2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5

2020年高中数学第五章数系的扩充与复数5

‎5．3　复数的四则运算 一、基础达标 ‎1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于 ‎(　　)‎ A．0 B.＋i C.－i D.－i 答案　C 解析　z1＋z2＝－i＝－i.‎ ‎2．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于 ‎(　　)‎ A．1＋i B．1＋3i C．－1－i D．－1－3i 答案　B 解析　z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.‎ ‎3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则 ‎(　　)‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1‎ 答案　D 解析　∵(a＋i)i＝－1＋ai＝b＋i，∴.‎ ‎4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于 ‎(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)＝‎ ‎－＋i，对应点在第二象限．‎ ‎5．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．‎ 答案　1‎ 3‎ 解析　由i(z＋1)＝－3＋2i得到z＝－1＝2＋3i－1＝1＋3i.‎ ‎6．复数的虚部是________．‎ 答案　－ 解析　原式＝＝＝－i，∴虚部为－.‎ ‎7．计算：＋2 010.‎ 解　＋2 010＝＋1 005‎ ‎＝i(1＋i)＋1 005＝－1＋i＋(－i)1 005‎ ‎＝－1＋i－i＝－1.‎ 二、能力提升 ‎8．(2013·新课标)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝‎ ‎(　　)‎ A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i 答案　A 解析　因为复数z满足z(1－i)＝2i，所以z＝＝＝－1＋i.‎ ‎9．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为 ‎(　　)‎ A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 答案　A 解析　z＝＝＝＝3＋5i.‎ ‎10．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于________．‎ 答案　－2i 解析　设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝ ‎＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.‎ ‎11．(2013·山东聊城期中)已知复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值．‎ 3‎ 解　由z＝，‎ 得z＝＝＝1－i，‎ 又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，‎ ‎∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.‎ ‎12．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．‎ 解　设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)．‎ z＋＝x＋yi＋ ‎＝x＋＋(y－)i，‎ 由已知得 ‎∵y≠0，∴ 解得或.‎ ‎∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．‎ 三、探究与创新 ‎13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．‎ ‎(1)求b，c的值；‎ ‎(2)试说明1－i也是方程的根吗？‎ 解　(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，‎ ‎∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，‎ 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴，得.‎ ‎∴b、c的值为b＝－2，c＝2.‎ ‎(2)方程为x2－2x＋2＝0.‎ 把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，‎ ‎∴1－i也是方程的一个根．‎ 3‎