2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章 第5节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第四章 第5节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

www.ks5u.com 多维层次练25‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f 的值是(　　)‎ A．－ B. ‎ C．1 D. 解析：由题意可知该函数的周期为，‎ 所以＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.‎ 所以f ＝tan ＝.‎ 答案：D ‎2．(多选题)将函数y＝sincos的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值可能是(　　)‎ A．－ B．－ ‎ C. D. 解析：因为y＝sincos＝sin(2x＋φ)，‎ 依题意y＝sin＝sin为偶函数，‎ 所以φ－＝kπ＋，则φ＝kπ＋π(k∈Z)．‎ 因此φ的取值可以为－π，－，π.‎ 答案：ABD ‎3．(2020·佛山第一中学质检)某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)，则这段曲线的函数解析式可以为(　　)‎ A．y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ B．y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ C．y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ D．y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ 解析：令ω>0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，最小值m为10，周期T＝2×(14－6)＝16，‎ 所以A＝＝＝10，b＝＝＝20.‎ 又知T＝，ω>0，所以ω＝＝，‎ 所以y＝10sin＋20.‎ 又知该函数图象经过点(6，10)，‎ 所以10＝10sin＋20，即sin＝－1，‎ 又因为|φ|<π，所以φ＝π.‎ 故函数的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14]．‎ 答案：A ‎4．(2018·天津卷)将函数y＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)‎ A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 解析：将函数y＝sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin＝sin 2x的图象．‎ 由2kπ－≤2x≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，‎ 所以函数y＝sin 2x的单调递增区间为，k∈Z.‎ 取k＝0，得y＝sin 2x在区间上单调递增．故选A.‎ 答案：A ‎5．(2020·惠州调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，只需将f(x)的图象(　　)‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：不妨设ω>0，由图象可知，A＝1，‎ 又知＝－＝，得T＝π.‎ 所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ 又知函数图象经过点，‎ 所以f ＝－1，即sin＝－1，‎ 所以π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，得φ＝2kπ＋(k∈Z)．‎ 又因为|φ|<，所以φ＝，‎ 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.‎ 故只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到g(x)＝‎ sin 2x的图象．‎ 答案：A ‎6．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|＜)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T＝________，初相φ＝________．‎ 解析：由题意知T＝6，且f(0)＝2sin φ＝1，‎ 所以sin φ＝，‎ 又|φ|＜，所以φ＝.‎ 答案：6　 ‎7．(2020·长沙雅礼中学质检)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则g的值为________．‎ 解析：f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝2sin＝2sin 2x的图象，再将函数y＝2sin 2x的图象向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，‎ 所以g＝2sin＋1＝3.‎ 答案：3‎ ‎8．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，f ＝________．‎ 解析：由题图可知，T＝2＝，所以ω＝2，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)．‎ 又|φ|<，所以φ＝.此时f(x)＝Atan.‎ 又f(0)＝1，所以Atan ＝1，得A＝1，‎ 所以f(x)＝tan，‎ 所以f ＝tan＝tan ＝.‎ 答案：2　 ‎9．(2017·山东卷)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3，已知f ＝0.‎ ‎(1)求ω；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，‎ 所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx ‎＝sin ωx－cos ωx ‎＝ ‎＝sin .‎ 由题设知f ＝0，所以－＝kπ，k∈Z，‎ 故ω＝6k＋2，k∈Z.‎ 又0<ω<3，所以ω＝2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝sin ，‎ 所以g(x)＝sin＝sin.‎ 因为x∈，‎ 所以x－∈.‎ 当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.‎ ‎10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差．‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温．‎ 解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，‎ 又0≤t＜24，所以≤t＋＜，‎ 所以－1≤sin≤1.‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f(t)在[0，24)上取得最大值为12，取得最小值为8.‎ 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.‎ ‎(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温，‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin>11，‎ 即sin<－.‎ 又0≤t<24，因此0)的最小正周期为π，当x∈时，方程f(x)＝m恰好有两个不同的实数解x1，x2，则f(x1＋x2)＝________．‎ 解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin.‎ 由T＝＝π，得ω＝2.‎ 所以f(x)＝2sin，x∈.‎ 则≤2x＋≤，所以－1≤f(x)≤2.‎ 画出f(x)的图象(图略)，结合图象知x1＋x2＝.‎ 则f(x1＋x2)＝f＝2sin＝2sin ＝1.‎ 答案：1‎ ‎13．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋)＋a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求a和ω的值；‎ ‎(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．‎ 解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin＋a ‎＝4cos ωx·＋a ‎＝2sin ωxcos x＋2cos2 ωx－1＋1＋a ‎＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a ‎＝2sin＋1＋a.‎ 当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a.‎ 又f(x)最高点的纵坐标为2，所以3＋a＝2，即a＝－1.‎ 又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝π，‎ 所以2ω＝＝2，ω＝1.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝2sin，‎ 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 令k＝0，得≤x≤.‎ 所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)‎ A．函数f(x)的最小正周期为2‎ B．函数f(x)的值域为[－4，4]‎ C．函数f(x)的图象关于对称 D．函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝Asin ωx的图象 解析：由图可得T＝2×＝2，所以ω＝π，‎ 因为f ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)．‎ 因为－π<φ<0，所以φ＝－.‎ 又f(0)＝－2，‎ 所以Asin＝－2，得A＝4.‎ 所以f(x)＝4sin，故只有选项D错误．‎ 答案：ABC 素养培育数学运算——三角函数解析式中参数ω的求解问题(自主阅读)‎ ‎1．三角函数的周期性与ω的关系 ‎[典例1]　为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)‎ A．98π　　　　　 B.π ‎ C.π D．100π 解析：由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以49T＝·≤1，所以ω≥π.‎ 答案：B ‎2．三角函数的单调性与ω的关系 ‎[典例2]　若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A．0≤ω≤ B．0≤ω≤ C.≤ω≤3 D.≤ω≤3‎ 解析：令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)‎ 在上单调递减，‎ 所以得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)．‎ 又ω>0，所以k≥0.‎ 由6k＋<4k＋3，得0≤k<.‎ 取k＝0，则有≤ω≤3.‎ 答案：D ‎3．三角函数的对称性、最值与ω的关系 ‎[典例3]　已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________(结果用区间表示)．‎ 解析：f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，‎ 令ωx－＝＋kπ，k∈Z，‎ 解得x＝＋，k∈Z.‎ 当k＝0时，≤π，即≤ω，‎ 当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.‎ 综上，≤ω≤.‎ 答案： ‎[典例4]　已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．‎ 解析：显然ω≠0，分两种情况：‎ 若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.‎ 因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.‎ 若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，‎ 因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.‎ 综上所述，ω的取值范围为.‎ 答案：{ω|ω≤－2或ω≥}‎ ‎[解题思路]　解这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何．‎