2017-2018学年广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）
深圳高级中学（集团）2017-2018学年第二学期期中考试
高二数学
命题人：朱琳 审题人：李浩宾
本试卷由两部分组成。
第一部分：高二数学第二学期期中前的基础知识和能力考查，共62 分；
选择题包含第1题、第3题、第4题、第5题、第7题、第9题、第11题，共35分；
填空题包含第16题，共5分；
解答题包含第17题、第21题，共22分。
第二部分：高二数学第二学期期中后的基础知识和能力考查，共88分
选择题包含第2题、第6题、第8题、第10题、第12题，共25分；
填空题包含第13题、第14题、第15题，共15分；
解答题包含第18题、第19题、第20题、第22题，共48分。
全卷共计150分。考试时间120分钟
注意事项：
1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32
C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝( ).
A．0.08 B．0.26 C．0.42 D．0.16
3．执行如图程序在平面直角坐标系中打印一系列点，则打印出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为( )
A． B． C． D．
5．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A． B． C． D．
6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，则( )
A．me＝mo B．mo
90°的概率是 ( )
A． B． C． D．
10．高三某班下午有3节课，现从5名教师中安排3人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，则不同的安排方案种数为( )
A．12 B．72 C．36 D．24
11．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．
A． B． C． D．
12．若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）
13．曲线在点P0处的切线方程为，则点P0的坐标是 ．
14．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63
，则展开式中系数最大的项是 ．
15．从6个正方形拼成的右图的12个顶点中任取3个顶点作为一组，
其中可以构成三角形的组数为 ．
16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1·e2的取值范围为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：
微信控
非微信控
合计
男性
26
24
50
女性
30
20
50
合计
56
44
100
根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
参考公式: ，其中． 参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
18．（本题满分12分）有一批数量很大的产品，其次品率是10％。
（Ⅰ）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；
（Ⅱ）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望.
19．（本题满分12分）
如图（1），在直角梯形中，，
•
•
，，，
分别是线段的中点，
现将折起，使平面平面，
•
如图（2）所示. 在图（2）中，
（1）求证：平面；
（1）
（2）求二面角的大小.
（2）
20．（本题满分12分）
某公司准备将万元资金投入到市环保工程建设中,现有甲、乙两个建设项目选择,若投资甲项目一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如表所示:
且的期望;若投资乙项目一年后可获得的利润（万元）与该项目建设材料的成本有关,在生产的过程中,公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整,两次调整相互独立且调整的概率分别为和.若乙项目产品价格一年内调整的次数（次数）与的关系如表所示:
（Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若,求的分布列;
（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润,求的取值范围.
21．（本题满分12分）
已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，与在第一和第四象限的交点分别为A、B．
(1) 若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；
(2)若，求椭圆的离心率；
(3) 点为椭圆上的任一点，若直线、分别与轴交于点和，证明：．
22．（本题满分12分）
设函数f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )
A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32
C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47
解析：选D 利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，故选D.
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝.
A．0.08 B．0.26
C．0.42 D．0.16
解析：∵ξ～N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，∴P(ξ≤－2)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16.答案：D
3．执行如图程序在平面直角坐标系中打印一系列点，则打印出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 执行第1次运算打印点(1，1)，i＝5；执行第2次运算打印点，
i＝4；执行第3次运算打印点，i＝3；执行第4次运算打印点，
i＝2；执行第5次运算打印点，i＝1；执行第6次运算打印点，i＝0；结束循环，其中在圆x2＋y2＝10内的点有(1，1)，，，共3个.
答案 B
4．如图K542所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为( A)
A. B. C. D.
5．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 根据题意作出满足条件的几何图形求解．
如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.
6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，则( )
A．me＝mo B．mo90°的概率是 ( )
A. B. C. D.
10．高三某班下午有3节课，现从5名教师中安排3人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第一节课，则不同的安排方案种数为( C )
A．12 B．72 C．36 D．24
11．11．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( D )．
A． B． C． D．
12．若关于x的方程ln(x＋1)－x2＋x－b=0在区间[0,2]上恰有两个不同的实数解，则实数b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
由(1)知f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.令g(x)＝f(x)＋x－b＝ln(x＋1)－x2＋x－b，
x∈(－1，＋∞)，则g′(x)＝－2x＋＝.
令g′(x)＝0得x＝1.
此时g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：
x
(－1,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
极大值
∴当x＝1时，g(x)取得极大值也是最大值．
由题设可知函数g(x)在区间[0,2]上有两个不同的零点，
∴即
解得ln 3－1≤b
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