数学理卷·2017届江西省南昌二中、临川一中高三下学期期中联考（2017

数学理卷·2017届江西省南昌二中、临川一中高三下学期期中联考（2017

南昌二中、临川一中2017届高三联考 数学（理科）试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若复数满足，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 在某次测量中得到的样本数据如下：,若样本数据恰好是样本数据每个都减后所得数据，则、两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）‎ A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数 ‎4. 在中，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 如图，格纸上每个小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法—“辗转相除法”实质一样.如下图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入时，输出的（ ）‎ A. 6 B. 9 C. 18 D. 54‎ ‎9. 已知函数为图像的对称中心，若该图像上相邻两条对称轴间的距离为，则的单调递增区间是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10. 如图，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折成 ，使得平面平面，则下列说法中正确的有( )‎ ‎①存在点使得直线平面； ②平面内存在直线与平行 ‎③平面内存在直线与平面平行； ④存在点使得．‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎11. 等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和最大的正整数的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13. 若向量满足,且则与的夹角为 ‎ ‎14.的展开式中，项前的系数为 ‎ ‎15. 已知数列的通项公式，其前项和为，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前项，记前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，则实数的取值范围是 ‎ ‎16. 下列命题正确的是 ‎ ‎①若函数满足，则函数的图像关于直线对称；‎ ‎②在线性回归分析中，相关系数，且r越接近于1，该组数据的线性相关程度越大；‎ ‎③在△ABC中，＞0是△ABC为钝角三角形的充要条件；‎ ‎④命题“，”的否定是“，”；‎ ‎⑤由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本题满分12分)如图，在中，，，点在线段上．‎ ‎（1）若，的面积为，求边的长；‎ ‎（2）若，求三角形的面积.‎ ‎18(本题满分12分)如图，在四棱柱中，侧面底面，，底面为直角梯形，其中，，，为中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19. (本题满分12分)甲、乙两学校各派出3名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员进行第一局比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员进行第二局比赛，……,直到一方队员全被淘汰为止，已知甲队的1号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为、、，甲队的2号与乙队的1、2、3号队员比赛获胜的概率分别为、、. ‎ ‎（1）在所有的比赛过程中，甲队的1号、2号队员都只参加一局比赛的概率；‎ ‎（2）在所有的比赛过程中，将甲队1号、2号队员一共参加了的比赛的局数作为随机变量，求的分布列与期望 x B M D C y Ａ ‎20. (本题满分12分) 过原点作斜率为的直线交抛物线于 两点，‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎ (2)已知，延长交抛物线于点，延长交抛物线 于点。记直线的斜率为，问是否存在实数，都有成立，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由.‎ ‎21. (本题满分12分)已知函数且，为自然对数的底数。‎ ‎(1)当时，求函数在区间上的最大值；‎ ‎(2) 若函数只有一个零点，求的值。‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 ‎22. (本题满分10分)已知直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的方程为:．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）写出直线与曲线C交点的一个极坐标．‎ ‎23．(本题满分10分)设函数.‎ （1） 当时，求的最小值；‎ （2） ‎（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A ‎ A B A A ‎ B C C C A B B ‎13. 【答案】‎ ‎14.【答案】‎ ‎15.【答案】‎ ‎16.【答案】⑤‎ ‎17. 解：（1）∵，∴，，‎ 又，∴，………………3分 ‎∵，∴，‎ 在中，由余弦定理得．‎ ‎∴.………………5分 ‎（2）在三角形中，∵，∴．………………6分 在中，由正弦定理得，‎ 又，，．∴．………………9分 ‎…………12分 ‎18. 解析：（1）如图，连接、、、，‎ 则四边形为正方形，所以，‎ 所以四边形为平行四边形，所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面．…………6分 ‎（2）因为，为中点，所以，‎ 又侧面底面，‎ 所以底面，‎ 以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、‎ 轴建立如图所示的坐标系，则，，，，‎ 所以，，，，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由，，得 令，则，，∴，‎ 由(1)知,所以直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等.记直线与平面所成的角为,‎ 且,‎ ‎,‎ 所以,直线与平面所成角的正弦值是.…………12分 ‎19． 解：(1) ……………………（4分）‎ ‎(2) 设表示甲学校1号队员参赛了局，表示甲学校号队员参赛了局，可能的取值为 ‎；……………………………………（6分）‎ ‎；………（8分）‎ ‎…（10分）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎…………………………（12分）‎ ‎20. 解： (1)消去得，设，‎ 则，一正一负 ‎ …………5分 ‎(2)消去得，恒成立 设，则，‎ 设，‎ 直线方程为代入得，‎ 由韦达定理知，所以 同理，‎ 所以 即,‎ ‎ …………12分 ‎21. (1) 当时，， 令，‎ 时，，时，，‎ 而 即 …………6分 ‎(2) ，‎ ‎ 令，得，则 ‎（1）当时，‎ 极小值 所以当时，有最小值 因为函数只有一个零点，且当和时，都有 所以，即 因为当时，，所以此方程无解 ‎（2）当时，‎ 极小值 所以当时，有最小值 因为函数只有一个零点，且当和时，都有 所以，即 设，则，‎ 令，得 当时，；当时，；‎ 所以当时，‎ 所以方程有且只有一解 综上，时函数只有一个零点 …………12分 ‎22. 解:（1）∵，‎ 即.…………5分 ‎（2）将代入得，即,‎ 从而，交点坐标为.‎ 所以，交点的一个极坐标为.…………10分 ‎23. 解：（1）当时，‎ 当且仅当时，取等号. …………5分 ‎（2）时，,‎ ‎,‎ ‎,‎ 因为时的最小值为，的最大值为，所以，又因为，所以.…………10分