数学理卷·2018届河北省鸡泽一中高三上学期第四次月考（2017

数学理卷·2018届河北省鸡泽一中高三上学期第四次月考（2017

‎2017～2018学年第一学期12月考试 高三数学理科试题 一、选择题 ‎1．已知复数满足，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知集合,则 A. B. C. D. ‎ ‎3．已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.设满足约束条件，若的最大值为10，‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．执行右侧的程序框图，若输入的x为6，则输出的值为 A. B. C. D .2.5‎ ‎6．已知，，，，则,,的大小关系是 A. B. C. D. ‎ ‎7．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D． ‎ ‎8．已知,则 A. B. C. D. ‎ ‎9．已知斜率为3的直线与双曲线交于两点，若点是的中点，则双曲线的离心率等于 A． B． C．2 D．‎ ‎10.函数的部分图象如图所示，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，‎ 则该几何体外接球的表面积为 A. B. C. D.‎ ‎12．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 二、填空题 ‎13. 展开式中含项的系数为_______.（用数字表示）‎ ‎14.公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的.设男子身高服从正态分布（单位：cm）,参考以下概率 ‎，，,‎ 则车门的高度（单位：cm）至少应设计为 .‎ ‎15.已知抛物线的焦点为，准线为，过倾斜角为的直线交于两点，，为垂足，点为的中点，，则_____.‎ ‎16.已知数列 的前项和，则数列的前项和_________.‎ 三、解答题 ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 在中，角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）若的面积为，求.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 设是公差不为零的等差数列，，为其前项和， .（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若(),求数列 的前项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 为减少汽车尾气排放,提高空气质量,各地纷纷推出汽车尾号限行措施.为做好此项工作，某市交警支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：‎ 组名 尾号 频数 频率 第一组 ‎0、1、4‎ ‎200‎ ‎0.2‎ 第二组 ‎3、6‎ ‎250‎ ‎0.25‎ 第三组 ‎2、5、7‎ 第四组 ‎8、9‎ ‎0.3‎ 由于某些数据缺失，表中以英文字母作标识.请根据图表提供的信息计算：‎ ‎（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽出20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？ ‎ ‎（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品.用表示车尾号在第二组的汽车数目，求的分布列和数学期望.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与轨迹交于两点，为坐标原点，若的重心恰好在圆上，求的取值范围.‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知函数=，曲线=在点（1，）处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）如果当＞0，且1时，＞，求的取值范围.‎ 鸡泽一中高三12月月考数学(理)答案 一、选择题1-5 BCBBD 6-10 ADDAA 11-12 BD 二、填空题13. 0 ; 14.184cm; 15.; 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由正弦定理得：，又，所以，‎ 从而，因为，所以．‎ ‎ 又因为，所以．（5分）‎ ‎ （2）因为，得：． ‎ 根据余弦定理可得：，所以． （10分） ‎ ‎18.解：（Ⅰ）设数列的公差为 ‎ 因为，‎ 所以，即 ‎ 所以 ……………………………………………………2分 又因为，所以，。‎ 所以 ……………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 所以，即,‎ 所以 ……………………………………………8分 因为 所以 ①‎ ‎ ②‎ ‎①―②,得 ‎ 所以 ‎ 即 ……………………………………12分 ‎19．解（Ⅰ）根据频率定义， ,,,……………………2分 第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆.……6分 ‎（Ⅱ）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为.‎ ‎……………………8分 由题意知，则，.‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎……………………10分 ‎……………………12分 ‎20.（Ⅰ）证明：连接 为平行四边形，且 ‎ 为菱形 ………….…2分 又，平面 ‎ ……4分 又平面 ……6分 ‎（Ⅱ） ‎ 两两垂直……8分 以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，设 ‎ ‎ 易知，，，‎ 则平面的一个法向量 设是平面的一个法向量 则 得……10分 ‎，解得：‎ 在棱上存在点，当时，得二面角的大小为.‎ ‎……12分 ‎21.解：（Ⅰ）如图， ……2分 故点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆 所以椭圆的方程为 ．……4分 ‎（Ⅱ）设点 方程联立 得， ‎ ‎ ，……6分 所以的重心的坐标为 ‎ ‎ ‎ 整理得： ①……8分 ‎ ‎ 依题意 得 ②‎ 由①、②易得 ‎ 设，则……10分 ‎，当且仅当取等号 所以实数的取值范围是 . ……12分 ‎22. 解：(Ⅰ)=,‎ ‎∵直线=0的斜率为，且过点（1,1），∴=1且=，‎ 即，解得=1，=1；‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知=，‎ ‎∴=‎ 设=（＞0），则=‎ ‎①当≤0时，由=知，当时，＜0，而=0，故当∈（0,1）时，＞0，可得；‎ 当∈（1，+∞）时，＜0，可得，‎ 从而当＞0，且≠1时，＞0，即＞；‎ ‎②当0＜＜1时，由于当∈（1，）时，＞0，故 ‎＞0，而=0，故∈（1，）时，＞0，可得＜0与题设矛盾；‎ ‎③当≥1时，此时＞0，而=0，故当∈(1,+∞)时，＞0，可得，与题设矛盾，综上所述，的取值范围为（—∞，0].‎