高中数学讲义微专题03 利用数轴解决集合运算问题

高中数学讲义微专题03 利用数轴解决集合运算问题

- 1 - 微专题 03 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些 结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单 变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用 数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识： 1、集合运算在数轴中的体现： 在数轴上表示为 表示区域的公共部分 在数轴上表示为 表示区域的总和 在数轴上表示为 中除去 剩下的部分（要注意边界值能否取到） 2、问题处理时的方法与技巧： （1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的 问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系 （2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区 域。 （3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集 合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域 （4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置 参数即可 3、作图时要注意的问题： （1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心 点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 （2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。 二、例题精析： 例 1：（2009 安徽）集合 ，则 =_______ 思路：先解出 的解集， ，作 出数轴，则 即为它们的公共部分。 答案： 例 2：设集合 ，则 的取值范围是____ 思路：可解出 ，而 集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集 合做起，即画出 的范围，由于 ，而数轴上有一部分 :A B ,A B :A B ,A B :UC A U A   2 12 1 3 , 03 xA x x B x x         A B ,A B    11,2 , , 3,2A B           A B 11, 2A B       11, 2A B          2 3 , | 8 ,S x x T x a x a S T R        a    , 1 5,S     T S S T R - 2 - 区域没有被 包含，那说明 集合负责补 空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出 图像，有图像观察可得只需要： 即可，解得： 答案： 小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定 区间 的端点 （2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合 （3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若 或 ，则端 点处既不在 里，也不在 里，不符题意。 例 3：对于任意的 ，满足 恒成立的所有实数 构成集合 ， 使不等式 的解集是空集的所有实数 构成集合 ，则 ______ 思路：先利用已知条件求出 ，再利用数轴画出 的范围即可 解：由 ① 恒成立，可得： 当 即 时，①变为： 恒成立 当 时，若要①恒成立，则 解集为空等价于： 设 即 小炼有话说：本题更多考察的地方在于 集合的求解。 集合要注意 的情况，而 不能默认为二次不等式， 集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并 运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。 S T S 1 8 5 a a      3 1a    3 1a    T 3a   1a   S T x R    22 2 2 4 0a x a x     a A 4 3x x a    a B  RA C B  ,A B RA C B    22 2 2 4 0a x a x     2 0a   2a  4 0  2a     2 2 0 2 2 4 2 16 2 0 a a a a             2,2A   4 3x x a    , 4 3x R x x a       min4 3a x x      2 7, 4 4 3 1, 3 4 7 2 , 3 x x f x x x x x x              min 1f x  1a   ,1B    1,RC B    1,2RA C B  ,A B A 2 0a   B - 3 - 例 4：已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为 思路：先解出 的解集， 意味着 有公共部分，利用数轴可标注集合 两端 点的位置，进而求出 的范围 解： 当 时， 当 时， 恒成立 当 时， 且 例 5：已知 ，当“ ”是“ ” 的充分不必要条件，则 的取值范围是__________ 思路： 为两个不等式的解集，因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 是 的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出 的范围即可 解： 由 是 的真子集可得：    0)12(,311 22  mmxmxxBxxxA A B   m ,A B A B   ,A B B m 1 1 3x x    1x  31 1 3 2x x x      31 2x   1 1x   1 1 3 2 3x x      1x   31 1 3 2x x x       3 12 x    3 3,2 2A       2 2(2 1) 0x m x m m        1 0x m x m     1m x m    A B    31 2m    3 2m  5 3,2 2m           2| 5 2 1 , |A x x x B x x ax x a        x A x B a ,A B x A x B A B a      2 5 0 5 2 1 1 0 1 3 5 2 1 x x x x x x x                 1,3A   2 2 1 0x ax x a x a x a          1 0x x a    A B 3a  - 4 - 答案： 小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系： 是 的充分不必要条件 对应集合 是 对应集合 的真子集 2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加 以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理 ，则解不等式面临着分类讨论的 问题。但先处理 之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。 例 6：已知函数 ，对 ，使 得 成立，则实数 的取值范围是__________ 思路：任取 ，则 取到 值域中的每一个元素，依题意，存在 使得 ，意味着 值域中的每一个元素都在 的值域中，即 的值域为 的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出 的范围 解： 时， 时， 对于 ，分三种情况讨论 当 时， 当 时， ，符合题意 当 时， 综上所述： 答案：  3,a  p q  p P q Q B A   2 2 1,0 2( ) 1, , 2 0 x xg x ax f x x x              1 22,2 , 2,2x x         1 2g x f x a  1 2,2x    1g x  g x 2x    1 2g x f x  g x  f x  g x  f x a  2 0,2x     2 0,3f x   2 2,0x      2 4,0f x      2 4,3f x    g x 0a     2 1,2 1g x a a    2 1 4 12 1 3 a aa          0,1a  0a    1g x  0a     2 1, 2 1g x a a    2 1 4 12 1 3 a aa          1,0a    1,1a   1,1a  - 5 - 例 7：已知集合 ，若 ， 则 ________ 思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合 的范围。从而确定出 的值， 如图所示：可得 ，所以 答案： 例 8 ： 设 ， ，求 思路： 集合的不等式解集为 ，集合 为一 元二次不等式的解集，由题意可知 ，设 的 两 根 为 ， 则 ， 在 数 轴 上 作 图 并 分 析 后 两 个 条 件 ： 说明 将 集合覆盖数轴的漏洞堵上了， 说 明 与 的公共部分仅有 ，左侧没有公共部分，从而 的位置只能如此（如 图），可得： ，由韦达定理可得： 例 9：在 上定义运算 ，若关于 的不等式 的解集是 的子集，则实数 a 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 思路：首先将 变为传统不等式： ， 不等式含有参数 ，考虑根据条件对 进行分类讨论。设解集为 ，因为 ，所以 首先解集要分空集与非空两种情况：当 时，则 ；当 时，根据 的取值分 类讨论计算出解集后再根据数轴求出 的范围即可 解：    | 2 1 , |A x x x B x a x b      或  , 2,4A B R A B   b a  B ,a b 1, 4a b   4b a   4        2 2| 2 1 0 , | 0 , | 2 0A x x x x B x x ax b A B x x             |1 3A B x x   ,a b A    2, 1 1,   B B   2 0x ax b    1 2 1 2,x x x x  1 2,B x x  | 2 0A B x x   B A  |1 3A B x x   B A  1,3  1 2,B x x 1 21, 3x x   2, 3a b    R : 2 xx y y    x ( 1 ) 0x x a    { | 2 2, }x x x R    2 2a   1 2a   3 1a    1 1a   3 1a   ( 1 ) 0x x a       1 0 01 xx x a x a       a a A  2,2A   A   1a   A   a a      1 0 0 02 1 1 x xx x a x a x a            - 6 - 设解集为 当 时，则 当 时： 若 时， 若 时， 综上所述： 答案：D 例 10：已知 ，若关于 的不等式 的解集中的整 数恰有 3 个，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：所解不等式为 ，可以考虑两边平方 后 去 掉 绝 对 值 ， 因 式 分 解 可 得 ： ，由题意中含 3 个 整 数解可得：解集应该为封闭区间，所以 的系数均大 于 零，即 ，另一方面，解集区间内有 3 个 整 数 ，从 端 点 作 为 突 破 口 分 析 ，两个 端 点 为 ，因为 ，所以 ，进而结合数轴分析可得三个 整 数 解 为 ， 所 以 另 一 个 端 点 的 取 值 范围为 ① ， 而 ②，所以只要①②有交集，则可找到符合条 件 的 ， 结 合 数 轴 可 得 ： ， 求 出 答案： 三、近年模拟题题目精选： 1、（2016 四川高三第一次联考）已知集合 ， 若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、（2014 吉林九校二模，1）已知 ，则 A A   1a   A   1 0 1a a        0, 1 2,2A a    1 2a   1a  1 1a   1 0 1a a        1,0 2,2A a    1 2a    3a   3 1a     3,1a    (0 1 )f x mx x n n m      x   0f x  m 3 6m  1 3m  0 1m  1 0m   mx x n     1 1 0m x n m x n           x 1 0 11 0 m mm       ,1 1 n nx xm m    0 1n m    0,11 nx m   0, 1, 2     3 2 2 1 3 11 n m n mm          0 1n m   ,n m  2 1 1m m    1,3m  1,3m    | 2, , | 1 ,M x x x R N x x a a R       N M a 0 1a  1a  1a  0 1a     | 1 2 , | 3M x x N x x       RC M N  - 7 - （ ） A. B. C. D. 3、（重庆八中半月考，1）设全集为 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 4 、 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 的 定 义 域 为 ， 则 （ ） A. B. C. D. 5、（2014，浙江） 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 6、（2014，山东）设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 7、设集合 ，若 ，则实数 的取 值范围是_________ 8、已知全集 ，集合 ，那么集合 （ ） A. B. C. D. 9 、若关于 的不等式 的解集中整数恰好有 3 个，则实数 的取值范围是 _______.  2,3  2,3    , 1 2,3      , 1 2,3   R   12 , 01A x x B x x        A B   2,2  2,1  1,2  2,    22 xf x x   M    ln 1g x x  N  RM C N   , 2 2,   2,   , 2     2| 2 0 , |1 2P x x x Q x x       RC P Q   0,1  0,2  1,2  1,2     | 1 2 , | 2 , 0,2xA x x B y y x      A B   0,2  1,3  1,4  1,3    | 2 3 7 , | 1 2 1A x x B x m x m        A B A m U R    2| 3 4 0 , | 2 8xA x x x B x       UC A B   3,4  4,  3,4  3,4 x 22)12( axx  a - 8 - 习题答案： 1、答案：B 解析：若 ，则 符合题意，若 ，则 符合题意，当 时，解得： ，由 可知： ，综上可得： 2、答案：D 解析： ，在数轴上标出 的区域即可得出 3、答案：C 解析：分别解出 中的不等式， ，所以 4、答案：A 解 析 ： 的 定 义 域 ： ， 的 定 义 域 ： ，所以 ， 5、答案：C 解析：解出 中不等式： 或 ，所以 ，则 6、答案：D 解析：集合 为解不等式： ，集合 为函数的值域， 由 可知 ，所以 7、答案： 解 析 ： 集 合 为 ， 由 可 知 ； 当 时 ， 可 得 ， 当 时 ， 结 合 数 轴 可 得 ： 即 ，综上可得： 的取值范围是 8、答案：C 解析： 或 0a  N   0a   1N  0a     2,2 , 1, 1M N a a     N M 1 2 0 11 2 a aa         1a     , 1 2,RC M     ,RC M N  RC M N ,A B : 2 2, : 1A x B x     1,2A B   f x  22 0 2, 2x M      g x  1 0 1,x N       , 1RC N       , 2RM C N   P 0x  2x   0,2RC P     1,2RC P Q  A  1 2 2 1 2 1,3x x x          B  0,2x   1,4y   1,3A B  3m  A  2,5 A B A B A B   1 2 1 2m m m     B   1 2 1 2 1 2 3 2 1 5 3 m m m m m m m                   2 3m  m 3m  2 3 4 0 4x x x     1x      , 1 4,A      1,4UC A   2 8 3x x    3,B      3,4UC A B  - 9 - 9、答案： 解 析 ： 因 为 不 等 式 等 价 于 ， 其 中 中 的 ， 且 有 ， 故 ， 不 等 式 的 解 集 为 ， 则一定有 1，2，3 为所求的整数解集。所以 ，解得 的范围 为 25 49,9 16a     014)4( 2  xxa 014)4( 2  xxa 04  a 04  a 40  a a x a    2 1 2 1 2 1 2 1 4 1    a 4 2 13    a a )16 49,9 25(