数学理卷·2018届广东省清远市三中高二上学期第四次月考（2016-12）

数学理卷·2018届广东省清远市三中高二上学期第四次月考（2016-12）

广东省清远市清城区三中高二第一学期第四次月考 数学（理）试题 ‎(本卷满分150分，时间120分钟)‎ 一、 选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．复数（是虚数单位）的虚部是 ( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列命题是真命题的为 (　　)‎ ‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎3．.设是虚数单位，若复数满足，则复数的模 （ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．命题“存在”的否定是 （ ）‎ ‎ A．不存在 B．存在 ‎ C．对任意的 D．对任意的 ‎5．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 （ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. A O C B N M ‎7．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝( )‎ A、 B、‎ C、 C、‎ ‎8．已知抛物线方程为，过焦点的弦PQ的长为8，PQ的中点M到抛物线的准线的距离为（ ）‎ ‎ A． 4 B． 5 C ． 6 D． 8‎ ‎9. 若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A．　　 B． 　C．　　 D．‎ ‎10． 抛物线的焦点为F，定点M（2，1），点P为抛物线上的一个动点，则的最小值为（ ）‎ A 5 B 4 C 3 D 2‎ ‎11．设则（ ）‎ ‎ A．都不大于 B．都不小于 ‎ C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于 ‎12．已知直线交于A，B两点，且（其中O为坐标原点），若OM⊥AB于M，则点M的轨迹方程为 （ ）‎ ‎ A．2 　 　 ‎ B． 　‎ C．1　　 D．4‎ 一、 填空题（20分，每题5分）‎ 13． 命题：当时，若，则”的逆否命题为 ．‎ 14． 双曲线x2－4y2＝4的一条弦被点平分，则这条弦所在直线的方程是______________．‎ ‎15．复数在复平面内对应点的坐标为 ．‎ 16． 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则 与的比值等于 ．‎ 一、 解答题（70分）‎ ‎17．（12分）某公司进行公开招聘，应聘者从个考题中通过抽签随机抽取个题目作答，规定至少答对道者才有机会进入“面试”环节，小王只会其中的道．‎ ‎（1）求小王能进入“面试”环节的概率；‎ （2） 求抽到小王作答的題目数量的分布列 ‎18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线的方程为x﹣2y﹣5=0．求 ‎（1）求点H的坐标；‎ （2） 若，求直线BP的方程．[]‎ ‎19. （10分）设命题P：，命题Q：，‎ 如果为真，为真，求的取值范围。‎ ‎20．（12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面 ‎，，梯形上底 （1） 求证：平面；‎ （2） 求面与面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎21.（12分）在数列中，.‎ ‎（1）设，求数列的通项公式；‎ （2） 求数列的前项和.‎ ‎22.（12分）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点为，点是坐标平面内一点，且．其中为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，过点的动直线交椭圆于两点，是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 数学（理）答案 一、 CAB CA CBADC DB 二、13. 当，若，则 ‎ ‎ 14. （或）‎ ‎ 15. ‎ ‎ 16. ‎ 三、‎ ‎17.设小王能进入面试环节为事件,则．‎ ‎（2）设抽到小王会作答的题目的数量为,则,‎ ‎,,‎ 所以抽到小王会作答的题目的数量为的分布列为:‎ ‎18.解：（1）∵点H在直线x﹣2y﹣5=0，则设H的坐标为．‎ ‎∵BH⊥AC，‎ ‎∴，得 ‎，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，P为AH的中点，‎ ‎∴．‎ 设，‎ ‎∵M为AB的中点，则．‎ 又M在直线y=2x﹣5，‎ 代入得B（﹣1，﹣3），‎ 则直线BH的方程为：18x﹣31y﹣75=0．‎ ‎19.解： ‎ ‎ 若，则 ‎ ‎ 若，则判别式 ‎ ‎ 即，得 ‎ 若 ，则P假，Q真 ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎20.（Ⅰ）证明：由题意：∵且，，‎ 又平面得，，‎ 而，∴平面 ‎ ‎（Ⅱ）延长，交于点，过作，垂足为，连，‎ 由（Ⅰ）及知：平面，‎ ‎∴且，‎ 所以平面，即.‎ 所以是面与面所成的二面角的平面角. ‎ 易知，，所以，‎ ‎∴，所以面与面所成二面角的余弦值为.‎ ‎21.（1）由已知得，且 即，‎ 从而，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎.‎ 于是，‎ 又，‎ 故所求的通项公式.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴.‎ 而，又是一个典型的错位相减法模型，‎ 易得，∴‎ ‎22.解：（1）设，∵，∴，①‎ 又，∴，即，②‎ ‎①代入②得：，又，∴故所求椭圆方程为 ‎（2）假设存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，‎ 当轴时，以为直径的圆的方程为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③‎ 当轴时，以为直径的圆的方程为：．．．．．．．．．．．．．．④‎ 由③，④知定点，‎ 下证：以为直径的圆恒过定点 设直线，代入，有，‎ 设，则．‎ 则，‎ ‎∴在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个定点