三下学期2月开学考数学（文）试题

上海市松江二中2013届高三下学期2月开学考数学（文）试题

松江二中高三数学3月考试卷 ‎2013-3‎ 一．填空题（每题4分，共56分）‎ ‎1、对于集合、，定义运算，若，‎ ‎，则______________。‎ ‎2、若复数满足，（其中为虚数单位），则__________。‎ ‎3、关于的不等式（）的解集为_____________。‎ ‎4、若函数是函数的反函数，则___________。2‎ ‎5、已知向量与的夹角为,,,若与垂直，则实数_________.1‎ ‎6、已知数列为无穷等比数列，且满足，，则数列所有项的和为_________。‎ ‎7、若为锐角，且，则____________。‎ ‎8、二项式展开式中的常数项为________。‎ ‎9、过双曲线的左焦点的弦两点都在左支上，为右焦点，且的周长为30，则 。9‎ ‎10、若关于的方程组有唯一的一组实数解,则实数的值为______.‎ ‎11、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数比个位数大的概率是____________。‎ ‎12、（文）已知关于的二次不等式的解集为，且，则的最小值为___________。‎ ‎13、对任意，函数满足，设，数列的前项的和为，则 ．‎ ‎14、（文）设数列是公差为的等差数列，是互不相等的正整数，若，则.请你用类比的思想,对等差数列的前项和为,写出类似的结论：若 ，则。‎ 二、选择题：（每题5分，共20分）‎ ‎15、函数的零点个数为 （ C ）‎ ‎ A） B） C） D）‎ ‎16、设、都是非零向量，则下列四个条件：①；②；③；④。‎ ‎ 则其中可作为使成立的充分条件的有 （ B ）‎ ‎ A）个 B）个 C）个 D）个 ‎17、已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线 的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于（ A ）‎ ‎ A．　　 B． C．　 　 D．‎ ‎18、已知点．若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：‎ ‎① ； ② ； ③ ．‎ 其中，型曲线的个数是 ( C )．‎ ‎ . . . . ‎ 三、解答题：（12+14+14+16+18=74分）‎ ‎19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）‎ 已知为等差数列，且，。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记的前项和为，若、、成等比数列，求正整数的值。‎ 解：（1）由，可得：即----------------------‎‎2’‎ ‎ 代入，可得：------------------------------------------------------‎‎-4’‎ ‎ ---------------------------------------------------------------‎‎-6’‎ ‎（2）-----------------------------------------------------------------‎‎8’‎ ‎ -------------------------------------------‎‎-10’‎ ‎ 化简可得：解得（舍去）---------------------------‎‎-12’‎ ‎20、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）‎ 第20题图 如图，为一个等腰三角形形状的空地，腰的长为(百米)，底的长为(百米)．现决定在该空地内筑一条笔直的小路(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为和.‎ ‎(1) 若小路一端为的中点，求此时小路的长度；‎ ‎(2) 求的最小值。‎ 解：(1) ∵ E为AC中点，∴ AE＝CE＝.‎ ‎∵ ＋3＜＋4，∴ F不在BC上．----------------------------------------2分 若F在AB上，则AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴ AE＋AF＝5.‎ ‎∴ AF＝＜4.‎ 在△ABC中，cosA＝.------------------------------------------------------4分 在△AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝＋－2×××＝，‎ ‎∴ EF＝ 即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)．--------------6分 ‎(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CE＝x，CF＝y，‎ 则x＋y＝5，‎ ＝＝－1‎ ‎＝－1‎ ‎＝－1≥ ＝ (当x＝y＝时取等号)；--------------------------9分 若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，‎ 设AE＝x，AF＝y，则x＋y＝5，‎ ＝＝－1＝－1≥＝ (当x＝y＝时取等号) ----12分 答：最小值是.-----------------------------------------------------------14分 ‎21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）‎ 已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于、两点，‎ 若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。‎ 解：（1）与轴、轴交点为和-----‎‎2’‎ ‎ ，，-----------------------------------------‎‎-4’‎ ‎ 椭圆方程为：-----------------------------------------------------------‎‎-6’‎ ‎（2）设直线的方程为：（）‎ ‎ 可得：-----------------------------‎‎-8’‎ ‎ 可得：即---‎‎-9’‎ ‎ 设，，则，---------------‎‎-10’‎ ‎ ‎ ‎ ---------------------------‎‎-12’‎ ‎ 化简得：可得：，取值范围为--‎‎-14’‎ ‎22、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）‎ 定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为。‎ ‎（1）已知，求证：；‎ ‎（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；‎ ‎（3）已知点满足条件：且，向量的“相伴函数” 在处取得最大值。当点运动时，求的取值范围。‎ 解：（1）‎ ‎---------------------------------------‎‎-2’‎ ‎ 函数的相伴向量，---------‎‎-4’‎ ‎（2）--------------------------------‎‎6’‎ ‎ ，‎ 的取值范围为--------------------------------------------------------------‎‎-10’‎ ‎（3）的相伴函数，‎ 其中--------------------------------------------‎‎11’‎ 当即时取得最大值--‎‎12’‎ ‎-------------------------------------------‎‎-13’‎ ‎----------------------------------------‎‎-14’‎ 为直线的斜率，由几何意义知-------------------------------‎‎-15’‎ 令，则 当时，‎ ‎----------------------------------------------------------------------‎‎-16’‎ ‎23、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）‎ ‎（文）已知函数（常数）的图像过点、两点。‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）问：是否存在边长为正三角形，使点在函数图像上，、从左至右是正半轴上的两点？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，且不等式 恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎(文)解：（1）把和分别代入可得：‎ ‎ 化简此方程组可得：即 ‎ 可得，，代入原方程组可得：‎ ‎ --------------------------------------------------------------------‎‎-4’‎ ‎（2）由边长为可知：此三角形的高即点的纵坐标为--‎‎5’‎ ‎ 点的坐标为------------------------------------------------------------‎‎-6’‎ ‎ 点的横坐标为，即-------------------------------‎‎-7’‎ ‎ ，直线的倾斜角为-------------------------------‎‎-8’‎ ‎ 这样的正三角形存在，且点，‎ 直线的方程为即--------------------‎‎10’‎ ‎（3）由题意知：为的反函数，（）------------------‎‎12’‎ ‎ 即当恒成立----‎‎-13’‎ ‎ 即当恒成立，--------------------‎‎-15’‎ ‎ 只需求函数在上的最小值即可，‎ ‎ 又在单调递增----------------------------‎‎-16’‎ ‎ ，-----------------------------------‎‎-18’‎