2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中两校高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中两校高二上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省荆州中学、宜昌一中两校高二上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复数的除法运算以及复数的概念即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，故复数的虚部为，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的四则运算以及复数的概念，属于基础题.‎ ‎2．，，若//,则（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量共线定理即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由//,且，，‎ 则存在非零实数使得，‎ 即，解得，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量共线定理，需掌握向量共线定理的内容，属于基础题.‎ ‎3．椭圆的焦距为4，则的值为（ ）‎ A．12 B．4 C．12或4 D．10或6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的标准方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的焦距为，则，‎ 由，‎ 当焦点在轴上时， 即，解得 ‎ 当焦点在轴上时，即，解得. ‎ 故或.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程，需熟记之间的关系，属于基础题.‎ ‎4．曲线在点（1，）处的切线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先对函数求导，求出的值，根据导数的几何意义以及倾斜角与斜率的关系即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，则，‎ 所以，所以切线的斜率为，‎ 由，所以，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的计算以及导数的几何意义、倾斜角与斜率的关系，属于基础题.‎ ‎5．已知，是相异两平面；是相异两直线，则下列命题中假命题的是 （    ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理可得真假；‎ 在B中，由平面与平面平行的判定定理可得真假；‎ 在C中，与平行或异面；‎ 在D中，由平面与平面垂直的判定定理可得真假．‎ ‎【详解】‎ 解：在A中：若，，则由直线与平面垂直的判定定理得，故A正确； 在B中：若，，则由平面与平面平行的判定定理得，故B正确； 在C中：若，，则与平行或异面，故C错误； 在D中：若，，则由平面与平面垂直的判定定理得，故D正确． 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎6．数列满足，是数列的前项和，是函数的两个零点，则的值为（ ）‎ A．6 B．12 C．2020 D．6060‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意判断数列为等差数列，由函数的零点与方程根的关系可得，‎ 再由等差数列的性质以及等差数列的前和的公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 数列满足，‎ 数列为等差数列，‎ 又是函数的两个零点，‎ 即是方程的两个根，，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差中项、函数与方程的关系、等差数列的性质以及前和的公式，属于基本知识的考查，属于基础题.‎ ‎7．平面直角坐标系内，到点和直线距离相等的点的轨迹是（ ）‎ A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【答案】A ‎【解析】根据已知判断点A是否在直线上，即可结合抛物线的定义判断正确选项，据此解答此题，此题属于基础题.‎ ‎【详解】‎ 由题意，点在直线，‎ 即动点到点A的距离与动点到直线的距离相等，‎ 点满足直线方程，‎ 所以动点的轨迹是一条过A与直线垂直的直线.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义，需注意抛物线定义中满足的条件，属于基础题.‎ ‎8．过点作圆的两条切线，切点分别,为坐标原点，则的外接圆方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，，四边形的四个顶点在同一圆上，此圆的直径是，外接圆就是四边形的外接圆.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，，‎ 四边形有一组对角都等于，‎ 四边形的四个顶点在同一圆上，‎ 此圆的直径是，的中点为，‎ ‎，四边形的外接圆方程为，‎ 外接圆的方程为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的标准方程，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题.‎ ‎9．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，与直线相切于点，且，则的半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依据图像运用抛物线的定义及直线与圆相切，可得，求出，进而得到的半径．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，连接，‎ 依题意，过点作轴，垂足为，‎ 在中，，‎ 由抛物线定义可得，‎ 则，解得，‎ 故的半径为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的性质，直线与圆相切，考查逻辑推理，数学运算的核心素养，属于中档题．‎ ‎10．如图，正方形沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为( )‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设正方形边长为，和的交点为，过作的平行线交于,则二面角就是，由平面平面，在中即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设正方形边长为，和的交点为，‎ 过作的平行线交于,‎ 则二面角的平面角就是，‎ 因，，且平面平面，，‎ 所以，所以，即，‎ 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查面面角，解题的关键是作出二面角，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.‎ ‎11．在中，角所对的边分别为，满足，，则的周长的最小值为( )‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦定理边化角求出角，从而可求出，然后利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，根据正弦定理可得，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 在中，，故， ‎ ‎，则，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号，综上的周长的最小值为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理以及基本不等式求最值，注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则，由题设可得，解之得，故，又由可知点是中点，则，代入双曲线方程可得，即，所以，应选答案A。‎ 点睛：本题将向量与圆锥曲线的几何性质有机整合在一起，旨在检测双曲线的标准方程与焦点、渐近线、离心率等几何性质。求解时充分借助题设条件，探求三点之间的关系，运用代点法将点代入双曲线方程建立关于离心率的方程，通过解方程使得问题获解。‎ 二、填空题 ‎13．如图，已知平行四边形中，,平面，且，则__________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由向量的加减运算法则，可得，将其代入中计算；结合向量的数量积的运算，即可求出的值，进而得出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 ‎，‎ 因此，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题是一道有关向量的题目，解题的关键是掌握向量的数量积公式，属于基础题.‎ ‎14．各项均为正数的数列满足，且，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据，且，求得，从而可得，然后利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，且，‎ ‎， ，‎ ‎，‎ 所以，‎ 数列的各项均为正数，，‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时，即，取等号，‎ 故的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的递推关系、基本不等式求最值，注意在利用基本不等式时需验证等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎15．已知、为圆:上的两个动点，且，点为线段的中点，对于直线:上任-点，都有，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可求得，设到直线:的距离为，由已知可知 ‎，利用点到直线的距离公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意可得，解得，‎ 其中，设到直线:的距离为，‎ 则，即，解得 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎16．若点是椭圆上任意一点，点分别为椭圆的上下顶点，若直线、的倾斜角分别为、，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先利用两角和与差的公式以及同角三角函数的关系将化简成，然后设出点，求出直线、斜率，再将椭圆方程代入化简即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 设点，由，，直线、的倾斜角分别为、，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 又可得，代入上式可得 ‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的性质、直线的斜率、两角和与差的公式以及同角三角函数的关系，综合性比较强，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．若圆的方程为，中，已知, ,点为圆上的动点．‎ ‎（1）求中点的轨迹方程； ‎ ‎（2）求面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）4‎ ‎【解析】（1）设，根据中点坐标公式得出，由相关点法即可求出点的轨迹方程； ‎ ‎（2）利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设有，‎ 由得，‎ 即点的轨迹方程为.‎ ‎（2）计算得, 直线为,‎ 点到直线的距离,‎ 点到直线的最小距离为 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎18．设向量，，其中为锐角.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若∥，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及同角三角函数的平方关系，结合为锐角即可求解.‎ ‎（2）根据向量共线的坐标表示可得，再由同角三角函数的商的关系以及齐次式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由, 得,‎ ‎, .‎ ‎（2）由得，即,‎ 原式=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的坐标运算以及向量共线的坐标表示，考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.‎ ‎19．已知椭圆:的左右焦点分别是,点在椭圆上，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于、两点，求实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的定义以及点到直线的距离公式即可求出，从而求得椭圆的方程；‎ ‎（2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，再由题意可得，将两根之和、两根之积代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）点到直线的距离为,得，‎ 由得,椭圆的方程为.‎ ‎（2）联立，设,‎ 得,‎ ‎ ,,‎ 由题意可知：，即,‎ 即,‎ 得,‎ 代入解得即为所求.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义以及标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，平面平面，，,，，，分别为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若，‎ ‎（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）；（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）证出，，利用面面平行的判断定理即可证明.‎ ‎（Ⅱ）（1）以为坐标原点，分别为轴，轴,轴的正方向，‎ 建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，利用法向量的数量积求出二面角的夹角.‎ ‎（2）由平面的法向量，，根据数量积的几何意义即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）连接为等边三角形，‎ 为的中点，,‎ 平面，,‎ 又平面，平面，平面,‎ 分别为的中点，,‎ 又平面平面，‎ 平面.‎ 又平面，‎ 平面平面.‎ ‎（Ⅱ）（1）连接，平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 平面.‎ 又两两互相垂直.‎ 以为坐标原点，分别为轴，轴,轴的正方向，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎，‎ 则，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 平面的一个法向量为，‎ 由，得，取,‎ ‎，‎ 由，得，取，‎ 平面与平面成锐二的余弦值为 ‎（2）面的法向量为,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面平行的判定定理、空间向量在求二面角、点到面的距离中的应用，属于中档题.‎ ‎21．已知数列的前项和为，,.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）存在，‎ ‎【解析】（1）根据与的关系可得，再由等比数列的定义即可证出，利用为等比数列，由等比数列的通项公式求出，进而可求得. ‎ ‎（2）利用等比数列的前项和公式，求出，进而求出的最小值，根据的通项公式求出的最小值，由即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时,‎ ‎ , ，‎ ‎.数列为公比为2的等比数列.‎ 当时，，,‎ ‎ , ‎ ‎.‎ ‎（2）‎ ‎,‎ 假设存在实数，对任意 函数，有， , ，‎ 即为所求 ‎【点睛】‎ 本题考查了与的关系、等比数列的通项公式以及等比数列的前项和公式，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎22．已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点．‎ ‎（1）若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（2）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，定点．‎ ‎【解析】（1）设，，利用“点差法”确定的值，从而求出直线的方程；‎ ‎（2）求出直线的方程，利用韦达定理以及探究直线过哪个定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，，则①，②．‎ ‎①－②，得 ．‎ 又因为是线段的中点，所以 所以，． ‎ 又直线过，所以直线的方程为；‎ ‎（2）依题设，直线的方程为，即，‎ 亦即，代入抛物线方程并化简得 ．‎ 所以， ‎ 于是，，． ‎ 同理，，．‎ 易知，所以直线的斜率．‎ 故直线的方程为，‎ 即．此时直线过定点．‎ 故直线恒过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.‎