数学卷·2017届江苏省如皋市高三上学期教学质量调研（三）（2016

数学卷·2017届江苏省如皋市高三上学期教学质量调研（三）（2016

‎ ‎ 数学试题 ‎1.已知集合，，则_________.‎ ‎2.复数满足，则复数的虚部为__________.‎ ‎3.同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具），点数之和是5的概率是__________.‎ ‎4.为了检查某超市货架上的袋装奶粉是否合格，要从编号依次为01到55的袋装粉中抽取5袋进行检验，现将55袋奶粉按编号顺序平均分成5组，用系统抽样方法确定选取5袋奶粉的编号，若第4组确定的号码为36，则第1组中抽出的号码为__________.‎ ‎5.执行如图所示的程序流程图，若输入，则输出的值为___________.‎ ‎6.若双曲线的方程，且双曲线的焦距为6，则__________.‎ ‎7.在直角坐标系中，点的坐标满足：，则的最大值为___________.‎ ‎8.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则____________.‎ ‎9.已知均为锐角，且，，则___________.‎ ‎10. 在中，边，，所对的角分别为，，，，则的最大值为__________.‎ ‎11.已知方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为________.‎ ‎12.如图，已知为椭圆的左焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴的交点，又为线段的中点，若，则该椭圆离心率的取值范围是________.‎ ‎13.把形如（均为正整数）表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前项的和，称作“对的项划分”.例如把9表示成，称作“对9的3项划分”，再如把64表示成，称作对“64的4项划分”.据此，若的项划分中第5项为281，则_________.‎ ‎14.已知函数在处的切线与该曲线的另一个交点为（与原点不重合），若，且是以为底边的等腰三角形，则________.‎ 二、解答题 ‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 如图，在中，是边上一点，且，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求及.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，容积为的圆锥形漏斗（无底面）的高为，侧面积为.‎ ‎（1）试将圆锥侧面积用高的关系式表示出来；‎ ‎（2）为了使制造该漏斗的侧面用料最省，问锥形漏斗的高取值是多少？（注：，其中为圆锥底面面积，为圆锥的高度.）‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 如图，已知单位圆（为直角坐标原点），是圆上的动点，点在直线上，且为正三角形.‎ ‎（1）若点是第一象限的点，且，求点的坐标；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图，已知椭圆，椭圆，其中，为常数且.‎ ‎（1）求证：椭圆与的离心率相等；‎ ‎（2）已知直线与交于，与交于，‎ ①求证：为定值（与值无关），并求出这个定值；‎ ②已知椭圆，的离心率均为，椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于，且，若，求与的关系.‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）若数列为等差数列，求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）若两个数列，均为等比数列，且，求数列的通项公式.‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ 已知（为常数）.‎ ‎（1）当时，求函数的单调性；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）求函数零点的个数.‎ ‎21. 已知数列 满足．‎ （1） 求 并猜想出数列的通项公式；‎ （2） 用数学归纳法证明（1）的猜想．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4‎ 已知直线（为参数）与椭圆（为参数）交于两点.‎ ‎（1）求直线和椭圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）求值.‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知两个城市之间有7条网线并联，这7条网线能够通过的信息量分别为1,2,2,2,3,3,3，现从中任选三条网线，设通过的信息总量为，若通过的信息总量不小于8，则可以保持信息通畅.‎ ‎（1）求线路通畅的概率；‎ ‎（2）求线路通过信息量的概率分布及数学期望.‎ ‎24. （本小题满分10分）‎ 已知二项式.‎ ‎（1）求展开式中的中间项；‎ ‎（2）化简：.‎ ‎2016～2017学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）‎ 参考答案及评分标准 ‎1． 2． -1 3． 4．3 5． 6． 1 7． 5 8． 126‎ ‎9． -2 10． 11． 12． 13． 17 14． ‎ ‎15．解：（1）在中，由，且得，‎ ‎. …………………………………………2分 所以 ‎=‎ ‎=. …………………………………………6分 ‎（2）由，且得，. ……………………8分 所以=‎ ‎=. ………………………………10分 又，所以， …………………………………………12分 在中，由正弦定理得，. ……………………14分 ‎（评讲建议：将第（2）改成求）‎ ‎16．解： 记圆锥的底面半径为，母线长为，‎ 由题意，，故． …………………………………………2分 ‎（1）因为，所以. ………………………6分 ‎（2）记，而， ……8分 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增；‎ 所以，是的极小值点，也是最小值点，故. …………10分 因此，当时，. …………………………………………12分 答：当锥形漏斗的高时，侧面用料最省为． …………………14分 ‎17．解： 由题意，两点的坐标为. …………………2分 ‎（1）设点的坐标为，则有 ‎，且，. ………………………………4分 由已知得， ………………………………6分 解得，或 ，即的坐标为或. ………8分 ‎（2）设点的坐标为，则 ‎，且，. ……………………10分 所以 则有，即，即证. ………………………………2分 ‎（2）①证明：‎ 联立得，则 ；(*) ……4分 同理， . (**) ……6分 由得，代入（**）得，.‎ 所以，=. ………………………………8分 ‎②由得，和，从而由(*)得.‎ 由题意可设直线的方程为：，， ………10分 设点和的坐标分别为和 联立，得，则 ‎，. ………………………………12分 ‎=‎ ‎=. ………………………………14分 由得，，即. ………16分 ‎（评讲建议：条件“椭圆，的离心率均为”是为了简化计算而设计的，实际上最后的结果与其无关，若用焦半径公式直接求弦长更简洁，但需要证明焦半径公式才能使用）‎ ‎19．（1）证明：因为数列为等差数列，设（为常数，），‎ 即， ………………………………2分 当时，，又，符合上式，‎ 所以， …………………………4分 则（常数），所以，数列为等差数列. …………………………6分 ‎（2）解：因数列均为等比数列，‎ 则有和均成等比，即 ， ………………………8分 亦即，解得或. ………………………10分 ① 若，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，‎ 所以，从而，此时，‎ 故数列也为等比数列，符合题意. ………………………12分 ‎②若，则数列是以为首项， 为公比的等比数列，‎ 所以，从而， ………………………14分 当时，，从而，故数列不为等比数列，不符合题意.‎ 综合①②可知，. …………………………………16分 ‎20．（1）解：当时，，所以， ‎ 当时，；当时，；‎ 故在上单调递增，在上单调递减． ………………………2分 ‎（2）证明：记，由题意即证，当时， ．‎ 又， ………………………………………………4分 记，则，‎ 故在上单调递减，则， …………………6分 所以在上恒成立，则在上单调递减，‎ ‎，即证． ……………………………………8分 ‎（3）解：由题意，．‎ ‎①若，则，故在上单调递增，‎ 又因为，且．‎ 由零点存在定理知，在上有且只有一个零点． ……………………10分 ① 若，当，，则在上单调递增；‎ 当，，则在上单调递增．‎ 所以，是在上的极大值点，也是最大值点，．‎ ‎（i）当时，即，恒成立，则在上无零点；‎ ‎（ii）当时，即，，则在上有一个零点；‎ ‎（iii）当时，即，， ……………………………12分 而当时，有，理由如下：令，则，‎ 所以在上单调递增，，即．‎ ‎，由（2）知，而，‎ 由在上的单调性及零点存在定理知，分别在和上各有一个零点，即在上有两个零点．…………………………………………………14分 综上所述，当或时，在上有一个零点；‎ 当时，在上有两个零点；‎ 当时，在上没有零点．……………………………………………16分 ‎21. 解： （1）由，‎ ‎，同理可求，猜想 ----------------5分 ‎（2）证明：①当时，猜想成立.‎ ‎②假设当时，猜想成立，即，‎ 则当时，有，‎ 所以当时猜想成立 综合①②，猜想对任何都成立. ------------------------10分 评卷注意：在归纳如果没有扣1分.‎ ‎22．解：（1）直线的方程为：，椭圆的方程为：．……4分 ‎（2）设，联立得，，则有 ‎，．‎ 所以．……… …………………………………10分 ‎23．解：（1）记“线路通畅”为事件，则事件包含或两种事件，且它们互斥，因为 ‎；．‎ 所以． ………………………………4分 ‎（2）由题意，可能的取值为5,6,7,8,9，‎ ‎；；‎ ‎；． ………………………………8分 其分布表如下：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 所以，的数学期望为：‎ ‎． ………………………………10分 ‎24．（1）记展开式的第项为．‎ 当为奇数时，中间项为和，‎ 当为偶数时，中间项为 ． ………………………………2分 ‎（注：没有分奇偶讨论，本问不得分）‎ ‎（2）由题意， 在等式两边分别对求导，得：‎ ‎ ， （*）‎ 令，则有，所以． （**） ………4分 再在（*）两边分别对求导，得 ‎． ………………………………………6分 再令，则有 ‎；‎ 由（**）得， ． ………………………………………8分 所以，‎ ‎=‎ ‎=． ………………………………………10分